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1. 一元二次方程$4x^2 -9=0$的实数根为
$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
.答案
1. $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题是缺少一次项的一元二次方程，适合采用直接开平方法求解。解题思路如下：第一步先将常数项移到方程的等号右侧，第二步将二次项系数化为1，得到$x^2$等于常数的形式，第三步根据平方根的定义对等式两边开平方，即可得到两个实数根。
【解析】
解：对原方程移项，得
$4x^2=9$
将二次项系数化为1，得
$x^2=\frac{9}{4}$
对等式两边开平方，得
$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$
即原方程的实数根为$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查不含一次项的一元二次方程的求解方法，掌握直接开平方法的适用场景和运算步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题是缺少一次项的一元二次方程，适合采用直接开平方法求解。解题思路如下：第一步先将常数项移到方程的等号右侧，第二步将二次项系数化为1，得到$x^2$等于常数的形式，第三步根据平方根的定义对等式两边开平方，即可得到两个实数根。
【解析】
解：对原方程移项，得
$4x^2=9$
将二次项系数化为1，得
$x^2=\frac{9}{4}$
对等式两边开平方，得
$x=\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\pm\frac{3}{2}$
即原方程的实数根为$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查不含一次项的一元二次方程的求解方法，掌握直接开平方法的适用场景和运算步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.9
根据平方根的意义，方程$(x+h)^2 = k$（$h$，$k$为常数，$k≥0$）的两个实数根为
$x=-h\pm\sqrt{k}$
答案
2. $x=-h\pm\sqrt{k}$
解析
【分析】
解题时先明确平方根的意义：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a$是$b$的平方根，即$a=\pm\sqrt{b}$。本题可将$(x+h)$看作整体，它的平方等于非负数$k$，先根据平方根的意义得到$x+h$的取值，再通过移项求出$x$的两个实数根即可。
【解析】
已知$k≥0$，根据平方根的意义，对$(x+h)^2 = k$两边开平方可得：
$x+h = \pm\sqrt{k}$
将$h$移到等号右侧，计算得：
$x = -h \pm\sqrt{k}$
即方程的两个实数根为$x=-h+\sqrt{k}$和$x=-h-\sqrt{k}$，合并记作$x=-h\pm\sqrt{k}$。
【答案】
$x=-h\pm\sqrt{k}$
【知识点】
平方根的意义、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查平方根概念的理解和直接开平方法的应用，解题核心是将含未知数的部分看作整体开平方，需注意只有等号右侧常数非负时，方程才有两个实数根。
【难度系数】
0.9
解题时先明确平方根的意义：若$a^2=b$（$b≥0$），则$a$是$b$的平方根，即$a=\pm\sqrt{b}$。本题可将$(x+h)$看作整体，它的平方等于非负数$k$，先根据平方根的意义得到$x+h$的取值，再通过移项求出$x$的两个实数根即可。
【解析】
已知$k≥0$，根据平方根的意义，对$(x+h)^2 = k$两边开平方可得：
$x+h = \pm\sqrt{k}$
将$h$移到等号右侧，计算得：
$x = -h \pm\sqrt{k}$
即方程的两个实数根为$x=-h+\sqrt{k}$和$x=-h-\sqrt{k}$，合并记作$x=-h\pm\sqrt{k}$。
【答案】
$x=-h\pm\sqrt{k}$
【知识点】
平方根的意义、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查平方根概念的理解和直接开平方法的应用，解题核心是将含未知数的部分看作整体开平方，需注意只有等号右侧常数非负时，方程才有两个实数根。
【难度系数】
0.9
3. 一元二次方程$(2x+1)^2=5$的实数根为
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
。答案
3. $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
本题可采用直接开平方法求解，观察方程形式，左边是关于x的完全平方式，右边是正实数，符合直接开平方法的适用条件。解题时先将$(2x+1)$看作一个整体，对等式两边同时开平方，将原方程转化为两个一元一次方程，再分别求解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：对一元二次方程$(2x+1)^2=5$两边直接开平方，得：
$2x+1=\pm\sqrt{5}$
移项，得：
$2x=-1\pm\sqrt{5}$
系数化为1，得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题关键是准确判断方程的形式，选择简便的直接开平方法求解，避免不必要的展开计算，降低出错率。
【难度系数】
0.9
本题可采用直接开平方法求解，观察方程形式，左边是关于x的完全平方式，右边是正实数，符合直接开平方法的适用条件。解题时先将$(2x+1)$看作一个整体，对等式两边同时开平方，将原方程转化为两个一元一次方程，再分别求解一元一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
解：对一元二次方程$(2x+1)^2=5$两边直接开平方，得：
$2x+1=\pm\sqrt{5}$
移项，得：
$2x=-1\pm\sqrt{5}$
系数化为1，得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题关键是准确判断方程的形式，选择简便的直接开平方法求解，避免不必要的展开计算，降低出错率。
【难度系数】
0.9
4. 已知一元二次方程$3x^2 -81=0$的两根为$x_1$，$x_2$，那么点$P(x_1,x_2)$位于平面直角坐标系中的（
A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或第三象限
D.第二象限或第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第一象限或第三象限
D.第二象限或第四象限
答案
4. D
解析
【分析】
要解决本题，首先需要求解给定的一元二次方程，得到两个根的具体取值，再分情况讨论点P横、纵坐标的正负性，最后结合各象限内点的坐标符号特征，判断点P所在的象限。
【解析】
第一步：求解一元二次方程$3x^2 -81=0$
移项得：$3x^2=81$
系数化为1得：$x^2=27$
直接开平方得：$x=\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt{3}$
即方程的两根为$3\sqrt{3}$和$-3\sqrt{3}$。
第二步：分情况判断点P所在象限
情况1：若$x_1=3\sqrt{3}$，$x_2=-3\sqrt{3}$，此时点P坐标为$(3\sqrt{3},-3\sqrt{3})$，横坐标为正、纵坐标为负，对应第四象限；
情况2：若$x_1=-3\sqrt{3}$，$x_2=3\sqrt{3}$，此时点P坐标为$(-3\sqrt{3},3\sqrt{3})$，横坐标为负、纵坐标为正，对应第二象限。
因此点P位于第二象限或第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了一元二次方程的求解，也考查了平面直角坐标系的相关知识，解题时要注意两根的排列有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要求解给定的一元二次方程，得到两个根的具体取值，再分情况讨论点P横、纵坐标的正负性，最后结合各象限内点的坐标符号特征，判断点P所在的象限。
【解析】
第一步：求解一元二次方程$3x^2 -81=0$
移项得：$3x^2=81$
系数化为1得：$x^2=27$
直接开平方得：$x=\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt{3}$
即方程的两根为$3\sqrt{3}$和$-3\sqrt{3}$。
第二步：分情况判断点P所在象限
情况1：若$x_1=3\sqrt{3}$，$x_2=-3\sqrt{3}$，此时点P坐标为$(3\sqrt{3},-3\sqrt{3})$，横坐标为正、纵坐标为负，对应第四象限；
情况2：若$x_1=-3\sqrt{3}$，$x_2=3\sqrt{3}$，此时点P坐标为$(-3\sqrt{3},3\sqrt{3})$，横坐标为负、纵坐标为正，对应第二象限。
因此点P位于第二象限或第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了一元二次方程的求解，也考查了平面直角坐标系的相关知识，解题时要注意两根的排列有两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.8
5. 若$x=-1$是方程$x^2 - 3(a+2)^2 x -13=0$的一个根，则$a$的值是（
A.$-1$
B.$-4$或$0$
C.$-4$或$4$
D.$-1$或$1$
B
）A.$-1$
B.$-4$或$0$
C.$-4$或$4$
D.$-1$或$1$
答案
5. B
解析
【分析】
遇到“已知某值是方程的根，求参数”的问题时，首先利用方程根的定义思考：根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将x=-1代入原方程，即可得到只含有参数a的方程，再解这个关于a的方程就能求出a的值。本题代入后得到的方程符合“含未知数的平方等于常数”的形式，用直接开平方法求解即可。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=-1代入方程$x^2 - 3(a+2)^2 x -13=0$，得：
$(-1)^2 - 3(a+2)^2 × (-1) - 13 = 0$
化简计算：
$1 + 3(a+2)^2 - 13 = 0$
移项、合并同类项得：
$3(a+2)^2 = 12$
两边同时除以3得：
$(a+2)^2 = 4$
开平方得：
$a+2 = 2 \quad 或 \quad a+2 = -2$
分别解两个一次方程：
当$a+2=2$时，$a=0$；
当$a+2=-2$时，$a=-4$。
因此a的值为-4或0，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 方程根的定义
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的定义的应用，将已知根代入方程转化为关于参数的方程是此类问题的通用解题思路，计算难度低，熟练掌握基础概念和一元二次方程的基本解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
遇到“已知某值是方程的根，求参数”的问题时，首先利用方程根的定义思考：根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将x=-1代入原方程，即可得到只含有参数a的方程，再解这个关于a的方程就能求出a的值。本题代入后得到的方程符合“含未知数的平方等于常数”的形式，用直接开平方法求解即可。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=-1代入方程$x^2 - 3(a+2)^2 x -13=0$，得：
$(-1)^2 - 3(a+2)^2 × (-1) - 13 = 0$
化简计算：
$1 + 3(a+2)^2 - 13 = 0$
移项、合并同类项得：
$3(a+2)^2 = 12$
两边同时除以3得：
$(a+2)^2 = 4$
开平方得：
$a+2 = 2 \quad 或 \quad a+2 = -2$
分别解两个一次方程：
当$a+2=2$时，$a=0$；
当$a+2=-2$时，$a=-4$。
因此a的值为-4或0，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 方程根的定义
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程根的定义的应用，将已知根代入方程转化为关于参数的方程是此类问题的通用解题思路，计算难度低，熟练掌握基础概念和一元二次方程的基本解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 若关于$x$的方程$mx^2 + n = 0$的一个根为$-1$，则方程$m(x-2025)^2 + n = 0$的根是 （
A.2024或2025
B.2024或2026
C.2025或2026
D.2026或2027
B
）A.2024或2025
B.2024或2026
C.2025或2026
D.2026或2027
答案
6. B
解析
【分析】
解题可从两个方程的结构相似性入手：两个方程均为"m乘以一个式子的平方加n等于0"的形式，因此可以将第二个方程中的$(x-2025)$看作整体，对应第一个方程中的$x$。已知第一个方程$mx^2+n=0$的一个根是$-1$，形如$ax^2+c=0$的一元二次方程若有实根，两根互为相反数，因此第一个方程的另一根为$1$，即第二个方程中$(x-2025)$的取值为$\pm1$，分别求解即可得到结果。
【解析】
解法1：
1. 将$x=-1$代入$mx^2+n=0$，得$m×(-1)^2+n=0$，即$m+n=0$，因此$n=-m$（$m≠0$，一元二次方程二次项系数不为0）。
2. 将$n=-m$代入$m(x-2025)^2+n=0$，得$m(x-2025)^2 - m=0$，两边同时除以$m$可得$(x-2025)^2=1$。
3. 开平方得$x-2025=\pm1$，解得$x_1=2025+1=2026$，$x_2=2025-1=2024$。
解法2（换元法）：
令$t=x-2025$，则方程$m(x-2025)^2+n=0$可转化为$mt^2+n=0$。由题意知$mt^2+n=0$的根为$t_1=-1$、$t_2=1$，因此：
当$t=-1$时，$x-2025=-1$，解得$x=2024$；
当$t=1$时，$x-2025=1$，解得$x=2026$。
综上，方程的根为2024或2026。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，直接开平方法，换元思想
【点评】
本题考查一元二次方程的解法及根的定义，通过观察方程结构运用整体换元思想可大幅简化计算，是一元二次方程基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题可从两个方程的结构相似性入手：两个方程均为"m乘以一个式子的平方加n等于0"的形式，因此可以将第二个方程中的$(x-2025)$看作整体，对应第一个方程中的$x$。已知第一个方程$mx^2+n=0$的一个根是$-1$，形如$ax^2+c=0$的一元二次方程若有实根，两根互为相反数，因此第一个方程的另一根为$1$，即第二个方程中$(x-2025)$的取值为$\pm1$，分别求解即可得到结果。
【解析】
解法1：
1. 将$x=-1$代入$mx^2+n=0$，得$m×(-1)^2+n=0$，即$m+n=0$，因此$n=-m$（$m≠0$，一元二次方程二次项系数不为0）。
2. 将$n=-m$代入$m(x-2025)^2+n=0$，得$m(x-2025)^2 - m=0$，两边同时除以$m$可得$(x-2025)^2=1$。
3. 开平方得$x-2025=\pm1$，解得$x_1=2025+1=2026$，$x_2=2025-1=2024$。
解法2（换元法）：
令$t=x-2025$，则方程$m(x-2025)^2+n=0$可转化为$mt^2+n=0$。由题意知$mt^2+n=0$的根为$t_1=-1$、$t_2=1$，因此：
当$t=-1$时，$x-2025=-1$，解得$x=2024$；
当$t=1$时，$x-2025=1$，解得$x=2026$。
综上，方程的根为2024或2026。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，直接开平方法，换元思想
【点评】
本题考查一元二次方程的解法及根的定义，通过观察方程结构运用整体换元思想可大幅简化计算，是一元二次方程基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
7. 若关于$x$的方程$(x-2)^2=3-k$可以根据平方根的意义求解，那么$k$满足的条件是（
A.$k≥2$
B.$k＜2$
C.$k＞3$
D.$k≤3$
D
）A.$k≥2$
B.$k＜2$
C.$k＞3$
D.$k≤3$
答案
7. D
解析
【分析】
要判断k的取值范围，首先回忆用平方根的意义求解方程的要求：对于形如$a^2=m$的方程，只有当$m≥0$时才能根据平方根的意义求解，因为负数没有平方根。本题中方程左边$(x-2)^2$是平方数，恒为非负数，因此只需让等号右侧的$3-k$满足非负的条件，列出不等式求解即可得到k的取值范围。
【解析】
根据平方根的意义，若方程$(x-2)^2=3-k$可直接开平方求解，则等号右侧的被开方部分必须是非负数，即：
$3-k≥0$
对不等式移项得：
$-k≥-3$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$k≤3$
因此k满足的条件是$k≤3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解方程的适用条件，解题核心是抓住平方数的非负性，掌握平方根的相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断k的取值范围，首先回忆用平方根的意义求解方程的要求：对于形如$a^2=m$的方程，只有当$m≥0$时才能根据平方根的意义求解，因为负数没有平方根。本题中方程左边$(x-2)^2$是平方数，恒为非负数，因此只需让等号右侧的$3-k$满足非负的条件，列出不等式求解即可得到k的取值范围。
【解析】
根据平方根的意义，若方程$(x-2)^2=3-k$可直接开平方求解，则等号右侧的被开方部分必须是非负数，即：
$3-k≥0$
对不等式移项得：
$-k≥-3$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$k≤3$
因此k满足的条件是$k≤3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 直接开平方法解一元二次方程
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查直接开平方法解方程的适用条件，解题核心是抓住平方数的非负性，掌握平方根的相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
8. 若一元二次方程$ax^2 - b = 0(ab ＞ 0)$的两根分别是$2m + 1$与$m - 4$，则$\frac{b}{a} =$
9
.答案
8. 9
解析
【分析】
首先观察一元二次方程$ax^2 - b = 0$的结构，发现方程不含一次项，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，此处一次项系数为0，因此两根互为相反数，和为0。我们可以先利用两根之和为0列方程求出参数$m$的值，再代入得到方程的根，最后结合方程变形$x^2=\frac{b}{a}$，即可求出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2 - b = 0$，其一次项系数为0，根据韦达定理，两根之和为0。
已知方程的两根为$2m+1$和$m-4$，因此：
$(2m+1)+(m-4)=0$
化简得：$3m - 3 = 0$，解得$m=1$。
将$m=1$代入两根，得：
$2m+1=2×1+1=3$，$m-4=1-4=-3$，即方程的两根为$3$和$-3$。
将原方程移项得$x^2=\frac{b}{a}$，因此$\frac{b}{a}=3^2=9$。
【答案】
9
【知识点】
韦达定理，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题的关键是抓住无一次项的一元二次方程两根互为相反数的特点，先求解参数再计算目标值，解题思路清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
首先观察一元二次方程$ax^2 - b = 0$的结构，发现方程不含一次项，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，此处一次项系数为0，因此两根互为相反数，和为0。我们可以先利用两根之和为0列方程求出参数$m$的值，再代入得到方程的根，最后结合方程变形$x^2=\frac{b}{a}$，即可求出$\frac{b}{a}$的值。
【解析】
解：对于一元二次方程$ax^2 - b = 0$，其一次项系数为0，根据韦达定理，两根之和为0。
已知方程的两根为$2m+1$和$m-4$，因此：
$(2m+1)+(m-4)=0$
化简得：$3m - 3 = 0$，解得$m=1$。
将$m=1$代入两根，得：
$2m+1=2×1+1=3$，$m-4=1-4=-3$，即方程的两根为$3$和$-3$。
将原方程移项得$x^2=\frac{b}{a}$，因此$\frac{b}{a}=3^2=9$。
【答案】
9
【知识点】
韦达定理，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题重点考查一元二次方程根与系数关系的应用，解题的关键是抓住无一次项的一元二次方程两根互为相反数的特点，先求解参数再计算目标值，解题思路清晰，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
9. 定义新运算：$a\otimes b=\begin{cases} a^2 - b & (a≥0), \\ -2a + b & (a＜0), \end{cases}$ 如 $3\otimes (-2)=3^2 - (-2)=11$，$-2\otimes1=-2×(-2)+1=5$。若 $x\otimes1=\dfrac{5}{4}$，则 $x$ 的值为________。
答案
9. $-\frac{1}{8}$或$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
本题属于定义新运算的分段计算题型，解题思路为：首先明确新运算的分段规则，根据x的取值范围分两类讨论：①当x≥0时，选择a≥0对应的运算公式列方程求解，求出解后验证是否符合x≥0的前提；②当x＜0时，选择a＜0对应的运算公式列方程求解，求出解后验证是否符合x＜0的前提，最后汇总所有符合条件的x的值即可。
【解析】
根据新运算的定义，分两种情况计算：
1. 当$x≥0$时，$x\otimes1 = x^2 - 1$，结合题意列方程：
$x^2 - 1 = \frac{5}{4}$
移项得：$x^2 = \frac{9}{4}$
开平方得：$x=\pm\frac{3}{2}$
因前提为$x≥0$，故舍去$x=-\frac{3}{2}$，得$x=\frac{3}{2}$。
2. 当$x＜0$时，$x\otimes1 = -2x + 1$，结合题意列方程：
$-2x + 1 = \frac{5}{4}$
移项得：$-2x = \frac{1}{4}$
解得：$x=-\frac{1}{8}$，符合$x＜0$的前提。
综上，x的取值为$-\frac{1}{8}$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
$-\frac{1}{8}$或$\frac{3}{2}$
【知识点】
定义新运算、分类讨论思想、解一元二次方程
【点评】
本题核心考查新运算规则的理解与应用，解题时需注意根据x的取值范围匹配对应的运算公式，求解后要验证解是否符合对应的取值前提，避免出现漏解、增根的问题。
【难度系数】
0.7
本题属于定义新运算的分段计算题型，解题思路为：首先明确新运算的分段规则，根据x的取值范围分两类讨论：①当x≥0时，选择a≥0对应的运算公式列方程求解，求出解后验证是否符合x≥0的前提；②当x＜0时，选择a＜0对应的运算公式列方程求解，求出解后验证是否符合x＜0的前提，最后汇总所有符合条件的x的值即可。
【解析】
根据新运算的定义，分两种情况计算：
1. 当$x≥0$时，$x\otimes1 = x^2 - 1$，结合题意列方程：
$x^2 - 1 = \frac{5}{4}$
移项得：$x^2 = \frac{9}{4}$
开平方得：$x=\pm\frac{3}{2}$
因前提为$x≥0$，故舍去$x=-\frac{3}{2}$，得$x=\frac{3}{2}$。
2. 当$x＜0$时，$x\otimes1 = -2x + 1$，结合题意列方程：
$-2x + 1 = \frac{5}{4}$
移项得：$-2x = \frac{1}{4}$
解得：$x=-\frac{1}{8}$，符合$x＜0$的前提。
综上，x的取值为$-\frac{1}{8}$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
$-\frac{1}{8}$或$\frac{3}{2}$
【知识点】
定义新运算、分类讨论思想、解一元二次方程
【点评】
本题核心考查新运算规则的理解与应用，解题时需注意根据x的取值范围匹配对应的运算公式，求解后要验证解是否符合对应的取值前提，避免出现漏解、增根的问题。
【难度系数】
0.7
10.已知一元二次方程$(x-2)^2=3$的两根为$a$，$b$，且$a＞b$，则$2a+b=$
$\sqrt{3}+6$
。答案
10. $\sqrt{3}+6$
解析
【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程及代数式求值，解题思路如下：首先利用直接开平方法求解给定的一元二次方程，得到两个根；再根据a＞b的大小关系，分别确定a、b对应的根；最后将a、b的值代入代数式2a+b中，通过二次根式的加减运算得出结果即可。
【解析】
解：先解方程$(x-2)^2=3$，
对等式两边直接开平方，得：$x-2=\pm\sqrt{3}$，
移项得方程的两个根：$x=2+\sqrt{3}$或$x=2-\sqrt{3}$，
$\because a＞b$，且$\sqrt{3}＞-\sqrt{3}$，
$\therefore a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$，
将a、b代入$2a+b$得：
$2a+b=2×(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})$
$=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}$
$=6+\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}+6$
【知识点】
1.直接开平方法解方程 2.代数式求值 3.实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题关键是准确求出方程的两根，结合大小关系确定a、b的取值，计算时注意二次根式的合并规则，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
本题考查直接开平方法解一元二次方程及代数式求值，解题思路如下：首先利用直接开平方法求解给定的一元二次方程，得到两个根；再根据a＞b的大小关系，分别确定a、b对应的根；最后将a、b的值代入代数式2a+b中，通过二次根式的加减运算得出结果即可。
【解析】
解：先解方程$(x-2)^2=3$，
对等式两边直接开平方，得：$x-2=\pm\sqrt{3}$，
移项得方程的两个根：$x=2+\sqrt{3}$或$x=2-\sqrt{3}$，
$\because a＞b$，且$\sqrt{3}＞-\sqrt{3}$，
$\therefore a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$，
将a、b代入$2a+b$得：
$2a+b=2×(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})$
$=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}$
$=6+\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}+6$
【知识点】
1.直接开平方法解方程 2.代数式求值 3.实数大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题关键是准确求出方程的两根，结合大小关系确定a、b的取值，计算时注意二次根式的合并规则，避免运算出错。
【难度系数】
0.8
11. 解下列方程：
(1) $(2x-3)^2 -9=0$；
(2) $\frac{1}{2}(x+1)^2 -4=0$；
(3) $2(\sqrt{2}x -3)^2=12$；
(4) $(x-a)^2=a^2+2ab+b^2$。
(1) $(2x-3)^2 -9=0$；
(2) $\frac{1}{2}(x+1)^2 -4=0$；
(3) $2(\sqrt{2}x -3)^2=12$；
(4) $(x-a)^2=a^2+2ab+b^2$。
答案
11. (1) $x_1=0,x_2=3$ (2) $x_1=-1-2\sqrt{2},x_2=-1+2\sqrt{2}$ (3) $x_1=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}$ (4) $x_1=2a+b,x_2=-b$
解析
【分析】
这4道方程均可以整理为“含未知数的一次式的平方等于非负常数”的结构，适合用直接开平方法求解。解题思路为：第一步先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为$(ax+b)^2 = c$（$c≥0$）的形式；第二步对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；第三步分别求解两个一次方程，即可得到原一元二次方程的两个根，注意开平方时要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 移项得：$(2x-3)^2 = 9$
开平方得：$2x-3 = \pm 3$
当$2x-3=3$时，$2x=6$，解得$x=3$；
当$2x-3=-3$时，$2x=0$，解得$x=0$；
(2) 移项得：$\frac{1}{2}(x+1)^2 = 4$
两边同乘2得：$(x+1)^2 = 8$
开平方得：$x+1 = \pm 2\sqrt{2}$
移项得：$x = -1\pm2\sqrt{2}$；
(3) 两边同除以2得：$(\sqrt{2}x -3)^2 = 6$
开平方得：$\sqrt{2}x -3 = \pm\sqrt{6}$
移项得：$\sqrt{2}x = 3\pm\sqrt{6}$
两边同除以$\sqrt{2}$，分母有理化得：$x=\frac{3\pm\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}$；
(4) 先将右边变形为完全平方式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
原方程化为：$(x-a)^2=(a+b)^2$
开平方得：$x-a = \pm(a+b)$
当$x-a=a+b$时，解得$x=2a+b$；
当$x-a=-(a+b)$时，$x-a=-a-b$，解得$x=-b$。
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=3$
(2) $x_1=-1-2\sqrt{2},x_2=-1+2\sqrt{2}$
(3) $x_1=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}$
(4) $x_1=2a+b,x_2=-b$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、二次根式化简
【点评】
本题重点考察直接开平方法的应用，解题核心是先把方程整理为左边为含未知数的完全平方式、右边为非负常数的形式，再通过开平方将二次方程转化为熟悉的一次方程求解。解题时要注意开平方时不要遗漏负根，涉及根式运算时要规范化简，含字母参数的方程要注意按分类讨论的思路求解。
【难度系数】
0.7
这4道方程均可以整理为“含未知数的一次式的平方等于非负常数”的结构，适合用直接开平方法求解。解题思路为：第一步先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为$(ax+b)^2 = c$（$c≥0$）的形式；第二步对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；第三步分别求解两个一次方程，即可得到原一元二次方程的两个根，注意开平方时要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 移项得：$(2x-3)^2 = 9$
开平方得：$2x-3 = \pm 3$
当$2x-3=3$时，$2x=6$，解得$x=3$；
当$2x-3=-3$时，$2x=0$，解得$x=0$；
(2) 移项得：$\frac{1}{2}(x+1)^2 = 4$
两边同乘2得：$(x+1)^2 = 8$
开平方得：$x+1 = \pm 2\sqrt{2}$
移项得：$x = -1\pm2\sqrt{2}$；
(3) 两边同除以2得：$(\sqrt{2}x -3)^2 = 6$
开平方得：$\sqrt{2}x -3 = \pm\sqrt{6}$
移项得：$\sqrt{2}x = 3\pm\sqrt{6}$
两边同除以$\sqrt{2}$，分母有理化得：$x=\frac{3\pm\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}\pm2\sqrt{3}}{2}$；
(4) 先将右边变形为完全平方式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
原方程化为：$(x-a)^2=(a+b)^2$
开平方得：$x-a = \pm(a+b)$
当$x-a=a+b$时，解得$x=2a+b$；
当$x-a=-(a+b)$时，$x-a=-a-b$，解得$x=-b$。
【答案】
(1) $x_1=0,x_2=3$
(2) $x_1=-1-2\sqrt{2},x_2=-1+2\sqrt{2}$
(3) $x_1=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{2}$
(4) $x_1=2a+b,x_2=-b$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、完全平方公式、二次根式化简
【点评】
本题重点考察直接开平方法的应用，解题核心是先把方程整理为左边为含未知数的完全平方式、右边为非负常数的形式，再通过开平方将二次方程转化为熟悉的一次方程求解。解题时要注意开平方时不要遗漏负根，涉及根式运算时要规范化简，含字母参数的方程要注意按分类讨论的思路求解。
【难度系数】
0.7
