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1. 一般地，如果有$n$个数$x_1$，$x_2$，…，$x_n$，它们的平均数记为$\bar{x}$，方差记为$s^2$，则$\bar{x}=$
$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
；$s^2=$$\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
。答案
1. $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
解析
【分析】
这道题考查算术平均数和方差的基础定义，属于识记类题型。解题时只需回忆教材中对应统计量的计算公式直接填写即可：算术平均数的核心是“数据总和除以数据个数”，方差的核心是“各数据与平均数差的平方的平均值”，按照定义写出对应表达式即可。
【解析】
根据算术平均数的定义：n个数据的平均数等于所有数据的和除以数据的总个数，因此$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$；
根据方差的定义：方差是反映一组数据波动大小的统计量，等于每个数据与平均数的差的平方的平均数，因此$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$。
【答案】
$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$；$\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
【知识点】
算术平均数公式，方差公式
【点评】
本题为统计模块的基础概念题，重点考查核心统计量计算公式的记忆，属于基础送分题，熟练掌握教材相关定义即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查算术平均数和方差的基础定义，属于识记类题型。解题时只需回忆教材中对应统计量的计算公式直接填写即可：算术平均数的核心是“数据总和除以数据个数”，方差的核心是“各数据与平均数差的平方的平均值”，按照定义写出对应表达式即可。
【解析】
根据算术平均数的定义：n个数据的平均数等于所有数据的和除以数据的总个数，因此$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$；
根据方差的定义：方差是反映一组数据波动大小的统计量，等于每个数据与平均数的差的平方的平均数，因此$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$。
【答案】
$\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$；$\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$
【知识点】
算术平均数公式，方差公式
【点评】
本题为统计模块的基础概念题，重点考查核心统计量计算公式的记忆，属于基础送分题，熟练掌握教材相关定义即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 某快递员十二月份送餐统计数据如下表：
送餐距离 | 小于等于3 km | 大于3 km
占比 |
| 30%
送餐费 | 4元/单 | 6元/单
则该快递员十二月份平均每单送餐费是
送餐距离 | 小于等于3 km | 大于3 km
占比 |
| 30%送餐费 | 4元/单 | 6元/单
则该快递员十二月份平均每单送餐费是
4.6
元.答案
2. 4.6
解析
【分析】
题目要求计算平均每单送餐费，已知两类订单的送餐费及对应占比，属于加权平均数计算问题。权重就是各类型订单的占比，解题思路是将每类送餐费乘以其对应的占比，再将两个结果求和，即可得到平均每单送餐费。
【解析】
根据加权平均数的计算规则：
平均每单送餐费 = 小于等于3km的送餐费×对应占比 + 大于3km的送餐费×对应占比
代入数据计算：
$\begin{aligned}&4×70\% + 6×30\%\\=&4×0.7 + 6×0.3\\=&2.8 + 1.8\\=&4.6\ (\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
4.6
【知识点】
加权平均数、平均数计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查加权平均数的应用，解题核心是明确各数据对应的权重，直接套用加权平均数公式计算即可，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
题目要求计算平均每单送餐费，已知两类订单的送餐费及对应占比，属于加权平均数计算问题。权重就是各类型订单的占比，解题思路是将每类送餐费乘以其对应的占比，再将两个结果求和，即可得到平均每单送餐费。
【解析】
根据加权平均数的计算规则：
平均每单送餐费 = 小于等于3km的送餐费×对应占比 + 大于3km的送餐费×对应占比
代入数据计算：
$\begin{aligned}&4×70\% + 6×30\%\\=&4×0.7 + 6×0.3\\=&2.8 + 1.8\\=&4.6\ (\mathrm{元})\end{aligned}$
【答案】
4.6
【知识点】
加权平均数、平均数计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查加权平均数的应用，解题核心是明确各数据对应的权重，直接套用加权平均数公式计算即可，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
3. 某班有 40 人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他 39 人的平均分为 90 分，方差$s^2=41$.后来小亮进行了补测，成绩为 90 分，关于该班 40 人的测试成绩，下列说法正确的是 （
A.平均分不变，方差变大
B.平均分不变，方差变小
C.平均分和方差都不变
D.平均分和方差都改变
B
）A.平均分不变，方差变大
B.平均分不变，方差变小
C.平均分和方差都不变
D.平均分和方差都改变
答案
3. B
解析
【分析】
要判断40人成绩的平均分和方差的变化，需分别结合平均数、方差的计算公式分析：首先根据原39人的平均分计算总分，加入小亮成绩后重新计算平均分，判断平均分是否变化；再根据原方差求出39人成绩与平均分的差的平方和，加入小亮的成绩后计算新的方差，和原方差对比判断变化即可。
【解析】
1. 判断平均分的变化：
已知39人的平均分为90分，因此39人的总分为 $39×90=3510$ 分。
小亮补测成绩为90分，因此40人的总分为 $3510+90=3600$ 分，
40人的平均分为 $3600÷40=90$ 分，和原39人的平均分相等，故平均分不变。
2. 判断方差的变化：
方差计算公式为 $s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$，其中$\overline{x}$为平均数，$n$为数据个数。
已知39人的方差 $s^2=41$，代入公式可得：$\frac{1}{39}\sum_{i=1}^{39}(x_i-90)^2=41$，
因此39人成绩与平均分的差的平方和为 $\sum_{i=1}^{39}(x_i-90)^2=39×41=1599$。
加入小亮的成绩后，新增的差的平方为 $(90-90)^2=0$，
因此40人的方差 $s'^2=\frac{1}{40}×(1599+0)=39.975＜41$，故方差变小。
综上，平均分不变，方差变小，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算、方差的计算
【点评】
本题考查平均数与方差的变化规律，解题核心是熟练掌握两者的计算公式，可总结规律：当新增的数据等于原数据组的平均数时，整体平均数不变，方差会减小。
【难度系数】
0.7
要判断40人成绩的平均分和方差的变化，需分别结合平均数、方差的计算公式分析：首先根据原39人的平均分计算总分，加入小亮成绩后重新计算平均分，判断平均分是否变化；再根据原方差求出39人成绩与平均分的差的平方和，加入小亮的成绩后计算新的方差，和原方差对比判断变化即可。
【解析】
1. 判断平均分的变化：
已知39人的平均分为90分，因此39人的总分为 $39×90=3510$ 分。
小亮补测成绩为90分，因此40人的总分为 $3510+90=3600$ 分，
40人的平均分为 $3600÷40=90$ 分，和原39人的平均分相等，故平均分不变。
2. 判断方差的变化：
方差计算公式为 $s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$，其中$\overline{x}$为平均数，$n$为数据个数。
已知39人的方差 $s^2=41$，代入公式可得：$\frac{1}{39}\sum_{i=1}^{39}(x_i-90)^2=41$，
因此39人成绩与平均分的差的平方和为 $\sum_{i=1}^{39}(x_i-90)^2=39×41=1599$。
加入小亮的成绩后，新增的差的平方为 $(90-90)^2=0$，
因此40人的方差 $s'^2=\frac{1}{40}×(1599+0)=39.975＜41$，故方差变小。
综上，平均分不变，方差变小，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平均数的计算、方差的计算
【点评】
本题考查平均数与方差的变化规律，解题核心是熟练掌握两者的计算公式，可总结规律：当新增的数据等于原数据组的平均数时，整体平均数不变，方差会减小。
【难度系数】
0.7
4. 已知军军三次英语口试的平均成绩是92分，如果第一次成绩是90分，第二次成绩是96分，那么第三次成绩 （
A.低于平均分
B.等于平均分
C.高于平均分
D.无法确定
A
）A.低于平均分
B.等于平均分
C.高于平均分
D.无法确定
答案
4. A
解析
【分析】
本题可根据平均数的计算公式推导总分数，再计算第三次成绩后与平均分比较。首先回忆平均数的核心公式：总分数=平均分数×考试次数，我们已知三次的平均成绩，可先算出三次考试的总成绩，再减去已知的前两次成绩，就能得到第三次的成绩，最后将第三次成绩和平均成绩92分对比即可得出结论。
【解析】
首先计算三次英语口试的总成绩：
根据“总成绩=平均成绩×次数”，可得总成绩 = $92 × 3 = 276$（分）
再计算前两次成绩的总和：$90 + 96 = 186$（分）
第三次成绩 = 三次总成绩 - 前两次成绩和，即 $276 - 186 = 90$（分）
对比第三次成绩和平均分：$90 ＜ 92$，因此第三次成绩低于平均分。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平均数计算公式的灵活运用，只要熟练掌握总数量、平均数、总份数三者之间的关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
本题可根据平均数的计算公式推导总分数，再计算第三次成绩后与平均分比较。首先回忆平均数的核心公式：总分数=平均分数×考试次数，我们已知三次的平均成绩，可先算出三次考试的总成绩，再减去已知的前两次成绩，就能得到第三次的成绩，最后将第三次成绩和平均成绩92分对比即可得出结论。
【解析】
首先计算三次英语口试的总成绩：
根据“总成绩=平均成绩×次数”，可得总成绩 = $92 × 3 = 276$（分）
再计算前两次成绩的总和：$90 + 96 = 186$（分）
第三次成绩 = 三次总成绩 - 前两次成绩和，即 $276 - 186 = 90$（分）
对比第三次成绩和平均分：$90 ＜ 92$，因此第三次成绩低于平均分。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对平均数计算公式的灵活运用，只要熟练掌握总数量、平均数、总份数三者之间的关系，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
5. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩(单位：环)如图所示，下列说法正确的是（
A.甲的平均成绩更高，成绩也更稳定
B.甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定
C.乙的平均成绩更高，成绩也更稳定
D.乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定
D
）A.甲的平均成绩更高，成绩也更稳定
B.甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定
C.乙的平均成绩更高，成绩也更稳定
D.乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定
答案
5. D
解析
【分析】
解决这道题需要从两个维度判断：一是平均成绩的高低，二是成绩的稳定性。首先平均成绩可以通过计算两人10次射击成绩的总和除以10得到，也可以观察折线图的整体成绩区间快速估算；其次成绩稳定性由数据的波动幅度决定，波动越小说明方差越小，成绩越稳定，可直接通过折线的起伏程度判断。
【解析】
1. 比较平均成绩：
观察折线图可知，甲的成绩全部在3~5环区间内，整体成绩偏低；乙的成绩多次达到7环及以上，最高接近10环，整体成绩偏高。
计算验证：
甲10次成绩总和为$3.5+4+4.5+5+4+5+4+3+4.5+3=40.5$，平均成绩为$40.5÷10=4.05$环；
乙10次成绩总和为$5.5+8+8.5+7+5+9.5+3+4+5+8=63.5$，平均成绩为$63.5÷10=6.35$环；
因此乙的平均成绩更高。
2. 比较成绩稳定性：
观察折线起伏情况，甲的成绩波动幅度很小，基本在小范围内变化；乙的成绩起伏剧烈，最低3环，最高接近10环，波动更大。因此甲的成绩更稳定。
综上，乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均数计算，方差的意义，折线统计图应用
【点评】
本题结合折线统计图考查数据的集中趋势和离散程度的判断，既可以通过精确计算得到结论，也可以通过观察图表快速估算，是统计类的基础题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要从两个维度判断：一是平均成绩的高低，二是成绩的稳定性。首先平均成绩可以通过计算两人10次射击成绩的总和除以10得到，也可以观察折线图的整体成绩区间快速估算；其次成绩稳定性由数据的波动幅度决定，波动越小说明方差越小，成绩越稳定，可直接通过折线的起伏程度判断。
【解析】
1. 比较平均成绩：
观察折线图可知，甲的成绩全部在3~5环区间内，整体成绩偏低；乙的成绩多次达到7环及以上，最高接近10环，整体成绩偏高。
计算验证：
甲10次成绩总和为$3.5+4+4.5+5+4+5+4+3+4.5+3=40.5$，平均成绩为$40.5÷10=4.05$环；
乙10次成绩总和为$5.5+8+8.5+7+5+9.5+3+4+5+8=63.5$，平均成绩为$63.5÷10=6.35$环；
因此乙的平均成绩更高。
2. 比较成绩稳定性：
观察折线起伏情况，甲的成绩波动幅度很小，基本在小范围内变化；乙的成绩起伏剧烈，最低3环，最高接近10环，波动更大。因此甲的成绩更稳定。
综上，乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平均数计算，方差的意义，折线统计图应用
【点评】
本题结合折线统计图考查数据的集中趋势和离散程度的判断，既可以通过精确计算得到结论，也可以通过观察图表快速估算，是统计类的基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图是某市2026年4月24—28日的天气情况，这5天中最低气温(单位:℃)的中位数与众数分别是（
A.10，14
B.12，14
C.12，12
D.11，14
B
）A.10，14
B.12，14
C.12，12
D.11，14
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先要从给定的天气图表中准确提取5天的最低气温数据，再结合中位数、众数的定义求解：中位数是将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，若数据个数为奇数，取最中间的数即为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数。解题步骤为：先提取最低气温数据，再对数据排序得到中位数，最后统计各数据出现次数得到众数。
【解析】
首先提取5天的最低气温分别为：9℃、10℃、14℃、14℃、12℃。
1. 求中位数：将上述数据从小到大排序为：9，10，12，14，14。数据总个数为5（奇数），排在第3位的数是12，因此中位数为12。
2. 求众数：观察排序后的数据，14出现的次数最多（共2次），因此众数为14。
综上，这组数据的中位数是12，众数是14，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数，众数，统计图表信息提取
【点评】
本题为基础题型，解题的关键是准确区分图表中的最高气温和最低气温，避免提取错误数据，再结合中位数和众数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要从给定的天气图表中准确提取5天的最低气温数据，再结合中位数、众数的定义求解：中位数是将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，若数据个数为奇数，取最中间的数即为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数。解题步骤为：先提取最低气温数据，再对数据排序得到中位数，最后统计各数据出现次数得到众数。
【解析】
首先提取5天的最低气温分别为：9℃、10℃、14℃、14℃、12℃。
1. 求中位数：将上述数据从小到大排序为：9，10，12，14，14。数据总个数为5（奇数），排在第3位的数是12，因此中位数为12。
2. 求众数：观察排序后的数据，14出现的次数最多（共2次），因此众数为14。
综上，这组数据的中位数是12，众数是14，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中位数，众数，统计图表信息提取
【点评】
本题为基础题型，解题的关键是准确区分图表中的最高气温和最低气温，避免提取错误数据，再结合中位数和众数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.7
