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1.在1个菱形(非正方形)，1个矩形(非正方形)，1个等边三角形，1个正方形中，正多边形有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先要明确正多边形的核心判定标准：同时满足所有边长度相等、所有内角度数相等的多边形才是正多边形，两个条件缺一不可。接下来依次分析题干给出的4个图形的性质，逐一验证是否符合正多边形的判定标准，最后统计符合要求的图形数量，匹配对应选项即可。
【解析】
根据正多边形的定义：各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，对四个图形逐一判断：
1. 非正方形的菱形：四条边长度相等，但内角不全相等（存在锐角、钝角两种内角），不满足正多边形条件，不是正多边形；
2. 非正方形的矩形：四个内角均为90°相等，但邻边长度不相等，四条边不全相等，不满足正多边形条件，不是正多边形；
3. 等边三角形：三条边长度都相等，三个内角均为60°相等，同时满足两个条件，是正多边形（正三角形）；
4. 正方形：四条边长度都相等，四个内角均为90°相等，同时满足两个条件，是正多边形（正四边形）。
综上，正多边形共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记正多边形需要同时满足边相等、角相等两个条件，避免误把仅满足单一条件的菱形、矩形判定为正多边形。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正多边形的核心判定标准：同时满足所有边长度相等、所有内角度数相等的多边形才是正多边形，两个条件缺一不可。接下来依次分析题干给出的4个图形的性质，逐一验证是否符合正多边形的判定标准，最后统计符合要求的图形数量，匹配对应选项即可。
【解析】
根据正多边形的定义：各边相等，且各角也相等的多边形叫做正多边形，对四个图形逐一判断：
1. 非正方形的菱形：四条边长度相等，但内角不全相等（存在锐角、钝角两种内角），不满足正多边形条件，不是正多边形；
2. 非正方形的矩形：四个内角均为90°相等，但邻边长度不相等，四条边不全相等，不满足正多边形条件，不是正多边形；
3. 等边三角形：三条边长度都相等，三个内角均为60°相等，同时满足两个条件，是正多边形（正三角形）；
4. 正方形：四条边长度都相等，四个内角均为90°相等，同时满足两个条件，是正多边形（正四边形）。
综上，正多边形共有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记正多边形需要同时满足边相等、角相等两个条件，避免误把仅满足单一条件的菱形、矩形判定为正多边形。
【难度系数】
0.8
2.有下列描述:①各边相等.②各个内角相等.③各个外角相等.④正多边形的中心到各个顶点的距离相等.⑤正$n$边形不一定有$n$条对称轴.其中属于正多边形特征的有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
).A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确正多边形的定义和相关性质，再逐一判断题干给出的5个描述是否符合正多边形的特征，最后统计正确描述的数量即可选出答案。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。我们对5个描述逐一判断：
1. ①各边相等：属于正多边形的基本特征，描述正确；
2. ②各个内角相等：属于正多边形的基本特征，描述正确；
3. ③各个外角相等：多边形外角和恒为360°，正多边形各内角相等，因此每个外角=180°-对应内角，也全部相等，每个外角大小为$\frac{360°}{n}$，描述正确；
4. ④正多边形的中心到各个顶点的距离相等：正多边形都有外接圆，其中心就是外接圆的圆心，到各顶点的距离均为外接圆的半径，因此距离相等，描述正确；
5. ⑤正$n$边形不一定有$n$条对称轴：正$n$边形的对称轴数量固定为$n$条（正三角形有3条、正方形有4条，对称轴分别过中心和顶点或边的中点），该描述错误。
综上，正确的描述共有4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义；正多边形的性质；多边形外角和
【点评】
本题考查正多边形的基础特征，难度不大，需要熟练掌握正多边形的定义和相关性质，注意区分易混淆的概念，避免在对称轴数量、外角性质等细节处出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确正多边形的定义和相关性质，再逐一判断题干给出的5个描述是否符合正多边形的特征，最后统计正确描述的数量即可选出答案。
【解析】
正多边形的定义为：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形。我们对5个描述逐一判断：
1. ①各边相等：属于正多边形的基本特征，描述正确；
2. ②各个内角相等：属于正多边形的基本特征，描述正确；
3. ③各个外角相等：多边形外角和恒为360°，正多边形各内角相等，因此每个外角=180°-对应内角，也全部相等，每个外角大小为$\frac{360°}{n}$，描述正确；
4. ④正多边形的中心到各个顶点的距离相等：正多边形都有外接圆，其中心就是外接圆的圆心，到各顶点的距离均为外接圆的半径，因此距离相等，描述正确；
5. ⑤正$n$边形不一定有$n$条对称轴：正$n$边形的对称轴数量固定为$n$条（正三角形有3条、正方形有4条，对称轴分别过中心和顶点或边的中点），该描述错误。
综上，正确的描述共有4个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的定义；正多边形的性质；多边形外角和
【点评】
本题考查正多边形的基础特征，难度不大，需要熟练掌握正多边形的定义和相关性质，注意区分易混淆的概念，避免在对称轴数量、外角性质等细节处出错。
【难度系数】
0.7
3.对于一个正多边形，有下列说法：①正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴；②正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心；③正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角；④正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补.其中正确的结论是
①③④
（填序号）.答案
3.①③④
解析
【分析】
我们需要结合正多边形的对称性、内角、外角、中心角的相关性质，逐个验证四个说法的正误：1.依据轴对称图形定义，判断正多边形的对称轴是否为边的垂直平分线；2.通过举反例判断正多边形是否都为中心对称图形；3.分别推导正多边形外角和中心角的度数公式，比较二者是否相等；4.计算正多边形内角与中心角的和，判断二者是否互补。
【解析】
逐个分析每个结论：
①正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条对称轴，每条边的垂直平分线都能将正多边形分成完全重合的两部分，属于它的对称轴，故①正确；
②仅边数为偶数的正多边形是中心对称图形，边数为奇数的正多边形（如正三角形）不是中心对称图形，故②错误；
③正n边形的外角和为$360°$，每个外角的度数为$\frac{360°}{n}$；正n边形的中心角是相邻两条半径的夹角，度数也为$\frac{360°}{n}$，二者相等，故③正确；
④正n边形每个内角的度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，与中心角相加得：$\frac{(n-2)×180°}{n}+\frac{360°}{n}=180°$，即二者互补，故④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
正多边形的性质；多边形的内外角；正多边形与圆
【点评】
本题考查正多边形的基础性质，解题时要注意区分正多边形轴对称性和中心对称性的差异，牢记中心角、内外角的计算公式，避免忽略边数为奇数的正多边形的特殊性导致判断错误。
【难度系数】
0.7
我们需要结合正多边形的对称性、内角、外角、中心角的相关性质，逐个验证四个说法的正误：1.依据轴对称图形定义，判断正多边形的对称轴是否为边的垂直平分线；2.通过举反例判断正多边形是否都为中心对称图形；3.分别推导正多边形外角和中心角的度数公式，比较二者是否相等；4.计算正多边形内角与中心角的和，判断二者是否互补。
【解析】
逐个分析每个结论：
①正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条对称轴，每条边的垂直平分线都能将正多边形分成完全重合的两部分，属于它的对称轴，故①正确；
②仅边数为偶数的正多边形是中心对称图形，边数为奇数的正多边形（如正三角形）不是中心对称图形，故②错误；
③正n边形的外角和为$360°$，每个外角的度数为$\frac{360°}{n}$；正n边形的中心角是相邻两条半径的夹角，度数也为$\frac{360°}{n}$，二者相等，故③正确；
④正n边形每个内角的度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，与中心角相加得：$\frac{(n-2)×180°}{n}+\frac{360°}{n}=180°$，即二者互补，故④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
正多边形的性质；多边形的内外角；正多边形与圆
【点评】
本题考查正多边形的基础性质，解题时要注意区分正多边形轴对称性和中心对称性的差异，牢记中心角、内外角的计算公式，避免忽略边数为奇数的正多边形的特殊性导致判断错误。
【难度系数】
0.7
4.如图,正方形ABCD内接于⊙O,若⊙O的半径是1,则正方形的边长是
$\sqrt{2}$
,边心距是$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
4.$\sqrt{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确正方形内接于圆时，外接圆半径为正方形顶点到圆心的距离。①求边长：连接圆心O与相邻两个顶点A、B，可得等腰直角△OAB，已知两腰长等于圆的半径，结合勾股定理即可求出底边AB也就是正方形的边长；②求边心距：边心距是圆心到正方形边的距离，过O作AB的垂线，利用等腰直角三角形三线合一的性质即可求出边心距的长度。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OE⊥AB于点E，OE即为正方形的边心距。
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴中心角$∠ AOB=360°÷4=90°$，
又
∵OA=OB=1（⊙O的半径为1），
∴在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即正方形边长为$\sqrt{2}$。
∵△AOB是等腰直角三角形，OE⊥AB，
∴OE是斜边AB的中线，
∴$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即边心距为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
正多边形与圆；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题属于正多边形和圆的基础计算题，解题的关键是准确理解正多边形外接圆半径、边长、边心距的概念，结合等腰直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确正方形内接于圆时，外接圆半径为正方形顶点到圆心的距离。①求边长：连接圆心O与相邻两个顶点A、B，可得等腰直角△OAB，已知两腰长等于圆的半径，结合勾股定理即可求出底边AB也就是正方形的边长；②求边心距：边心距是圆心到正方形边的距离，过O作AB的垂线，利用等腰直角三角形三线合一的性质即可求出边心距的长度。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OE⊥AB于点E，OE即为正方形的边心距。
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴中心角$∠ AOB=360°÷4=90°$，
又
∵OA=OB=1（⊙O的半径为1），
∴在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，即正方形边长为$\sqrt{2}$。
∵△AOB是等腰直角三角形，OE⊥AB，
∴OE是斜边AB的中线，
∴$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即边心距为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$；$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
正多边形与圆；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题属于正多边形和圆的基础计算题，解题的关键是准确理解正多边形外接圆半径、边长、边心距的概念，结合等腰直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AO，BO，则其内角∠D为
$108°$
，中心角∠AOB为$72°$
。答案
5.$108°$ $72°$
解析
【分析】
解题时首先明确正五边形的边数n=5，求内角∠D可利用正多边形内角和公式先算出总内角和，再除以边数得到单个内角的度数；求中心角∠AOB时，根据中心角的定义，正多边形所有中心角的和为360°，且各中心角相等，用360°除以边数即可得到单个中心角的度数。
【解析】
1. 计算内角∠D：
正n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形n=5，内角和为$(5-2)×180°=540°$。
因为正五边形的每个内角相等，所以$∠ D=540°÷5=108°$。
2. 计算中心角∠AOB：
正多边形的中心角是每条边所对的圆心角，所有中心角的和为周角$360°$，且正五边形的中心角都相等，因此$∠ AOB=360°÷5=72°$。
【答案】
$108°$；$72°$
【知识点】
正多边形内角计算；正多边形中心角计算；正多边形的性质
【点评】
本题属于正多边形相关的基础题型，核心考查正多边形内角和中心角的计算方法，只要熟记相关公式即可快速求解，是必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确正五边形的边数n=5，求内角∠D可利用正多边形内角和公式先算出总内角和，再除以边数得到单个内角的度数；求中心角∠AOB时，根据中心角的定义，正多边形所有中心角的和为360°，且各中心角相等，用360°除以边数即可得到单个中心角的度数。
【解析】
1. 计算内角∠D：
正n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形n=5，内角和为$(5-2)×180°=540°$。
因为正五边形的每个内角相等，所以$∠ D=540°÷5=108°$。
2. 计算中心角∠AOB：
正多边形的中心角是每条边所对的圆心角，所有中心角的和为周角$360°$，且正五边形的中心角都相等，因此$∠ AOB=360°÷5=72°$。
【答案】
$108°$；$72°$
【知识点】
正多边形内角计算；正多边形中心角计算；正多边形的性质
【点评】
本题属于正多边形相关的基础题型，核心考查正多边形内角和中心角的计算方法，只要熟记相关公式即可快速求解，是必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
6.如图，已知$\odot O$的半径为6，$OM⊥ CD$，则圆内接正六边形$ABCDEF$的边长为________，边心距$OM$的长为________，此正六边形的面积为________。
答案
6.6 $3\sqrt{3}$ $54\sqrt{3}$
解析
【分析】
解决本题可按以下思路：①首先回忆正六边形的性质：正六边形的外接圆半径与正六边形的边长相等，据此可直接得到边长；②求边心距OM时，连接OC、OD构造等边三角形，结合垂径定理得到CM的长度，再利用勾股定理即可求出OM；③正六边形可以分割为6个全等的等边三角形，计算单个等边三角形的面积后乘6，就可以得到正六边形的总面积。
【解析】
连接OC、OD：
1. 求边长：
∵ 六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形
∴ 中心角$∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$
又
∵ $OC=OD=6$（$\odot O$的半径）
∴ $△ OCD$是等边三角形
∴ 正六边形的边长$CD=OC=6$
2. 求边心距OM：
∵ $OM⊥ CD$，由垂径定理得$CM=\frac{1}{2}CD=3$
在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
3. 求正六边形面积：
正六边形由6个与$△ OCD$全等的等边三角形组成
单个$△ OCD$的面积为：$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× CD× OM=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$
∴ 正六边形的面积为：$S=6× S_{△ OCD}=6×9\sqrt{3}=54\sqrt{3}$
【答案】
$\boxed{6}$；$\boxed{3\sqrt{3}}$；$\boxed{54\sqrt{3}}$
【知识点】
正多边形与圆的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆的基础题型，解题的核心是掌握正六边形边长等于其外接圆半径的性质，通过将正六边形拆分为多个全等的等边三角形简化计算，考察了学生对基础几何性质的应用和简单运算能力。
【难度系数】
0.75
解决本题可按以下思路：①首先回忆正六边形的性质：正六边形的外接圆半径与正六边形的边长相等，据此可直接得到边长；②求边心距OM时，连接OC、OD构造等边三角形，结合垂径定理得到CM的长度，再利用勾股定理即可求出OM；③正六边形可以分割为6个全等的等边三角形，计算单个等边三角形的面积后乘6，就可以得到正六边形的总面积。
【解析】
连接OC、OD：
1. 求边长：
∵ 六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形
∴ 中心角$∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$
又
∵ $OC=OD=6$（$\odot O$的半径）
∴ $△ OCD$是等边三角形
∴ 正六边形的边长$CD=OC=6$
2. 求边心距OM：
∵ $OM⊥ CD$，由垂径定理得$CM=\frac{1}{2}CD=3$
在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
3. 求正六边形面积：
正六边形由6个与$△ OCD$全等的等边三角形组成
单个$△ OCD$的面积为：$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× CD× OM=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$
∴ 正六边形的面积为：$S=6× S_{△ OCD}=6×9\sqrt{3}=54\sqrt{3}$
【答案】
$\boxed{6}$；$\boxed{3\sqrt{3}}$；$\boxed{54\sqrt{3}}$
【知识点】
正多边形与圆的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于正多边形与圆的基础题型，解题的核心是掌握正六边形边长等于其外接圆半径的性质，通过将正六边形拆分为多个全等的等边三角形简化计算，考察了学生对基础几何性质的应用和简单运算能力。
【难度系数】
0.75
7.若一个正多边形的内角是它的中心角的4倍，求这个正多边形的边数。
答案
7.设这个正多边形的边数是 $n$,依题意得$\frac{(n-2)× 180°}{n}=4× \frac{360°}{n}$,解得 $n=10$.
解析
【分析】
解题时需先明确正多边形内角和中心角的计算公式：正$n$边形的单个内角度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，单个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。题干给出内角是中心角的4倍，可直接以此为等量关系列一元一次方程，求解即可得到正多边形的边数。
【解析】
设这个正多边形的边数是$n$。
根据正多边形内角公式，它的一个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$；
根据正多边形中心角公式，它的中心角为$\frac{360°}{n}$。
依题意列方程：
$\frac{(n-2)× 180°}{n}=4× \frac{360°}{n}$
方程两边同时乘$n$（$n$为正多边形边数，$n≠0$）得：
$(n-2)×180°=4×360°$
展开并整理得：
$180°n - 360° = 1440°$
$180°n = 1800°$
解得$n=10$，经检验符合题意。
【答案】
$10$
【知识点】
正多边形内角计算、正多边形中心角计算、一元一次方程应用
【点评】
本题属于正多边形相关的基础计算题，核心考查正多边形内角、中心角公式的记忆与应用，只要准确掌握公式，结合等量关系列方程即可快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.8
解题时需先明确正多边形内角和中心角的计算公式：正$n$边形的单个内角度数为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，单个中心角的度数为$\frac{360°}{n}$。题干给出内角是中心角的4倍，可直接以此为等量关系列一元一次方程，求解即可得到正多边形的边数。
【解析】
设这个正多边形的边数是$n$。
根据正多边形内角公式，它的一个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$；
根据正多边形中心角公式，它的中心角为$\frac{360°}{n}$。
依题意列方程：
$\frac{(n-2)× 180°}{n}=4× \frac{360°}{n}$
方程两边同时乘$n$（$n$为正多边形边数，$n≠0$）得：
$(n-2)×180°=4×360°$
展开并整理得：
$180°n - 360° = 1440°$
$180°n = 1800°$
解得$n=10$，经检验符合题意。
【答案】
$10$
【知识点】
正多边形内角计算、正多边形中心角计算、一元一次方程应用
【点评】
本题属于正多边形相关的基础计算题，核心考查正多边形内角、中心角公式的记忆与应用，只要准确掌握公式，结合等量关系列方程即可快速求解，计算难度低。
【难度系数】
0.8
