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1.三角形的内心是该三角形的(
A.三条高线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条中线的交点
B
).A.三条高线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条中线的交点
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查三角形内心的定义及三角形特殊线段交点的概念辨析。解题时首先回忆三角形中各类特殊线段交点对应的名称，逐一比对选项与内心的定义，即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形三条高线的交点是三角形的垂心，不符合题意；
B. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，该点到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心，符合题意；
C. 三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外心，是三角形外接圆的圆心，不符合题意；
D. 三角形三条中线的交点是三角形的重心，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的定义；三角形特殊交点辨析
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查三角形不同特殊线段交点的概念区分，熟记各类“心”的定义即可快速作答，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形内心的定义及三角形特殊线段交点的概念辨析。解题时首先回忆三角形中各类特殊线段交点对应的名称，逐一比对选项与内心的定义，即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 三角形三条高线的交点是三角形的垂心，不符合题意；
B. 三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，该点到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心，符合题意；
C. 三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外心，是三角形外接圆的圆心，不符合题意；
D. 三角形三条中线的交点是三角形的重心，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的定义；三角形特殊交点辨析
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查三角形不同特殊线段交点的概念区分，熟记各类“心”的定义即可快速作答，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
2.如图，$△ ABC$ 的内切圆$\odot O$与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，若$∠ DEF=50°$，则$∠ A$的度数是
$80°$
。答案
2.$80°$
解析
【分析】
要求∠A的度数，我们可按如下思路推导：首先连接圆心O与切点D、F，利用圆周角定理，由已知的圆周角∠DEF求出同弧所对的圆心角∠DOF的度数；再根据切线的性质得到OD⊥AB、OF⊥AC，即∠ADO和∠AFO均为直角；最后结合四边形内角和为360°，代入已知角度即可算出∠A的大小。
【解析】
连接OD、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、F分别是AB、AC边上的切点，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，即∠ADO=∠AFO=90°。
∵∠DEF是弧DF所对的圆周角，∠DOF是弧DF所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠DOF=2∠DEF=2×50°=100°。
∵四边形ADOF的内角和为360°，
∴∠A + ∠ADO + ∠AFO + ∠DOF = 360°，
代入得：∠A + 90° + 90° + 100° = 360°，
解得∠A=80°。
【答案】
80°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题型，解题的核心是正确添加辅助线构造圆心角和直角，熟练运用圆周角定理与四边形内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.75
要求∠A的度数，我们可按如下思路推导：首先连接圆心O与切点D、F，利用圆周角定理，由已知的圆周角∠DEF求出同弧所对的圆心角∠DOF的度数；再根据切线的性质得到OD⊥AB、OF⊥AC，即∠ADO和∠AFO均为直角；最后结合四边形内角和为360°，代入已知角度即可算出∠A的大小。
【解析】
连接OD、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、F分别是AB、AC边上的切点，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，即∠ADO=∠AFO=90°。
∵∠DEF是弧DF所对的圆周角，∠DOF是弧DF所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠DOF=2∠DEF=2×50°=100°。
∵四边形ADOF的内角和为360°，
∴∠A + ∠ADO + ∠AFO + ∠DOF = 360°，
代入得：∠A + 90° + 90° + 100° = 360°，
解得∠A=80°。
【答案】
80°
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是三角形内切圆的基础应用题型，解题的核心是正确添加辅助线构造圆心角和直角，熟练运用圆周角定理与四边形内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.75
3.如图,点O是△ABC的内心,∠A=80°,则∠BOC的度数是
$130°$
.答案
3.$130°$
解析
【分析】
首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角的角平分线的交点，因此BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB。解题时先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的性质得到∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵点O是△ABC的内心
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$
在△BOC中：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-50°=130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内心相关的基础常考题，解题的核心是掌握内心为角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理即可快速计算出角度，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三个内角的角平分线的交点，因此BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB。解题时先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A的度数，求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的性质得到∠OBC与∠OCB的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵点O是△ABC的内心
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-80°=100°$
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$
在△BOC中：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-50°=130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是三角形内心相关的基础常考题，解题的核心是掌握内心为角平分线交点的性质，结合三角形内角和定理即可快速计算出角度，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.如图，点O是$△ ABC$的内心，$OD ⊥ BC$，垂足为点D，$OD=2$，若$△ ABC$的周长为12，则$△ ABC$的面积是
$12$
。答案
4.$12$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。要求△ABC的面积，我们可以用分割法，将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形，这三个小三角形的高都等于内心O到各边的距离，也就是OD的长度，而三个小三角形的底之和恰好是△ABC的周长，代入面积公式即可计算出总面积。
【解析】
连接OA、OB、OC。
∵点O是△ABC的内心，
∴点O到AB、BC、AC三边的距离相等，均等于OD的长度，即高$h=OD=2$。
△ABC的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×h + \frac{1}{2}×BC×h + \frac{1}{2}×AC×h$
提取公因式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×h×(AB+BC+AC)$
已知△ABC周长为12，即$AB+BC+AC=12$，$h=2$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×12=12$
【答案】
12
【知识点】
三角形内心的性质；三角形面积计算；分割法求图形面积
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，核心考查对内心性质的理解和应用，解题的关键是掌握“内心到三角形三边距离相等”这一性质，通过分割大三角形为三个等高的小三角形，结合周长条件快速计算面积，该方法是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。要求△ABC的面积，我们可以用分割法，将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形，这三个小三角形的高都等于内心O到各边的距离，也就是OD的长度，而三个小三角形的底之和恰好是△ABC的周长，代入面积公式即可计算出总面积。
【解析】
连接OA、OB、OC。
∵点O是△ABC的内心，
∴点O到AB、BC、AC三边的距离相等，均等于OD的长度，即高$h=OD=2$。
△ABC的面积可表示为三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×h + \frac{1}{2}×BC×h + \frac{1}{2}×AC×h$
提取公因式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×h×(AB+BC+AC)$
已知△ABC周长为12，即$AB+BC+AC=12$，$h=2$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×2×12=12$
【答案】
12
【知识点】
三角形内心的性质；三角形面积计算；分割法求图形面积
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，核心考查对内心性质的理解和应用，解题的关键是掌握“内心到三角形三边距离相等”这一性质，通过分割大三角形为三个等高的小三角形，结合周长条件快速计算面积，该方法是这类题型的常用解题思路。
【难度系数】
0.7
5.△ABC的三边分别为6,8,10,则△ABC内切圆的半径为
$2$
.答案
5.$2$
解析
【分析】
首先观察三角形三边长为6、8、10，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，验证可得该三角形为直角三角形。接下来求内切圆半径，可采用通用的面积法：三角形的面积等于$\frac{1}{2}$乘以三角形周长乘以内切圆半径，也可直接使用直角三角形内切圆半径的特殊公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），两种方法均符合九年级知识要求，都能快速算出结果。
【解析】
1. 判定三角形形状
∵ $6^2+8^2=36+64=100=10^2$，符合勾股定理的逆定理
∴ $△ ABC$是直角三角形，直角边长为6和8，斜边长为10
2. 计算三角形面积和周长
$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24$
$△ ABC$的周长$l=6+8+10=24$
3. 利用面积法求内切圆半径$r$
三角形面积与内切圆半径的关系为：$S=\frac{1}{2}× l× r$
代入数值可得：$24=\frac{1}{2}×24× r$
解得$r=2$
（也可直接用直角三角形内切圆半径公式计算：$r=\frac{6+8-10}{2}=2$，结果一致）
【答案】
2
【知识点】
勾股定理逆定理；内切圆半径计算；面积法解题
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直角三角形的判定和三角形内切圆半径的计算，熟练掌握相关公式和面积法的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先观察三角形三边长为6、8、10，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，验证可得该三角形为直角三角形。接下来求内切圆半径，可采用通用的面积法：三角形的面积等于$\frac{1}{2}$乘以三角形周长乘以内切圆半径，也可直接使用直角三角形内切圆半径的特殊公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），两种方法均符合九年级知识要求，都能快速算出结果。
【解析】
1. 判定三角形形状
∵ $6^2+8^2=36+64=100=10^2$，符合勾股定理的逆定理
∴ $△ ABC$是直角三角形，直角边长为6和8，斜边长为10
2. 计算三角形面积和周长
$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}×6×8=24$
$△ ABC$的周长$l=6+8+10=24$
3. 利用面积法求内切圆半径$r$
三角形面积与内切圆半径的关系为：$S=\frac{1}{2}× l× r$
代入数值可得：$24=\frac{1}{2}×24× r$
解得$r=2$
（也可直接用直角三角形内切圆半径公式计算：$r=\frac{6+8-10}{2}=2$，结果一致）
【答案】
2
【知识点】
勾股定理逆定理；内切圆半径计算；面积法解题
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直角三角形的判定和三角形内切圆半径的计算，熟练掌握相关公式和面积法的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.如图，△ABC与它的内切圆相切于点D，E，F.若△ABC的周长为20，BC=7，则AD的长为
$3$
.答案
6.$3$
解析
【分析】
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：首先根据切线长定理得到三组相等的切线长：AD=AF、BD=BE、CE=CF；再将△ABC的周长用上述相等的线段表示，结合已知的BC长度和周长数值，通过等量代换即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC的内切圆与三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∴由切线长定理可得：$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$。
已知△ABC的周长为20，即$AB+BC+AC=20$，
将各边拆分可得：$(AD+BD)+BC+(AF+CF)=20$，
把$AF=AD$、$BD=BE$、$CF=CE$代入上式：
$2AD + BE + CE + BC = 20$，
又
∵$BE+CE=BC=7$，
∴$2AD + 7 +7 =20$，
解得$2AD=6$，即$AD=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础应用题，解题关键是熟练掌握切线长定理，通过线段的等量代换结合周长条件计算未知线段长度，是该章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
本题可利用切线长定理求解，解题思路如下：首先根据切线长定理得到三组相等的切线长：AD=AF、BD=BE、CE=CF；再将△ABC的周长用上述相等的线段表示，结合已知的BC长度和周长数值，通过等量代换即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC的内切圆与三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∴由切线长定理可得：$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$。
已知△ABC的周长为20，即$AB+BC+AC=20$，
将各边拆分可得：$(AD+BD)+BC+(AF+CF)=20$，
把$AF=AD$、$BD=BE$、$CF=CE$代入上式：
$2AD + BE + CE + BC = 20$，
又
∵$BE+CE=BC=7$，
∴$2AD + 7 +7 =20$，
解得$2AD=6$，即$AD=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
切线长定理；三角形周长计算
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础应用题，解题关键是熟练掌握切线长定理，通过线段的等量代换结合周长条件计算未知线段长度，是该章节的典型基础考题。
【难度系数】
0.7
7.如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，若$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，$CA=6\ \mathrm{cm}$，求$AF$，$BD$，$CE$的长.
答案
7.根据切线长定理,设 $AF=AE=x$ cm,则 $BF=BD=(5-x)$ cm,$EC=DC=(6-x)$ cm,根据题意得 $5-x+6-x=7$,解得 $x=2$.
$\therefore AF=2\ \mathrm{cm},BD=3\ \mathrm{cm},EC=4\ \mathrm{cm}.$
$\therefore AF=2\ \mathrm{cm},BD=3\ \mathrm{cm},EC=4\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
本题可结合切线长定理求解，首先明确三角形内切圆的性质：从圆外一点引圆的两条切线长度相等，因此可得$AF=AE$、$BF=BD$、$CD=CE$，三组线段长度分别相等。我们可以设其中一组线段的长度为未知数，用三角形三边长度表示出其余相关线段，再结合$BC$的长度等于$BD$与$CD$之和建立方程，解方程即可求出各线段的长度。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等，可得：
$AF=AE$，$BF=BD$，$CD=CE$。
设$AF=x\ \mathrm{cm}$，则$AE=x\ \mathrm{cm}$，
$BF=AB-AF=(5-x)\ \mathrm{cm}$，因此$BD=(5-x)\ \mathrm{cm}$，
$CE=AC-AE=(6-x)\ \mathrm{cm}$，因此$CD=(6-x)\ \mathrm{cm}$，
已知$BD+CD=BC=7\ \mathrm{cm}$，代入得方程：
$5-x+6-x=7$
整理得$11-2x=7$，解得$x=2$。
因此$AF=2\ \mathrm{cm}$，$BD=5-2=3\ \mathrm{cm}$，$CE=6-2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$AF=2\ \mathrm{cm}$，$BD=3\ \mathrm{cm}$，$CE=4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质；一元一次方程应用
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，解题核心是熟练运用切线长定理找到等长线段，通过设未知数建立方程即可快速求解，掌握该方法可解决同类内切圆线段长度计算问题。
【难度系数】
0.8
本题可结合切线长定理求解，首先明确三角形内切圆的性质：从圆外一点引圆的两条切线长度相等，因此可得$AF=AE$、$BF=BD$、$CD=CE$，三组线段长度分别相等。我们可以设其中一组线段的长度为未知数，用三角形三边长度表示出其余相关线段，再结合$BC$的长度等于$BD$与$CD$之和建立方程，解方程即可求出各线段的长度。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等，可得：
$AF=AE$，$BF=BD$，$CD=CE$。
设$AF=x\ \mathrm{cm}$，则$AE=x\ \mathrm{cm}$，
$BF=AB-AF=(5-x)\ \mathrm{cm}$，因此$BD=(5-x)\ \mathrm{cm}$，
$CE=AC-AE=(6-x)\ \mathrm{cm}$，因此$CD=(6-x)\ \mathrm{cm}$，
已知$BD+CD=BC=7\ \mathrm{cm}$，代入得方程：
$5-x+6-x=7$
整理得$11-2x=7$，解得$x=2$。
因此$AF=2\ \mathrm{cm}$，$BD=5-2=3\ \mathrm{cm}$，$CE=6-2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$AF=2\ \mathrm{cm}$，$BD=3\ \mathrm{cm}$，$CE=4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质；一元一次方程应用
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，解题核心是熟练运用切线长定理找到等长线段，通过设未知数建立方程即可快速求解，掌握该方法可解决同类内切圆线段长度计算问题。
【难度系数】
0.8
