登录
10. 根据题意，列出方程：
(1) 一个直角三角形的斜边长为5，两条直角边长相差1. 求较长的直角边的长.
(2) 某商品经过两次降价后，销售单价由每件121元降至81元. 求平均每次降价的百分率.
(3) 某小组每两人互送贺卡，全组共互送贺卡72张. 求该小组的人数.
(4) 将一个容积为$360\ \mathrm{cm}^3$的长方体包装纸盒剪开铺平，纸样如图所示.
(1) 一个直角三角形的斜边长为5，两条直角边长相差1. 求较长的直角边的长.
(2) 某商品经过两次降价后，销售单价由每件121元降至81元. 求平均每次降价的百分率.
(3) 某小组每两人互送贺卡，全组共互送贺卡72张. 求该小组的人数.
(4) 将一个容积为$360\ \mathrm{cm}^3$的长方体包装纸盒剪开铺平，纸样如图所示.
答案
10. (1) 设较长的直角边长为 $x$. 根据题意,得 $x^2+(x-1)^2=5^2$ (2) 设平均每次降价的百分率为 $x$. 根据题意,得 $121(1-x)^2=81$ (3) 设该小组的人数为 $x$ 人. 根据题意,得 $x(x-1)=72$ (4) 根据题意,得 $\frac{20-2x}{2} · 15 · x=360$
解析
【分析】
(1) 直角三角形三边满足勾股定理，以此为等量关系解题：设较长直角边为x，则较短直角边为x-1，结合斜边长为5，代入勾股公式即可列方程。
(2) 降价百分率问题的基本模型为：原价×(1-降价百分率)ⁿ=现价，n为降价次数。本题n=2，原价121元，现价81元，代入模型即可列方程。
(3) 互送贺卡属于“双向计数”问题：每人要给除自己外的其余(x-1)人各送1张贺卡，总贺卡数=人数×每人送出的贺卡数，无需除以2，据此列方程。
(4) 长方体容积=长×宽×高，结合图形分析尺寸：长方体的长为15cm、高为x，总长度20cm减去两个x后剩余长度是2个宽的和，即宽为$\frac{20-2x}{2}$，三者乘积等于容积360cm³，据此列方程。
【解析】
(1) 设较长的直角边长为$x$，根据勾股定理得：
$x^2+(x-1)^2=5^2$
(2) 设平均每次降价的百分率为$x$，根据两次降价后的单价关系得：
$121(1-x)^2=81$
(3) 设该小组的人数为$x$人，根据互送贺卡的总数量关系得：
$x(x-1)=72$
(4) 根据长方体容积公式，结合图形尺寸得：
$\frac{20-2x}{2} · 15 · x=360$
【答案】
(1) $x^2+(x-1)^2=5^2$（设较长的直角边长为 $x$）
(2) $121(1-x)^2=81$（设平均每次降价的百分率为 $x$）
(3) $x(x-1)=72$（设该小组的人数为 $x$ 人）
(4) $\frac{20-2x}{2} · 15 · x=360$
【知识点】
列一元二次方程，勾股定理，百分率应用
【点评】
本题考查不同实际场景下一元二次方程的列写，覆盖几何、经济、生活等常见应用模型，解题核心是找准等量关系，熟练掌握各类常见问题的公式模型即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 直角三角形三边满足勾股定理，以此为等量关系解题：设较长直角边为x，则较短直角边为x-1，结合斜边长为5，代入勾股公式即可列方程。
(2) 降价百分率问题的基本模型为：原价×(1-降价百分率)ⁿ=现价，n为降价次数。本题n=2，原价121元，现价81元，代入模型即可列方程。
(3) 互送贺卡属于“双向计数”问题：每人要给除自己外的其余(x-1)人各送1张贺卡，总贺卡数=人数×每人送出的贺卡数，无需除以2，据此列方程。
(4) 长方体容积=长×宽×高，结合图形分析尺寸：长方体的长为15cm、高为x，总长度20cm减去两个x后剩余长度是2个宽的和，即宽为$\frac{20-2x}{2}$，三者乘积等于容积360cm³，据此列方程。
【解析】
(1) 设较长的直角边长为$x$，根据勾股定理得：
$x^2+(x-1)^2=5^2$
(2) 设平均每次降价的百分率为$x$，根据两次降价后的单价关系得：
$121(1-x)^2=81$
(3) 设该小组的人数为$x$人，根据互送贺卡的总数量关系得：
$x(x-1)=72$
(4) 根据长方体容积公式，结合图形尺寸得：
$\frac{20-2x}{2} · 15 · x=360$
【答案】
(1) $x^2+(x-1)^2=5^2$（设较长的直角边长为 $x$）
(2) $121(1-x)^2=81$（设平均每次降价的百分率为 $x$）
(3) $x(x-1)=72$（设该小组的人数为 $x$ 人）
(4) $\frac{20-2x}{2} · 15 · x=360$
【知识点】
列一元二次方程，勾股定理，百分率应用
【点评】
本题考查不同实际场景下一元二次方程的列写，覆盖几何、经济、生活等常见应用模型，解题核心是找准等量关系，熟练掌握各类常见问题的公式模型即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11. 写出一个关于$x$的一元二次方程，使它分别满足下列条件：
（1）二次项系数是5，一次项系数是$\frac{1}{2}$，其中一个根是2；
（2）二次项系数是1，各项系数的和为0；
（3）有一个根等于0。
（1）二次项系数是5，一次项系数是$\frac{1}{2}$，其中一个根是2；
（2）二次项系数是1，各项系数的和为0；
（3）有一个根等于0。
答案
11. 答案不唯一.如(1) $5x^2+\frac{1}{2}x-21=0$ (2) $x^2-x=0$ (3) $x^2+x=0$
解析
【分析】
（1）已知二次项系数和一次项系数，可先写出含未知常数项的一元二次方程形式，再将已知根代入方程求解常数项，即可得到符合要求的方程；
（2）已知二次项系数为1，先设出方程的一般形式，各项系数的和为0即x=1代入方程时等式成立，据此得到一次项系数和常数项的数量关系，任取满足关系的系数即可构造方程；
（3）若方程有一个根为0，将x=0代入一元二次方程一般式可推出常数项为0，因此只要写出常数项为0的一元二次方程即可。
【解析】
（1）设该一元二次方程为$5x^2+\frac{1}{2}x+c=0$（$c$为常数），
把$x=2$代入方程得：$5×2^2 + \frac{1}{2}×2 + c = 0$，
计算得$20+1+c=0$，解得$c=-21$，
即可得符合要求的方程$5x^2+\frac{1}{2}x-21=0$；
（2）设该一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（$b$、$c$为常数），
由各项系数和为0得：$1+b+c=0$，即$b+c=-1$，
取$b=-1$，则$c=0$，即可得符合要求的方程$x^2-x=0$；
（3）设一元二次方程一般式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），
把$x=0$代入方程得$c=0$，即方程常数项为0，
取$a=1,b=1,c=0$，即可得符合要求的方程$x^2+x=0$。
注：（2）（3）答案不唯一，符合要求即可。
【答案】
答案不唯一，如(1) $5x^2+\frac{1}{2}x-21=0$ (2) $x^2-x=0$ (3) $x^2+x=0$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根；一元二次方程的系数
【点评】
本题属于开放型基础题，重点考查对一元二次方程相关概念的理解和灵活运用能力，结合给定条件推导系数的取值要求，即可轻松构造出符合要求的方程。
【难度系数】
0.8
（1）已知二次项系数和一次项系数，可先写出含未知常数项的一元二次方程形式，再将已知根代入方程求解常数项，即可得到符合要求的方程；
（2）已知二次项系数为1，先设出方程的一般形式，各项系数的和为0即x=1代入方程时等式成立，据此得到一次项系数和常数项的数量关系，任取满足关系的系数即可构造方程；
（3）若方程有一个根为0，将x=0代入一元二次方程一般式可推出常数项为0，因此只要写出常数项为0的一元二次方程即可。
【解析】
（1）设该一元二次方程为$5x^2+\frac{1}{2}x+c=0$（$c$为常数），
把$x=2$代入方程得：$5×2^2 + \frac{1}{2}×2 + c = 0$，
计算得$20+1+c=0$，解得$c=-21$，
即可得符合要求的方程$5x^2+\frac{1}{2}x-21=0$；
（2）设该一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（$b$、$c$为常数），
由各项系数和为0得：$1+b+c=0$，即$b+c=-1$，
取$b=-1$，则$c=0$，即可得符合要求的方程$x^2-x=0$；
（3）设一元二次方程一般式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），
把$x=0$代入方程得$c=0$，即方程常数项为0，
取$a=1,b=1,c=0$，即可得符合要求的方程$x^2+x=0$。
注：（2）（3）答案不唯一，符合要求即可。
【答案】
答案不唯一，如(1) $5x^2+\frac{1}{2}x-21=0$ (2) $x^2-x=0$ (3) $x^2+x=0$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根；一元二次方程的系数
【点评】
本题属于开放型基础题，重点考查对一元二次方程相关概念的理解和灵活运用能力，结合给定条件推导系数的取值要求，即可轻松构造出符合要求的方程。
【难度系数】
0.8
12. 已知两个一元二次方程$x^2+ax+b=0$，$x^2+cx+d=0$有一个公共根1.
求证：一元二次方程$x^2+\frac{a+c}{2}x+\frac{b+d}{2}=0$也有一个根1.
求证：一元二次方程$x^2+\frac{a+c}{2}x+\frac{b+d}{2}=0$也有一个根1.
答案
12. 由题意,$1^2+a×1+b=0,1^2+c×1+d=0$,得$2+(a+c)+(b+d)=0$.把 $x=1$ 代入原方程,得 $1^2+\frac{a+c}{2}×1+\frac{b+d}{2}=\frac{1}{2}(2+a+c+b+d)=0$,所以原方程也有一个根为 1
解析
【分析】
要证明一元二次方程有一个根是1，根据一元二次方程根的定义，只需验证x=1代入方程后左右两边相等即可。首先利用已知条件，将公共根1代入前两个一元二次方程，得到关于系数的两个等式，将两个等式相加整理可得到a+c与b+d的数量关系，最后将x=1代入待证方程的左边，代入上述数量关系计算，验证结果是否为0即可完成证明。
【解析】
证明：
∵x=1是方程$x^2+ax+b=0$和$x^2+cx+d=0$的公共根
∴将x=1分别代入两个方程得：
$1+a+b=0$ ①
$1+c+d=0$ ②
①+②可得：$2+(a+c)+(b+d)=0$
将x=1代入方程$x^2+\frac{a+c}{2}x+\frac{b+d}{2}=0$的左边：
$\begin{aligned}左边&=1+\frac{a+c}{2}+\frac{b+d}{2}\\&=\frac{2+a+c+b+d}{2}\end{aligned}$
把$2+(a+c)+(b+d)=0$代入上式，得$左边=\frac{0}{2}=0$，即x=1时方程左右两边相等。
【答案】
一元二次方程$x^2+\frac{a+c}{2}x+\frac{b+d}{2}=0$也有一个根为1，得证。
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.等式的性质
【点评】
本题是基础证明类题型，核心考查方程根的定义的应用，解题逻辑清晰，运算量小，掌握根的定义即可快速找到解题思路。
【难度系数】
0.8
要证明一元二次方程有一个根是1，根据一元二次方程根的定义，只需验证x=1代入方程后左右两边相等即可。首先利用已知条件，将公共根1代入前两个一元二次方程，得到关于系数的两个等式，将两个等式相加整理可得到a+c与b+d的数量关系，最后将x=1代入待证方程的左边，代入上述数量关系计算，验证结果是否为0即可完成证明。
【解析】
证明：
∵x=1是方程$x^2+ax+b=0$和$x^2+cx+d=0$的公共根
∴将x=1分别代入两个方程得：
$1+a+b=0$ ①
$1+c+d=0$ ②
①+②可得：$2+(a+c)+(b+d)=0$
将x=1代入方程$x^2+\frac{a+c}{2}x+\frac{b+d}{2}=0$的左边：
$\begin{aligned}左边&=1+\frac{a+c}{2}+\frac{b+d}{2}\\&=\frac{2+a+c+b+d}{2}\end{aligned}$
把$2+(a+c)+(b+d)=0$代入上式，得$左边=\frac{0}{2}=0$，即x=1时方程左右两边相等。
【答案】
一元二次方程$x^2+\frac{a+c}{2}x+\frac{b+d}{2}=0$也有一个根为1，得证。
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.等式的性质
【点评】
本题是基础证明类题型，核心考查方程根的定义的应用，解题逻辑清晰，运算量小，掌握根的定义即可快速找到解题思路。
【难度系数】
0.8
