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7.如图，PA，PB是$\odot O$的切线，点A，B为切点，点C，D在$\odot O$上.若$∠ APB＝102°$，则$∠ A＋∠ C＝$
第7题图 第8题图 第9题图
$219°$
.第7题图 第8题图 第9题图
答案
7.$219°$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 看到PA、PB是圆的切线，首先想到切线长定理，可得PA=PB，△PAB为等腰三角形，结合已知∠APB的度数，可计算出∠PAB的度数；2. 要求的∠A（即∠PAD）可拆分为∠PAB与∠DAB的和；3. 四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得∠DAB + ∠C = 180°，将所求∠A + ∠C转化为∠PAB + (∠DAB + ∠C)，代入数值即可得到结果。
【解析】
解：连接AB。
∵ PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴ PA = PB，即△PAB为等腰三角形
∵ ∠APB = 102°
∴ ∠PAB = (180° - ∠APB)÷2 = (180° - 102°)÷2 = 39°
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ ∠DAB + ∠C = 180°
∵ 图中∠A为∠PAD，∠PAD = ∠PAB + ∠DAB
∴ ∠A + ∠C = ∠PAB + ∠DAB + ∠C = 39° + 180° = 219°
【答案】
219°
【知识点】
切线长定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题关键是通过连接辅助线AB，将所求角合理拆分，结合相关性质即可求解，是圆章节的高频考查题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 看到PA、PB是圆的切线，首先想到切线长定理，可得PA=PB，△PAB为等腰三角形，结合已知∠APB的度数，可计算出∠PAB的度数；2. 要求的∠A（即∠PAD）可拆分为∠PAB与∠DAB的和；3. 四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得∠DAB + ∠C = 180°，将所求∠A + ∠C转化为∠PAB + (∠DAB + ∠C)，代入数值即可得到结果。
【解析】
解：连接AB。
∵ PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴ PA = PB，即△PAB为等腰三角形
∵ ∠APB = 102°
∴ ∠PAB = (180° - ∠APB)÷2 = (180° - 102°)÷2 = 39°
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ ∠DAB + ∠C = 180°
∵ 图中∠A为∠PAD，∠PAD = ∠PAB + ∠DAB
∴ ∠A + ∠C = ∠PAB + ∠DAB + ∠C = 39° + 180° = 219°
【答案】
219°
【知识点】
切线长定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的综合基础题，解题关键是通过连接辅助线AB，将所求角合理拆分，结合相关性质即可求解，是圆章节的高频考查题型。
【难度系数】
0.7
8.如图，小明同学测量一张光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3 cm，则此光盘的直径是
$6\sqrt{3}$
cm.答案
8.$6\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合圆的切线相关性质构造直角三角形求解：首先设光盘的圆心为O，三角板斜边与光盘的切点为C，连接OA、OB、OC；根据切线的性质可知OB垂直直尺、OC垂直三角板斜边，二者都是圆的半径；再根据切线长定理可得AB=AC=3cm，且OA平分两条切线的夹角；结合图中60°的角可推出∠OAB=60°，最后在直角三角形OAB中利用特殊角的三角函数求出半径，进而得到直径。
【解析】
设光盘的圆心为O，三角板的斜边与光盘相切于点C，连接OA、OB、OC。
∵ 直尺与光盘相切于点B，三角板斜边与光盘相切于点C
∴ OB⊥AB，OC⊥AC，且OB、OC均为圆的半径，即OB=OC
∵ AB、AC是从点A引出的圆O的两条切线
∴ 根据切线长定理可得：AB=AC=3cm，OA平分∠BAC
由图可知三角板与直尺的夹角为60°，因此两条切线的夹角∠BAC=180°-60°=120°
∴ ∠OAB=½∠BAC=60°
在Rt△OAB中，∠OBA=90°，AB=3cm
$\tan∠ OAB=\frac{OB}{AB}$，代入$\tan60°=\sqrt{3}$得：
$\sqrt{3}=\frac{OB}{3}$，解得$OB=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
因此光盘的直径为$2OB=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景考查圆的切线相关知识的应用，解题的核心是正确作出辅助线构造直角三角形，需要熟练掌握切线的相关定理和特殊角的三角函数值，能锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以结合圆的切线相关性质构造直角三角形求解：首先设光盘的圆心为O，三角板斜边与光盘的切点为C，连接OA、OB、OC；根据切线的性质可知OB垂直直尺、OC垂直三角板斜边，二者都是圆的半径；再根据切线长定理可得AB=AC=3cm，且OA平分两条切线的夹角；结合图中60°的角可推出∠OAB=60°，最后在直角三角形OAB中利用特殊角的三角函数求出半径，进而得到直径。
【解析】
设光盘的圆心为O，三角板的斜边与光盘相切于点C，连接OA、OB、OC。
∵ 直尺与光盘相切于点B，三角板斜边与光盘相切于点C
∴ OB⊥AB，OC⊥AC，且OB、OC均为圆的半径，即OB=OC
∵ AB、AC是从点A引出的圆O的两条切线
∴ 根据切线长定理可得：AB=AC=3cm，OA平分∠BAC
由图可知三角板与直尺的夹角为60°，因此两条切线的夹角∠BAC=180°-60°=120°
∴ ∠OAB=½∠BAC=60°
在Rt△OAB中，∠OBA=90°，AB=3cm
$\tan∠ OAB=\frac{OB}{AB}$，代入$\tan60°=\sqrt{3}$得：
$\sqrt{3}=\frac{OB}{3}$，解得$OB=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
因此光盘的直径为$2OB=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；切线长定理；解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景考查圆的切线相关知识的应用，解题的核心是正确作出辅助线构造直角三角形，需要熟练掌握切线的相关定理和特殊角的三角函数值，能锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
9.如图，四边形ABCD是$\odot O$的外切四边形，切点分别为E，F，G，H.连接OA，OB，OC，OD.若$AB=5$，$BC=6$，$CD=4$，则DA的长为
3
；若$∠ AOD=75°$，则$∠ BOC=$$105°$
.答案
9.3 $105°$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：1.求DA的长：看到四边形是圆的外切四边形，首先回忆圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等，直接代入已知边长列等式即可求解。2.求∠BOC的度数：根据切线长定理可知，圆心与四边形各顶点的连线平分四边形的对应内角，结合三角形内角和、四边形内角和，可推导得出∠AOD与∠BOC互补，代入已知角度即可计算出结果。
【解析】
1. 求DA的长度：
∵ 四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E、F、G、H
根据圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等
∴ $AB + CD = BC + DA$
将$AB=5$，$BC=6$，$CD=4$代入得：
$5 + 4 = 6 + DA$
解得：$DA=3$
2. 求∠BOC的度数：
∵ ⊙O是四边形ABCD的内切圆
∴ OA平分∠BAD，OD平分∠ADC，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD
∴ $∠ OAD = \frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ ODA = \frac{1}{2}∠ ADC$
在$△ AOD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AOD = 180° - (∠ OAD + ∠ ODA) = 180° - \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ ADC)$
同理可得：$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD)$
将两式相加得：
$∠ AOD + ∠ BOC = 360° - \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ ADC + ∠ ABC + ∠ BCD)$
∵ 四边形内角和为$360°$，即$∠ BAD + ∠ ADC + ∠ ABC + ∠ BCD = 360°$
∴ $∠ AOD + ∠ BOC = 360° - \frac{1}{2} × 360° = 180°$
已知$∠ AOD=75°$，代入得：
$∠ BOC = 180° - 75° = 105°$
【答案】
3；$105°$
【知识点】
圆外切四边形的性质；切线长定理；多边形内角和
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础题，解题核心是熟练掌握切线长定理及圆外切四边形的相关结论，第一问直接用性质即可求解，第二问需要结合角平分线、内角和公式推导两角的互补关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：1.求DA的长：看到四边形是圆的外切四边形，首先回忆圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等，直接代入已知边长列等式即可求解。2.求∠BOC的度数：根据切线长定理可知，圆心与四边形各顶点的连线平分四边形的对应内角，结合三角形内角和、四边形内角和，可推导得出∠AOD与∠BOC互补，代入已知角度即可计算出结果。
【解析】
1. 求DA的长度：
∵ 四边形ABCD是⊙O的外切四边形，切点分别为E、F、G、H
根据圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等
∴ $AB + CD = BC + DA$
将$AB=5$，$BC=6$，$CD=4$代入得：
$5 + 4 = 6 + DA$
解得：$DA=3$
2. 求∠BOC的度数：
∵ ⊙O是四边形ABCD的内切圆
∴ OA平分∠BAD，OD平分∠ADC，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD
∴ $∠ OAD = \frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ ODA = \frac{1}{2}∠ ADC$
在$△ AOD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AOD = 180° - (∠ OAD + ∠ ODA) = 180° - \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ ADC)$
同理可得：$∠ BOC = 180° - \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD)$
将两式相加得：
$∠ AOD + ∠ BOC = 360° - \frac{1}{2}(∠ BAD + ∠ ADC + ∠ ABC + ∠ BCD)$
∵ 四边形内角和为$360°$，即$∠ BAD + ∠ ADC + ∠ ABC + ∠ BCD = 360°$
∴ $∠ AOD + ∠ BOC = 360° - \frac{1}{2} × 360° = 180°$
已知$∠ AOD=75°$，代入得：
$∠ BOC = 180° - 75° = 105°$
【答案】
3；$105°$
【知识点】
圆外切四边形的性质；切线长定理；多边形内角和
【点评】
本题是圆与四边形结合的基础题，解题核心是熟练掌握切线长定理及圆外切四边形的相关结论，第一问直接用性质即可求解，第二问需要结合角平分线、内角和公式推导两角的互补关系，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，$\odot O$与$△ ADE$各边所在的直线都相切，点$C$，$M$，$N$为切点，$DE⊥ AE$.
(1)若$∠ EAD=30°$，求$∠ DOE$的度数.
(2)若$AE=8$，$AD=10$，求$\odot O$的半径.
(1)若$∠ EAD=30°$，求$∠ DOE$的度数.
(2)若$AE=8$，$AD=10$，求$\odot O$的半径.
答案
10.(1)连接 $OC,OM,ON$.
$\because∠ EAD=30°$,$AC,AN,DE$ 为圆的切线,
$\therefore∠ CON=150°,∠ COD=∠ DOM,∠ MOE=∠ EON$,
$\therefore∠ CON=2∠ DOE,\therefore∠ DOE=75°$.
(2)连接 $OM,ON$.
四边形 $OMEN$ 为正方形,$\therefore OM=EN$,
由 $DE⊥ AE$,$AE=8$,$AD=10$,根据勾股定理求得 $DE=6$,
由切线长定理知 $AC=AN$,$DM=DC$,$EM=EN$,
$\therefore AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DC+EN+AE=2AN=24$,
$\therefore AN=12,EN=4,\therefore\odot O$ 的半径为 4.
$\because∠ EAD=30°$,$AC,AN,DE$ 为圆的切线,
$\therefore∠ CON=150°,∠ COD=∠ DOM,∠ MOE=∠ EON$,
$\therefore∠ CON=2∠ DOE,\therefore∠ DOE=75°$.
(2)连接 $OM,ON$.
四边形 $OMEN$ 为正方形,$\therefore OM=EN$,
由 $DE⊥ AE$,$AE=8$,$AD=10$,根据勾股定理求得 $DE=6$,
由切线长定理知 $AC=AN$,$DM=DC$,$EM=EN$,
$\therefore AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DC+EN+AE=2AN=24$,
$\therefore AN=12,EN=4,\therefore\odot O$ 的半径为 4.
解析
【分析】
(1) 要求∠DOE的度数，首先利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线，可得OC⊥AC、ON⊥AN，结合已知∠EAD=30°，可先在四边形OCAN中求出∠CON的度数；再根据切线长定理，可知DO平分∠COM、EO平分∠MON，进而推出∠DOE是∠CON的一半，代入计算即可。
(2) 要求⊙O的半径，首先观察到OM⊥DE、ON⊥AN，且DE⊥AE，OM=ON，可判断四边形OMEN是正方形，因此半径长度等于EN的长度；先在Rt△ADE中用勾股定理求出DE的长度，再利用切线长定理推导得出△ADE的周长等于2AN，计算出AN的长度后，用AN减去AE的长度即可得到EN，即圆的半径。
【解析】
(1) 连接$OC,OM,ON$。
∵$\odot O$与$△ADE$各边所在直线相切，$C,M,N$为切点，
∴$OC⊥AC$，$ON⊥AN$，$OD$平分$∠COM$，$OE$平分$∠MON$，即$∠ COD=∠ DOM$，$∠ MOE=∠ EON$。
∵$∠ EAD=30°$，四边形$OCAN$内角和为$360°$，
∴$∠ CON=360°-∠ OCA-∠ ONA-∠ EAD=360°-90°-90°-30°=150°$。
∴$∠ DOE=∠ DOM+∠ MOE=\frac{1}{2}(∠ COM+∠ MON)=\frac{1}{2}∠ CON=\frac{1}{2}×150°=75°$。
(2) 连接$OM,ON$。
∵$\odot O$与$DE,AN$分别相切于$M,N$，
∴$OM⊥DE$，$ON⊥AN$，又$DE⊥AE$，
∴四边形$OMEN$是矩形，又$OM=ON$（同圆半径相等），
∴四边形$OMEN$是正方形，即$OM=EN$。
在$Rt△ADE$中，$AE=8$，$AD=10$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
由切线长定理得：$AC=AN$，$DM=DC$，$EM=EN$，
∴$AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DC+EN+AE=AC+AN=2AN$，
代入数值得$10+6+8=2AN$，解得$AN=12$，
∴$EN=AN-AE=12-8=4$，即$\odot O$的半径为4。
【答案】
(1) $∠ DOE=75°$；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
切线长定理；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础综合题，解题的核心是熟练运用切线的性质和切线长定理，推导角、线段之间的数量关系，同时结合勾股定理、正方形的判定进行计算，整体解题思路清晰，对基础定理的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠DOE的度数，首先利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线，可得OC⊥AC、ON⊥AN，结合已知∠EAD=30°，可先在四边形OCAN中求出∠CON的度数；再根据切线长定理，可知DO平分∠COM、EO平分∠MON，进而推出∠DOE是∠CON的一半，代入计算即可。
(2) 要求⊙O的半径，首先观察到OM⊥DE、ON⊥AN，且DE⊥AE，OM=ON，可判断四边形OMEN是正方形，因此半径长度等于EN的长度；先在Rt△ADE中用勾股定理求出DE的长度，再利用切线长定理推导得出△ADE的周长等于2AN，计算出AN的长度后，用AN减去AE的长度即可得到EN，即圆的半径。
【解析】
(1) 连接$OC,OM,ON$。
∵$\odot O$与$△ADE$各边所在直线相切，$C,M,N$为切点，
∴$OC⊥AC$，$ON⊥AN$，$OD$平分$∠COM$，$OE$平分$∠MON$，即$∠ COD=∠ DOM$，$∠ MOE=∠ EON$。
∵$∠ EAD=30°$，四边形$OCAN$内角和为$360°$，
∴$∠ CON=360°-∠ OCA-∠ ONA-∠ EAD=360°-90°-90°-30°=150°$。
∴$∠ DOE=∠ DOM+∠ MOE=\frac{1}{2}(∠ COM+∠ MON)=\frac{1}{2}∠ CON=\frac{1}{2}×150°=75°$。
(2) 连接$OM,ON$。
∵$\odot O$与$DE,AN$分别相切于$M,N$，
∴$OM⊥DE$，$ON⊥AN$，又$DE⊥AE$，
∴四边形$OMEN$是矩形，又$OM=ON$（同圆半径相等），
∴四边形$OMEN$是正方形，即$OM=EN$。
在$Rt△ADE$中，$AE=8$，$AD=10$，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
由切线长定理得：$AC=AN$，$DM=DC$，$EM=EN$，
∴$AD+DE+AE=AD+DM+EM+AE=AD+DC+EN+AE=AC+AN=2AN$，
代入数值得$10+6+8=2AN$，解得$AN=12$，
∴$EN=AN-AE=12-8=4$，即$\odot O$的半径为4。
【答案】
(1) $∠ DOE=75°$；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
切线长定理；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础综合题，解题的核心是熟练运用切线的性质和切线长定理，推导角、线段之间的数量关系，同时结合勾股定理、正方形的判定进行计算，整体解题思路清晰，对基础定理的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7
11.如图，PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，AC是$\odot O$的直径，$AC=AP$，连接OP交AB于点D，连接PC交$\odot O$于点E，连接DE.
(1)求证：$△ ABC ≌ △ PDA$.
(2)求$\frac{BD}{DE}$的值.
(1)求证：$△ ABC ≌ △ PDA$.
(2)求$\frac{BD}{DE}$的值.
答案
11.(1)证明:连接 $OB$.
$\because AC$ 为 $\odot O$ 的直径,$PA$ 和 $PB$ 为 $\odot O$ 的切线,$\therefore∠ ABC=∠ PAC=∠ PDA=90°$,
$\therefore∠ BAC+∠ ACB=∠ BAC+∠ PAD,\therefore∠ ACB=∠ PAD$,
$\because AC=AP,\therefore△ ABC≌△ PDA(\mathrm{AAS})$.
(2)连接 $OE,AE,BE$,延长 $BE$ 交 $OP$ 于点 $J$.
$\because∠ AEC=90°,AC=AP,\therefore CE=PE$,
$\because OP⊥ AB,AB⊥ BC,\therefore OP// BC$,
$\therefore∠ BCE=∠ JPE,\therefore△ CEB≌△ PEJ(\mathrm{ASA}),\therefore BE=EJ$.
$\because∠ ABE=∠ ACE=45°,\therefore∠ ABE=∠ DJB=45°$,
$\therefore DB=DJ ,\therefore DE⊥ BE$,
$\therefore△ BDE$ 为等腰直角三角形,$\therefore\dfrac{BD}{DE}=\sqrt{2}$.
$\because AC$ 为 $\odot O$ 的直径,$PA$ 和 $PB$ 为 $\odot O$ 的切线,$\therefore∠ ABC=∠ PAC=∠ PDA=90°$,
$\therefore∠ BAC+∠ ACB=∠ BAC+∠ PAD,\therefore∠ ACB=∠ PAD$,
$\because AC=AP,\therefore△ ABC≌△ PDA(\mathrm{AAS})$.
(2)连接 $OE,AE,BE$,延长 $BE$ 交 $OP$ 于点 $J$.
$\because∠ AEC=90°,AC=AP,\therefore CE=PE$,
$\because OP⊥ AB,AB⊥ BC,\therefore OP// BC$,
$\therefore∠ BCE=∠ JPE,\therefore△ CEB≌△ PEJ(\mathrm{ASA}),\therefore BE=EJ$.
$\because∠ ABE=∠ ACE=45°,\therefore∠ ABE=∠ DJB=45°$,
$\therefore DB=DJ ,\therefore DE⊥ BE$,
$\therefore△ BDE$ 为等腰直角三角形,$\therefore\dfrac{BD}{DE}=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ABC ≌ △ PDA$，首先结合已知条件推导两个三角形的对应角和对应边关系：先根据切线性质、直径所对圆周角为直角，可得两个三角形都是直角三角形，再通过同角的余角相等得到一组对应角相等，结合已知的$AC=AP$，即可用AAS判定全等。
(2) 求$\frac{BD}{DE}$的比值，需先添加辅助线构造全等和特殊三角形：先利用直径所对圆周角为直角，结合$AC=AP$的等腰三角形性质得到$E$为$PC$中点；再通过$OP$与$BC$都垂直$AB$推出两线平行，证$△ CEB≌△ PEJ$得到$E$为$BJ$中点，最后推导角的关系得出$△ BDE$为等腰直角三角形，即可得到线段比值。
【解析】
(1) 证明：连接$OB$。
$\because AC$为$\odot O$的直径，$PA$、$PB$为$\odot O$的切线，
$\therefore∠ABC=∠PAC=90°$，$OP$垂直平分$AB$，即$∠PDA=90°$，
$\therefore∠BAC+∠ACB=90°$，$∠BAC+∠PAD=90°$，
$\therefore∠ACB=∠PAD$，
又$\because AC=AP$，
$\therefore△ABC≌△PDA(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：连接$OE,AE,BE$，延长$BE$交$OP$于点$J$。
$\because AC$是$\odot O$的直径，$\therefore∠AEC=90°$，即$AE⊥PC$，
又$\because AC=AP$，$\therefore△ACP$是等腰三角形，由三线合一得$CE=PE$。
$\because OP⊥AB$，$AB⊥BC$，$\therefore OP//BC$，
$\therefore∠BCE=∠JPE$，
在$△ CEB$和$△ PEJ$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BCE=∠ JPE\\ CE=PE\\ ∠ CEB=∠ PEJ\end{array} $
$\therefore△CEB≌△PEJ(\mathrm{ASA})$，$\therefore BE=EJ$。
$\because∠ABE=∠ACE$，$AC=AP$，$∠CAP=90°$，$\therefore∠ACE=45°$，即$∠ABE=45°$，
$\because OP⊥AB$，$\therefore∠DJB=∠ABE=45°$，$\therefore DB=DJ$，
$\therefore DE$是等腰$△ DBJ$的中线，且顶角$∠BDJ=90°$，$\therefore DE⊥BE$，
$\therefore△BDE$是等腰直角三角形，$\therefore BD=\sqrt{2}DE$，即$\frac{BD}{DE}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、全等三角形的判定和特殊三角形的性质，解题的关键是合理添加辅助线，结合已知的垂直、边相等的条件推导角与边的对应关系，能有效提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明$△ ABC ≌ △ PDA$，首先结合已知条件推导两个三角形的对应角和对应边关系：先根据切线性质、直径所对圆周角为直角，可得两个三角形都是直角三角形，再通过同角的余角相等得到一组对应角相等，结合已知的$AC=AP$，即可用AAS判定全等。
(2) 求$\frac{BD}{DE}$的比值，需先添加辅助线构造全等和特殊三角形：先利用直径所对圆周角为直角，结合$AC=AP$的等腰三角形性质得到$E$为$PC$中点；再通过$OP$与$BC$都垂直$AB$推出两线平行，证$△ CEB≌△ PEJ$得到$E$为$BJ$中点，最后推导角的关系得出$△ BDE$为等腰直角三角形，即可得到线段比值。
【解析】
(1) 证明：连接$OB$。
$\because AC$为$\odot O$的直径，$PA$、$PB$为$\odot O$的切线，
$\therefore∠ABC=∠PAC=90°$，$OP$垂直平分$AB$，即$∠PDA=90°$，
$\therefore∠BAC+∠ACB=90°$，$∠BAC+∠PAD=90°$，
$\therefore∠ACB=∠PAD$，
又$\because AC=AP$，
$\therefore△ABC≌△PDA(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：连接$OE,AE,BE$，延长$BE$交$OP$于点$J$。
$\because AC$是$\odot O$的直径，$\therefore∠AEC=90°$，即$AE⊥PC$，
又$\because AC=AP$，$\therefore△ACP$是等腰三角形，由三线合一得$CE=PE$。
$\because OP⊥AB$，$AB⊥BC$，$\therefore OP//BC$，
$\therefore∠BCE=∠JPE$，
在$△ CEB$和$△ PEJ$中：
$\{\begin{array}{l}∠ BCE=∠ JPE\\ CE=PE\\ ∠ CEB=∠ PEJ\end{array} $
$\therefore△CEB≌△PEJ(\mathrm{ASA})$，$\therefore BE=EJ$。
$\because∠ABE=∠ACE$，$AC=AP$，$∠CAP=90°$，$\therefore∠ACE=45°$，即$∠ABE=45°$，
$\because OP⊥AB$，$\therefore∠DJB=∠ABE=45°$，$\therefore DB=DJ$，
$\therefore DE$是等腰$△ DBJ$的中线，且顶角$∠BDJ=90°$，$\therefore DE⊥BE$，
$\therefore△BDE$是等腰直角三角形，$\therefore BD=\sqrt{2}DE$，即$\frac{BD}{DE}=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\sqrt{2}$
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、全等三角形的判定和特殊三角形的性质，解题的关键是合理添加辅助线，结合已知的垂直、边相等的条件推导角与边的对应关系，能有效提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.5
