1.如图，PA，PB是$\odot O$的切线，且$∠ APB=40°$，下列说法不正确的是().

A.$PA=PB$
B.$∠ APO=20°$
C.$∠ OBP=70°$
D.$∠ AOP=70°$

1.C

【分析】
解决本题需要结合切线的性质和切线长定理逐一分析选项：首先回忆两个核心定理，一是切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角；二是切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。已知∠APB=40°，我们可先推导角的等量关系，再结合直角三角形两锐角互余计算各角度，最后判断选项正误。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴根据切线长定理可得：PA=PB，PO平分∠APB
∴A选项说法正确，不符合题意；
∠APO=∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，故B选项说法正确，不符合题意；
根据切线的性质可知：OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，故C选项说法错误，符合题意；
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠APO=20°
∴∠AOP=90°-20°=70°，故D选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，切线的性质，直角三角形角度计算
【点评】
本题是切线相关性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握切线的性质和切线长定理，结合简单的角度计算即可完成判断。
【难度系数】
0.85

2.如图，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，若$∠ P = 50°$，则$∠ ACB$的度数为。

2.$65°$

【分析】
解题思路：首先根据切线的性质，连接圆心与两个切点OA、OB，得到两个直角；再利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P的度数，求出圆心角∠AOB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=50°$，
∴$∠ AOB = 360° - ∠ OAP - ∠ OBP - ∠ P = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°$。
∵$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×130° = 65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握切线性质和圆周角定理，通过连接圆心与切点构造直角，结合四边形内角和求出圆心角后转化为对应圆周角即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

3.如图，AB是$\odot O$的直径，点C为$\odot O$外一点，CA，CD是$\odot O$的切线，点A，D为切点，连接BD，AD.若$∠ ACD=48°$，则$∠ DBA$的大小是.
第3题图

3.$66°$

【分析】
解题时首先根据切线的相关性质，由CA、CD是圆的切线可得CA=CD，且CA垂直于直径AB，结合已知∠ACD=48°，先求出等腰△ACD的底角∠CAD的度数；再根据∠CAB为直角求出∠DAB的度数；最后利用直径所对的圆周角为直角，得到△ADB是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠DBA的大小。
【解析】
解：
∵CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，
∴CA=CD，∠CAB=90°，
在△ACD中，∠ACD=48°，
∴∠CAD = $\frac{180° - ∠ ACD}{2} = \frac{180° - 48°}{2} = 66°$，
又
∵∠CAB = ∠CAD + ∠DAB = 90°，
∴∠DAB = 90° - 66° = 24°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ADB中，∠DBA + ∠DAB = 90°，
∴∠DBA = 90° - 24° = 66°。
【答案】
$\boxed{66°}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是熟练运用切线相关性质和直径对应的圆周角为直角的特点，结合等腰三角形、直角三角形的角度关系推导结果，是圆的角度计算类的典型常考题。
【难度系数】
0.7

4.如图，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，点P，C，D为切点，如果$AB=8$，$AC=5$，则BD的长为.

4.3

【分析】
解题时首先结合题目中多条圆的切线的条件，联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。第一步先找到从点A引出的两条切线AC、AP，利用切线长相等得到AP=AC，算出AP的长度；第二步用AB的总长度减去AP的长度得到BP的长度；第三步找到从点B引出的两条切线BP、BD，再次利用切线长相等得到BD=BP，即可求出BD的长。
【解析】
∵AB、AC、BD都是⊙O的切线，P、C、D为切点，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴AC=AP，BD=BP，
已知AC=5，
∴AP=AC=5，
又
∵AB=8，
∴BP=AB-AP=8-5=3，
∴BD=BP=3。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是基础类题目，核心考查切线长定理的应用，解题的关键是准确找到从同一点出发的两条切线，利用切线长相等建立等量关系求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8

5.如图，PA，PB是$\odot O$的两条切线，切点分别是点A，B，PA=10，CD是$\odot O$的切线，交PA于点C，交PB于点D，则$△ PCD$的周长是。

5.20

【分析】
本题可利用切线长定理解题，解题思路如下：1. 首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；2. 观察△PCD的周长构成：PC+CD+PD，可将CD拆分为两段切线长的和；3. 利用切线长定理将拆分后的线段分别转化到PA、PB上，即可求出周长。
【解析】
已知PA、PB是$\odot O$的切线，切点分别为A、B，根据切线长定理可得：$ PA = PB = 10 $。
设CD切$\odot O$于点E，同理，由切线长定理可知：
从点C引圆的两条切线长相等，即$ CA = CE $；
从点D引圆的两条切线长相等，即$ DB = DE $。
则△PCD的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ PCD}&=PC + CD + PD\\&=PC + CE + DE + PD\\&=PC + CA + DB + PD\\&=(PC + CA) + (PD + DB)\\&=PA + PB\\&=10 + 10\\&=20\end{aligned}$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的基础应用题型，解题的核心是通过切线长定理对三角形的周长线段进行等量转化，将未知周长转化为已知的两条切线长的和，掌握切线长定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6.如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于E，F，G三点，且$AB// CD$。
(1)求证：$∠ BOC=90°$。
(2)若$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，求BE的长。

6.(1)证明:$\because AB,BC,CD$ 为 $\odot O$ 的切线,$\therefore∠ EBO=∠ FBO,∠ FCO=∠ GCO$,
$\because AB// CD,\therefore∠ EBC+∠ BCG=180°,\therefore∠ FBO+∠ FCO=90°,\therefore∠ BOC=90°$.
(2)连接 $OF$.
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=10\ \mathrm{cm}$,
$\because S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OB· OC=\dfrac{1}{2}OF· BC$,$OB=6\ \mathrm{cm}$,$OC=8\ \mathrm{cm}$,$\therefore OF=\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$,
在 $\mathrm{Rt}△ OBF$ 中,$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}=\dfrac{18}{5}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BE=BF=\dfrac{18}{5}\ \mathrm{cm}$.

【分析】
(1) 要证∠BOC=90°，首先根据切线长定理可得BO平分∠ABC、CO平分∠BCD；再结合AB//CD的性质，得到同旁内角∠ABC+∠BCD=180°，可推出两个角的一半之和为90°，最后根据三角形内角和即可得到∠BOC的度数。
(2) 求BE的长时，根据切线长定理可知BE=BF，因此只需计算BF的长度即可。首先利用(1)的结论得△BOC是直角三角形，用勾股定理算出BC的长；再通过直角三角形面积的两种计算方法求出半径OF的长度；最后在Rt△OBF中用勾股定理算出BF，即为BE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AB、BC、CD都是⊙O的切线，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠BCD，即∠EBO=∠FBO，∠FCO=∠GCO，
∵AB//CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，即2∠FBO+2∠FCO=180°，
∴∠FBO+∠FCO=90°，
在△BOC中，∠BOC=180°-(∠FBO+∠FCO)=180°-90°=90°，得证。
(2) 解：连接OF，
∵BC是⊙O的切线，F为切点，
∴OF⊥BC，
由(1)知∠BOC=90°，在Rt△BOC中，OB=6cm，OC=8cm，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
∵$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· OB· OC=\frac{1}{2}· BC· OF$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× OF$，解得$OF=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$，
由切线长定理得BE=BF，在Rt△OBF中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$，
∴$BE=BF=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) ∠BOC=90°得证；
(2) BE的长为$\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$（或3.6cm）。
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线相关的基础综合题，解题关键是熟练运用切线长定理得到角和线段的等量关系，结合直角三角形的性质进行计算，属于圆章节的常考典型题型。
【难度系数】
0.7