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8.如图,点O是△PMN的内心,PO的延长线和△PMN的外接圆相交于点Q,连接NQ,MO,NO,若∠MNQ=15°,则∠MON的度数为
$105°$
.答案
8.$105°$
解析
【分析】
解题需结合圆周角定理、三角形内心的性质、三角形内角和定理逐步推导：第一步，根据同弧所对的圆周角相等，推导得出∠MPQ与已知角∠MNQ相等；第二步，利用三角形内心是内角平分线交点的性质，结合PO平分∠MPN，求出∠MPN的度数；第三步，先根据三角形内角和求出△PMN中另外两个内角的和，再结合角平分线性质求出△OMN中两个底角的和，最后用三角形内角和定理计算∠MON的度数。
【解析】
1. 因为∠MNQ和∠MPQ均为弧MQ所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ MPQ=∠ MNQ=15°$。
2. 已知点O是$△ PMN$的内心，因此PO是$∠ MPN$的角平分线，故$∠ MPN=2∠ MPQ=2×15°=30°$。
3. 在$△ PMN$中，由三角形内角和为$180°$，可得$∠ PMN+∠ PNM=180°-∠ MPN=180°-30°=150°$。
4. 因为点O是$△ PMN$的内心，所以MO平分$∠ PMN$，NO平分$∠ PNM$，即$∠ OMN=\frac{1}{2}∠ PMN$，$∠ ONM=\frac{1}{2}∠ PNM$。
5. 因此$∠ OMN+∠ ONM=\frac{1}{2}(∠ PMN+∠ PNM)=\frac{1}{2}×150°=75°$。
6. 在$△ MON$中，$∠ MON=180°-(∠ OMN+∠ ONM)=180°-75°=105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆和三角形的综合基础题，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角相等、三角形内心是三条内角平分线交点这两个核心性质，再结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题需结合圆周角定理、三角形内心的性质、三角形内角和定理逐步推导：第一步，根据同弧所对的圆周角相等，推导得出∠MPQ与已知角∠MNQ相等；第二步，利用三角形内心是内角平分线交点的性质，结合PO平分∠MPN，求出∠MPN的度数；第三步，先根据三角形内角和求出△PMN中另外两个内角的和，再结合角平分线性质求出△OMN中两个底角的和，最后用三角形内角和定理计算∠MON的度数。
【解析】
1. 因为∠MNQ和∠MPQ均为弧MQ所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ MPQ=∠ MNQ=15°$。
2. 已知点O是$△ PMN$的内心，因此PO是$∠ MPN$的角平分线，故$∠ MPN=2∠ MPQ=2×15°=30°$。
3. 在$△ PMN$中，由三角形内角和为$180°$，可得$∠ PMN+∠ PNM=180°-∠ MPN=180°-30°=150°$。
4. 因为点O是$△ PMN$的内心，所以MO平分$∠ PMN$，NO平分$∠ PNM$，即$∠ OMN=\frac{1}{2}∠ PMN$，$∠ ONM=\frac{1}{2}∠ PNM$。
5. 因此$∠ OMN+∠ ONM=\frac{1}{2}(∠ PMN+∠ PNM)=\frac{1}{2}×150°=75°$。
6. 在$△ MON$中，$∠ MON=180°-(∠ OMN+∠ ONM)=180°-75°=105°$。
【答案】
$105°$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆和三角形的综合基础题，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角相等、三角形内心是三条内角平分线交点这两个核心性质，再结合三角形内角和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.75
9.如图,在△ABC中,点D是△ABC的内心,连接DB,DC,过点D作EF//BC,EF分别交AB,AC于点E,F,若BE+CF=10,则EF的长度为
$10$
.答案
9.$10$
解析
【分析】
解题时首先明确三角形内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，可得BD平分∠ABC、CD平分∠ACB；再结合EF//BC的条件，利用平行线的内错角相等，可推导出△EBD和△FDC都是等腰三角形，得到ED=BE、DF=CF；最后将EF拆分为ED+DF，通过等量代换即可求出EF的长度。
【解析】
∵点D是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴EB=ED，FC=FD（等角对等边）。
∴EF=ED+DF=BE+CF，
∵BE+CF=10，
∴EF=10。
【答案】
10
【知识点】
三角形内心的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是结合角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，进而通过线段的等量代换求解，该类考法在几何基础题中较为常见。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确三角形内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，可得BD平分∠ABC、CD平分∠ACB；再结合EF//BC的条件，利用平行线的内错角相等，可推导出△EBD和△FDC都是等腰三角形，得到ED=BE、DF=CF；最后将EF拆分为ED+DF，通过等量代换即可求出EF的长度。
【解析】
∵点D是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴EB=ED，FC=FD（等角对等边）。
∴EF=ED+DF=BE+CF，
∵BE+CF=10，
∴EF=10。
【答案】
10
【知识点】
三角形内心的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是结合角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，进而通过线段的等量代换求解，该类考法在几何基础题中较为常见。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$△ ABC$的内切圆的半径为$r$,$△ ABC$的外接圆的半径为$R$,则$\frac{r}{R}$的值为
$\dfrac{2}{5}$
.答案
10.$\dfrac{2}{5}$
解析
【分析】
解题时先分别求解外接圆半径R和内切圆半径r，再计算二者的比值。第一步利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度；第二步根据直角三角形外接圆的性质：外接圆直径等于斜边，即可求出R；第三步利用直角三角形内切圆半径公式求出r，最后代入计算比值即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
①求外接圆半径R：
直角三角形的外接圆直径等于斜边长，即$2R=AB$，
∴$R=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$。
②求内切圆半径r：
直角三角形内切圆半径满足公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入得：
$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$。
③计算比值：
$\frac{r}{R}=\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
勾股定理，外接圆性质，内切圆计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查直角三角形外接圆、内切圆半径的相关性质，只要熟记对应的结论就能快速求出结果，计算量较小。
【难度系数】
0.7
解题时先分别求解外接圆半径R和内切圆半径r，再计算二者的比值。第一步利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度；第二步根据直角三角形外接圆的性质：外接圆直径等于斜边，即可求出R；第三步利用直角三角形内切圆半径公式求出r，最后代入计算比值即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
①求外接圆半径R：
直角三角形的外接圆直径等于斜边长，即$2R=AB$，
∴$R=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$。
②求内切圆半径r：
直角三角形内切圆半径满足公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入得：
$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$。
③计算比值：
$\frac{r}{R}=\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
勾股定理，外接圆性质，内切圆计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查直角三角形外接圆、内切圆半径的相关性质，只要熟记对应的结论就能快速求出结果，计算量较小。
【难度系数】
0.7
11.如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为
$125°$
.答案
11.$125°$
解析
【分析】
解题可分为两步推导：第一步，利用外心的性质和圆周角定理，先求出∠BAC的度数。外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是对应圆周角的2倍，已知圆心角∠BOC的度数，即可直接求出圆周角∠BAC。第二步，利用内心的性质和三角形内角和定理求∠BIC。内心是三角形三个内角角平分线的交点，可先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再得到∠IBC与∠ICB的和，最后在△IBC中用内角和定理计算∠BIC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵ 点O是△ABC的外心，∠BOC和∠BAC是同弧BC所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$。
2. 求∠ABC+∠ACB的度数：
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-70°=110°$。
3. 求∠IBC+∠ICB的度数：
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴ $∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
4. 求∠BIC的度数：
在△IBC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-55°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查三角形外心、内心的性质，需要准确区分两类特殊点的角度规律，熟练掌握角度之间的转化方法，解题核心是理清圆心角、圆周角、内角平分线相关角度的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
解题可分为两步推导：第一步，利用外心的性质和圆周角定理，先求出∠BAC的度数。外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是对应圆周角的2倍，已知圆心角∠BOC的度数，即可直接求出圆周角∠BAC。第二步，利用内心的性质和三角形内角和定理求∠BIC。内心是三角形三个内角角平分线的交点，可先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和，再得到∠IBC与∠ICB的和，最后在△IBC中用内角和定理计算∠BIC的度数。
【解析】
1. 求∠BAC的度数：
∵ 点O是△ABC的外心，∠BOC和∠BAC是同弧BC所对的圆心角和圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ $∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$。
2. 求∠ABC+∠ACB的度数：
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-70°=110°$。
3. 求∠IBC+∠ICB的度数：
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$，
∴ $∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$。
4. 求∠BIC的度数：
在△IBC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-55°=125°$。
【答案】
$125°$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查三角形外心、内心的性质，需要准确区分两类特殊点的角度规律，熟练掌握角度之间的转化方法，解题核心是理清圆心角、圆周角、内角平分线相关角度的推导逻辑。
【难度系数】
0.7
12.等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为
$\dfrac{10}{3}$
.答案
12.$\dfrac{10}{3}$
解析
【分析】
要计算等腰三角形的内切圆半径，可利用三角形内切圆半径与面积、周长的关系：$r=\frac{2S}{C}$（$r$为内切圆半径，$S$为三角形面积，$C$为三角形周长）。解题思路如下：第一步，利用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出底边上的高；第二步，根据三角形面积公式算出面积$S$，再计算三角形周长$C$；第三步，代入公式求解$r$即可。
【解析】
1. 求等腰三角形底边上的高：
作等腰三角形底边上的高，由等腰三角形三线合一可知，高平分底边，因此底边被分为两段长度均为$10÷2=5$的线段。
根据勾股定理，高$h=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
2. 计算三角形面积与周长：
面积$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×10×12=60$；
周长$C=10+13+13=36$。
3. 求内切圆半径：
根据三角形内切圆相关公式$S=\frac{1}{2}rC$，变形得$r=\frac{2S}{C}$，代入数值得：
$r=\frac{2×60}{36}=\frac{120}{36}=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内切圆半径公式
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础计算题，解题关键是熟练掌握内切圆半径和三角形面积、周长的关系，结合等腰三角形性质和勾股定理逐步计算即可，注意公式变形要正确。
【难度系数】
0.7
要计算等腰三角形的内切圆半径，可利用三角形内切圆半径与面积、周长的关系：$r=\frac{2S}{C}$（$r$为内切圆半径，$S$为三角形面积，$C$为三角形周长）。解题思路如下：第一步，利用等腰三角形三线合一的性质，结合勾股定理求出底边上的高；第二步，根据三角形面积公式算出面积$S$，再计算三角形周长$C$；第三步，代入公式求解$r$即可。
【解析】
1. 求等腰三角形底边上的高：
作等腰三角形底边上的高，由等腰三角形三线合一可知，高平分底边，因此底边被分为两段长度均为$10÷2=5$的线段。
根据勾股定理，高$h=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
2. 计算三角形面积与周长：
面积$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×10×12=60$；
周长$C=10+13+13=36$。
3. 求内切圆半径：
根据三角形内切圆相关公式$S=\frac{1}{2}rC$，变形得$r=\frac{2S}{C}$，代入数值得：
$r=\frac{2×60}{36}=\frac{120}{36}=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内切圆半径公式
【点评】
本题属于三角形内切圆的基础计算题，解题关键是熟练掌握内切圆半径和三角形面积、周长的关系，结合等腰三角形性质和勾股定理逐步计算即可，注意公式变形要正确。
【难度系数】
0.7
13.如图，AB是$\odot O$的直径，点C是$\odot O$上一点，点I是$△ ABC(BC＜AC＜AB)$的内心，CI的延长线交$\odot O$于点D，连接AD.
(1)求证:$DA=DI$.
(2)若$CI=2\sqrt{2}$，$DI=5\sqrt{2}$，求BC的长.
(1)求证:$DA=DI$.
(2)若$CI=2\sqrt{2}$，$DI=5\sqrt{2}$，求BC的长.
答案
13.(1)连接AI.
$\because CI$平分$∠ ACB,AI$平分$∠ BAC,∠ DAB=∠ DCB$,
$\therefore ∠ DAB+∠ OAI=∠ ACI+∠ CAI$,
$\because ∠ AID=∠ ACI+∠ CAI,∠ DAI=∠ DAB+∠ OAI,\therefore ∠ AID=∠ DAI$,
$\therefore DA=DI$.
(2)连接$AI,BD$,过点$D$作$DE⊥ DC$,交$CB$的延长线于点$E$.
$\because AB$为直径,$CI$平分$∠ ACB,\therefore ∠ ACD=∠ DCB=\dfrac{1}{2}∠ ACB=45°$,
$\therefore ∠ DAB=∠ DCB=45°,∠ DBA=∠ ACD=45°$,
$\therefore △ ADB,△ CDE$都是等腰直角三角形,
$\therefore DA=DB=DI=5\sqrt{2},CD=DE=CI+DI=7\sqrt{2}$,
$\because ∠ ADB=90°,\therefore$ 根据勾股定理得 $AB=10,CE=14$,
$\because ∠ ADB=∠ CDE,\therefore ∠ ADC=∠ BDE$,
$\therefore △ ADC≌△ BDE(\mathrm{SAS}),\therefore AC=BE$,
$\therefore CE=BC+BE=BC+AC=14$,
又$\because BC^2+AC^2=AB^2=100,AC＞BC,\therefore AC=8,BC=6.$
$\because CI$平分$∠ ACB,AI$平分$∠ BAC,∠ DAB=∠ DCB$,
$\therefore ∠ DAB+∠ OAI=∠ ACI+∠ CAI$,
$\because ∠ AID=∠ ACI+∠ CAI,∠ DAI=∠ DAB+∠ OAI,\therefore ∠ AID=∠ DAI$,
$\therefore DA=DI$.
(2)连接$AI,BD$,过点$D$作$DE⊥ DC$,交$CB$的延长线于点$E$.
$\because AB$为直径,$CI$平分$∠ ACB,\therefore ∠ ACD=∠ DCB=\dfrac{1}{2}∠ ACB=45°$,
$\therefore ∠ DAB=∠ DCB=45°,∠ DBA=∠ ACD=45°$,
$\therefore △ ADB,△ CDE$都是等腰直角三角形,
$\therefore DA=DB=DI=5\sqrt{2},CD=DE=CI+DI=7\sqrt{2}$,
$\because ∠ ADB=90°,\therefore$ 根据勾股定理得 $AB=10,CE=14$,
$\because ∠ ADB=∠ CDE,\therefore ∠ ADC=∠ BDE$,
$\therefore △ ADC≌△ BDE(\mathrm{SAS}),\therefore AC=BE$,
$\therefore CE=BC+BE=BC+AC=14$,
又$\because BC^2+AC^2=AB^2=100,AC＞BC,\therefore AC=8,BC=6.$
解析
【分析】
(1)要证明$DA=DI$，可通过证明对应角相等即$∠ DAI=∠ DIA$实现。首先连接$AI$，利用三角形内心是角平分线交点的性质，可得$AI$平分$∠ BAC$、$CI$平分$∠ ACB$，再结合同弧所对圆周角相等的性质，将$∠ DAI$和$∠ DIA$用相等的角代换，即可推出两角相等，进而得到边相等。
(2)已知$CI$和$DI$的长度，可先求出$CD$的长度；结合$AB$是直径可得$∠ ACB=90°$，$CI$平分$∠ ACB$可推出$∠ ACD=∠ BCD=45°$，进而得到$△ ADB$是等腰直角三角形，求出$AB$的长；接着作$DE⊥ DC$交$CB$延长线于$E$，构造等腰直角$△ CDE$和全等三角形$△ ADC$与$△ BDE$，得到$AC+BC=CE$，再结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，联立即可求出$BC$的长。
【解析】
(1)证明：连接$AI$。
$\because$点$I$是$△ ABC$的内心，$\therefore CI$平分$∠ ACB$，$AI$平分$∠ BAC$，即$∠ ACI=∠ BCD$，$∠ CAI=∠ BAI$。
又$\because$同弧$BD$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ DAB=∠ DCB=∠ ACI$。
$\because ∠ DAI=∠ DAB+∠ BAI$，$∠ AID$是$△ AIC$的外角，$\therefore ∠ AID=∠ ACI+∠ CAI$。
$\therefore ∠ DAI=∠ AID$，$\therefore DA=DI$。
(2)解：连接$AI$、$BD$，过点$D$作$DE⊥ DC$，交$CB$的延长线于点$E$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=∠ ADB=90°$。
$\because CI$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACD=∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$。
$\because$同弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ DAB=∠ DCB=45°$，$∠ DBA=∠ ACD=45°$，$\therefore △ ADB$是等腰直角三角形，$AD=BD$。
同理，$∠ E=90°-∠ DCB=45°=∠ DCB$，$\therefore △ CDE$是等腰直角三角形，$CD=DE$。
由(1)知$DA=DI=5\sqrt{2}$，$\therefore BD=AD=5\sqrt{2}$，$CD=CI+DI=2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=7\sqrt{2}$，$\therefore DE=CD=7\sqrt{2}$。
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2}=10$。
在$Rt△ CDE$中，$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{(7\sqrt{2})^2+(7\sqrt{2})^2}=14$。
$\because ∠ ADB=∠ CDE=90°$，$\therefore ∠ ADB+∠ CDB=∠ CDE+∠ CDB$，即$∠ ADC=∠ BDE$。
在$△ ADC$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}AD=BD \\∠ ADC=∠ BDE \\CD=DE\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ BDE(\mathrm{SAS})$，$\therefore AC=BE$。
$\therefore CE=BC+BE=BC+AC=14$，即$AC=14-BC$。
又$\because$在$Rt△ ABC$中，$AC^2+BC^2=AB^2=10^2=100$，代入$AC=14-BC$得：
$(14-BC)^2+BC^2=100$
整理得$BC^2-14BC+48=0$，解得$BC=6$或$BC=8$，
$\because BC＜AC$，$\therefore BC=6$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$BC$的长为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，第一问侧重基础性质的应用，熟练掌握内心性质和圆周角定理即可求解；第二问需要通过作辅助线构造特殊三角形与全等三角形，结合方程思想求解，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)要证明$DA=DI$，可通过证明对应角相等即$∠ DAI=∠ DIA$实现。首先连接$AI$，利用三角形内心是角平分线交点的性质，可得$AI$平分$∠ BAC$、$CI$平分$∠ ACB$，再结合同弧所对圆周角相等的性质，将$∠ DAI$和$∠ DIA$用相等的角代换，即可推出两角相等，进而得到边相等。
(2)已知$CI$和$DI$的长度，可先求出$CD$的长度；结合$AB$是直径可得$∠ ACB=90°$，$CI$平分$∠ ACB$可推出$∠ ACD=∠ BCD=45°$，进而得到$△ ADB$是等腰直角三角形，求出$AB$的长；接着作$DE⊥ DC$交$CB$延长线于$E$，构造等腰直角$△ CDE$和全等三角形$△ ADC$与$△ BDE$，得到$AC+BC=CE$，再结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，联立即可求出$BC$的长。
【解析】
(1)证明：连接$AI$。
$\because$点$I$是$△ ABC$的内心，$\therefore CI$平分$∠ ACB$，$AI$平分$∠ BAC$，即$∠ ACI=∠ BCD$，$∠ CAI=∠ BAI$。
又$\because$同弧$BD$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ DAB=∠ DCB=∠ ACI$。
$\because ∠ DAI=∠ DAB+∠ BAI$，$∠ AID$是$△ AIC$的外角，$\therefore ∠ AID=∠ ACI+∠ CAI$。
$\therefore ∠ DAI=∠ AID$，$\therefore DA=DI$。
(2)解：连接$AI$、$BD$，过点$D$作$DE⊥ DC$，交$CB$的延长线于点$E$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=∠ ADB=90°$。
$\because CI$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACD=∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$。
$\because$同弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠ DAB=∠ DCB=45°$，$∠ DBA=∠ ACD=45°$，$\therefore △ ADB$是等腰直角三角形，$AD=BD$。
同理，$∠ E=90°-∠ DCB=45°=∠ DCB$，$\therefore △ CDE$是等腰直角三角形，$CD=DE$。
由(1)知$DA=DI=5\sqrt{2}$，$\therefore BD=AD=5\sqrt{2}$，$CD=CI+DI=2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=7\sqrt{2}$，$\therefore DE=CD=7\sqrt{2}$。
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2}=10$。
在$Rt△ CDE$中，$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{(7\sqrt{2})^2+(7\sqrt{2})^2}=14$。
$\because ∠ ADB=∠ CDE=90°$，$\therefore ∠ ADB+∠ CDB=∠ CDE+∠ CDB$，即$∠ ADC=∠ BDE$。
在$△ ADC$和$△ BDE$中：
$\begin{cases}AD=BD \\∠ ADC=∠ BDE \\CD=DE\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ BDE(\mathrm{SAS})$，$\therefore AC=BE$。
$\therefore CE=BC+BE=BC+AC=14$，即$AC=14-BC$。
又$\because$在$Rt△ ABC$中，$AC^2+BC^2=AB^2=10^2=100$，代入$AC=14-BC$得：
$(14-BC)^2+BC^2=100$
整理得$BC^2-14BC+48=0$，解得$BC=6$或$BC=8$，
$\because BC＜AC$，$\therefore BC=6$。
【答案】
(1)证明成立；(2)$BC$的长为$\boldsymbol{6}$。
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，第一问侧重基础性质的应用，熟练掌握内心性质和圆周角定理即可求解；第二问需要通过作辅助线构造特殊三角形与全等三角形，结合方程思想求解，对几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
