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8.如图，$\odot O$与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切，则$∠ AOC$的度数是（
A.$144°$
B.$130°$
C.$129°$
D.$108°$
A
）。A.$144°$
B.$130°$
C.$129°$
D.$108°$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先回忆多边形内角和公式，先计算正五边形的每个内角度数；再根据切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，即OA⊥AE、OC⊥CD，得到两个直角；最后观察五边形OAEDC，利用五边形内角和减去已知的四个内角的度数，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
第一步：计算正五边形的内角度数
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ E=∠ D=108°$。
第二步：利用切线性质得到直角
$\because$AE、CD与$\odot O$相切，切点分别为A、C，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，
$\therefore OA⊥ AE$，$OC⊥ CD$，即$∠ OAE=90°$，$∠ OCD=90°$。
第三步：计算$∠ AOC$的度数
五边形OAEDC的内角和为$540°$，因此：
$∠ AOC=540°-∠ OAE-∠ E-∠ D-∠ OCD$
$=540°-90°-108°-108°-90°$
$=144°$
【答案】
A
【知识点】
1.正多边形内角计算
2.切线的性质
3.多边形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，将正多边形的性质和圆的切线性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，通过多边形内角和建立角度关系即可求解，是正多边形与圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆多边形内角和公式，先计算正五边形的每个内角度数；再根据切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，即OA⊥AE、OC⊥CD，得到两个直角；最后观察五边形OAEDC，利用五边形内角和减去已知的四个内角的度数，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
第一步：计算正五边形的内角度数
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ E=∠ D=108°$。
第二步：利用切线性质得到直角
$\because$AE、CD与$\odot O$相切，切点分别为A、C，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，
$\therefore OA⊥ AE$，$OC⊥ CD$，即$∠ OAE=90°$，$∠ OCD=90°$。
第三步：计算$∠ AOC$的度数
五边形OAEDC的内角和为$540°$，因此：
$∠ AOC=540°-∠ OAE-∠ E-∠ D-∠ OCD$
$=540°-90°-108°-108°-90°$
$=144°$
【答案】
A
【知识点】
1.正多边形内角计算
2.切线的性质
3.多边形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，将正多边形的性质和圆的切线性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质，通过多边形内角和建立角度关系即可求解，是正多边形与圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
9.如图，等边三角形$ABC$和正方形$ADEF$都内接于$\odot O$，则$AD$与$AB$的比为（
A.$2\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}:2\sqrt{2}$
B
）.A.$2\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}:2\sqrt{2}$
答案
9.B
解析
【分析】
我们可设⊙O的半径为中间量，分别利用正方形、等边三角形内接于圆的性质，推导两条边AD、AB与半径的数量关系，再计算二者的比值即可。解题时先计算正多边形的中心角，再结合等腰三角形性质、勾股定理或三角函数求边长。
【解析】
设⊙O的半径为R。
1. 求AD的长度：
正方形ADEF内接于⊙O，其中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，即$∠ AOD=90°$，OA=OD=R。
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
2. 求AB的长度：
等边$△ ABC$内接于⊙O，其中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，即$∠ AOB=120°$。
过O作$OH⊥ AB$于H，由等腰三角形三线合一得$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，$AB=2AH$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=R×\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$AB=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$。
3. 计算比值：
$AD:AB=\sqrt{2}R:\sqrt{3}R=\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题通过设圆的半径为公共量，将两个不同正多边形的边长转化为与半径相关的表达式再求比值，是正多边形与圆相关计算的常用思路，熟练掌握正多边形中心角、边长与半径的关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
我们可设⊙O的半径为中间量，分别利用正方形、等边三角形内接于圆的性质，推导两条边AD、AB与半径的数量关系，再计算二者的比值即可。解题时先计算正多边形的中心角，再结合等腰三角形性质、勾股定理或三角函数求边长。
【解析】
设⊙O的半径为R。
1. 求AD的长度：
正方形ADEF内接于⊙O，其中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，即$∠ AOD=90°$，OA=OD=R。
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
2. 求AB的长度：
等边$△ ABC$内接于⊙O，其中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，即$∠ AOB=120°$。
过O作$OH⊥ AB$于H，由等腰三角形三线合一得$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$，$AB=2AH$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=R×\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$AB=2×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3}R$。
3. 计算比值：
$AD:AB=\sqrt{2}R:\sqrt{3}R=\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题通过设圆的半径为公共量，将两个不同正多边形的边长转化为与半径相关的表达式再求比值，是正多边形与圆相关计算的常用思路，熟练掌握正多边形中心角、边长与半径的关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7
10.半径为R的圆的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是
$a＜b＜c$
。答案
10.$a＜b＜c$
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，首先明确三个正多边形都内接于半径为R的同一个圆，边心距是正多边形外接圆圆心到其一边的距离。解题时可利用正多边形中“外接圆半径、边心距、边长的一半构成直角三角形”的性质，分别将三个正多边形的边心距用R表示，再比较数值大小即可。
【解析】
正多边形的外接圆半径、边心距、边长的一半可构成直角三角形，其中外接圆半径为斜边，边心距等于R乘中心角一半的余弦值：
1. 内接正三角形：中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，中心角的一半为$60°$，则$a=R\cos60°=\frac{1}{2}R$；
2. 内接正方形：中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，中心角的一半为$45°$，则$b=R\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}R$；
3. 内接正六边形：中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，中心角的一半为$30°$，则$c=R\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$。
因为$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{1}{2}R＜\frac{\sqrt{2}}{2}R＜\frac{\sqrt{3}}{2}R$，即$a＜b＜c$。
【答案】
$a＜b＜c$
【知识点】
正多边形与圆；边心距计算；特殊角三角函数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形的基本性质，解题关键是将不同正多边形的边心距统一用外接圆半径R表示后再比较大小，熟练掌握正多边形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要比较a、b、c的大小，首先明确三个正多边形都内接于半径为R的同一个圆，边心距是正多边形外接圆圆心到其一边的距离。解题时可利用正多边形中“外接圆半径、边心距、边长的一半构成直角三角形”的性质，分别将三个正多边形的边心距用R表示，再比较数值大小即可。
【解析】
正多边形的外接圆半径、边心距、边长的一半可构成直角三角形，其中外接圆半径为斜边，边心距等于R乘中心角一半的余弦值：
1. 内接正三角形：中心角为$\frac{360°}{3}=120°$，中心角的一半为$60°$，则$a=R\cos60°=\frac{1}{2}R$；
2. 内接正方形：中心角为$\frac{360°}{4}=90°$，中心角的一半为$45°$，则$b=R\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}R$；
3. 内接正六边形：中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，中心角的一半为$30°$，则$c=R\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$。
因为$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}＜\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{1}{2}R＜\frac{\sqrt{2}}{2}R＜\frac{\sqrt{3}}{2}R$，即$a＜b＜c$。
【答案】
$a＜b＜c$
【知识点】
正多边形与圆；边心距计算；特殊角三角函数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查正多边形的基本性质，解题关键是将不同正多边形的边心距统一用外接圆半径R表示后再比较大小，熟练掌握正多边形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11.如图，点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长，与CD的延长线交于点G，则∠BGC的度数为
$18°$
。答案
11.$18°$
解析
【分析】
解决本题首先从正五边形的基本性质入手：第一步，利用正多边形内角和公式计算出正五边形每个内角的度数，明确正五边形各边相等、对角线长度相等的特点；第二步，观察图形中F是DE中点的条件，结合正五边形中BE与CG平行的性质，可证明△BEF和△GDF全等，得到边的等量关系BE=DG，进而推出BD=DG；第三步，在等腰△BDG中，先计算出顶角∠BDG的度数，即可求出底角∠BGC的大小。
【解析】
1. 计算正五边形内角度数：
正五边形内角和为$(5-2) × 180° = 540°$，因此每个内角的度数为$540° ÷ 5 = 108°$，即$∠ BCD = ∠ CDE = 108°$，且正五边形各边相等、对角线长度相等，即$BC=CD=DE$，$BD=BE$。
2. 计算$∠ BDG$的度数：
在等腰$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，因此$∠ CDB = \frac{180° - 108°}{2} = 36°$。
$∠ EDG$是$∠ CDE$的邻补角，故$∠ EDG = 180° - 108° = 72°$，$∠ BDE = ∠ CDE - ∠ CDB = 108° - 36° = 72°$，因此$∠ BDG = ∠ BDE + ∠ EDG = 72° + 72° = 144°$。
3. 证明全等转化边的关系：
正五边形中$BE // CG$，因此$∠ EBF = ∠ G$，又$F$是$DE$中点，故$EF=FD$，且$∠ BFE = ∠ GFD$（对顶角相等），因此$△ BEF ≌ △ GDF$（AAS），可得$BE=DG$。
结合$BE=BD$，得$BD=DG$，即$△ BDG$是等腰三角形。
4. 计算$∠ BGC$的度数：
在等腰$△ BDG$中，顶角$∠ BDG=144°$，因此底角$∠ BGC = \frac{180° - 144°}{2} = 18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
正多边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题将正多边形的性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是熟练掌握正五边形的内角、边、对角线的特征，合理利用中点和平行线的性质构造全等三角形，转化边的等量关系后结合等腰三角形的角度计算规则求解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先从正五边形的基本性质入手：第一步，利用正多边形内角和公式计算出正五边形每个内角的度数，明确正五边形各边相等、对角线长度相等的特点；第二步，观察图形中F是DE中点的条件，结合正五边形中BE与CG平行的性质，可证明△BEF和△GDF全等，得到边的等量关系BE=DG，进而推出BD=DG；第三步，在等腰△BDG中，先计算出顶角∠BDG的度数，即可求出底角∠BGC的大小。
【解析】
1. 计算正五边形内角度数：
正五边形内角和为$(5-2) × 180° = 540°$，因此每个内角的度数为$540° ÷ 5 = 108°$，即$∠ BCD = ∠ CDE = 108°$，且正五边形各边相等、对角线长度相等，即$BC=CD=DE$，$BD=BE$。
2. 计算$∠ BDG$的度数：
在等腰$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ BCD=108°$，因此$∠ CDB = \frac{180° - 108°}{2} = 36°$。
$∠ EDG$是$∠ CDE$的邻补角，故$∠ EDG = 180° - 108° = 72°$，$∠ BDE = ∠ CDE - ∠ CDB = 108° - 36° = 72°$，因此$∠ BDG = ∠ BDE + ∠ EDG = 72° + 72° = 144°$。
3. 证明全等转化边的关系：
正五边形中$BE // CG$，因此$∠ EBF = ∠ G$，又$F$是$DE$中点，故$EF=FD$，且$∠ BFE = ∠ GFD$（对顶角相等），因此$△ BEF ≌ △ GDF$（AAS），可得$BE=DG$。
结合$BE=BD$，得$BD=DG$，即$△ BDG$是等腰三角形。
4. 计算$∠ BGC$的度数：
在等腰$△ BDG$中，顶角$∠ BDG=144°$，因此底角$∠ BGC = \frac{180° - 144°}{2} = 18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
正多边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题将正多边形的性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是熟练掌握正五边形的内角、边、对角线的特征，合理利用中点和平行线的性质构造全等三角形，转化边的等量关系后结合等腰三角形的角度计算规则求解。
【难度系数】
0.6
12.如图,在正六边形ABCDEF中,点P是边ED的中点,连接AP,则$\frac{AP}{AB}$为
$\frac{\sqrt{13}}{2}$
.答案
12.$\frac{\sqrt{13}}{2}$
解析
【分析】
要求AP与AB的比值，可结合正六边形的性质求解：首先正六边形各边相等、每个内角均为120°，因为比值和边长无关，可先设AB的长度为定值简化计算；接下来构造可解的三角形求AP的长度：先通过等腰△AFE求出AE的长度和∠AEF的度数，推导得出△AEP为直角三角形，再结合P是ED中点得到EP的长度，最后用勾股定理求出AP，即可计算出比值。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长AB=2，则AF=FE=ED=AB=2，正六边形每个内角为120°，即∠AFE=∠FED=120°。
过点F作FG⊥AE于点G，
∵AF=FE，FG⊥AE，
∴∠AFG=$\frac{1}{2}$∠AFE=60°，AE=2AG（等腰三角形三线合一）。
在Rt△AFG中，AG=AF·sin60°=$2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴AE=2AG=2√3。
∵∠FEA=$\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴∠AEP=∠FED - ∠FEA=120°-30°=90°，即△AEP为直角三角形。
∵P是ED的中点，
∴EP=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{2}{2}=1$。
在Rt△AEP中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{AE^2+EP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$。
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是正多边形计算的典型题型，解题核心是利用正六边形的内角、边长性质，通过辅助线构造直角三角形，将未知线段转化到直角三角形中求解，需要熟练掌握等腰三角形、勾股定理的相关应用。
【难度系数】
0.65
要求AP与AB的比值，可结合正六边形的性质求解：首先正六边形各边相等、每个内角均为120°，因为比值和边长无关，可先设AB的长度为定值简化计算；接下来构造可解的三角形求AP的长度：先通过等腰△AFE求出AE的长度和∠AEF的度数，推导得出△AEP为直角三角形，再结合P是ED中点得到EP的长度，最后用勾股定理求出AP，即可计算出比值。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长AB=2，则AF=FE=ED=AB=2，正六边形每个内角为120°，即∠AFE=∠FED=120°。
过点F作FG⊥AE于点G，
∵AF=FE，FG⊥AE，
∴∠AFG=$\frac{1}{2}$∠AFE=60°，AE=2AG（等腰三角形三线合一）。
在Rt△AFG中，AG=AF·sin60°=$2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴AE=2AG=2√3。
∵∠FEA=$\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∴∠AEP=∠FED - ∠FEA=120°-30°=90°，即△AEP为直角三角形。
∵P是ED的中点，
∴EP=$\frac{1}{2}$ED=$\frac{2}{2}=1$。
在Rt△AEP中，由勾股定理得：
AP=$\sqrt{AE^2+EP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$。
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是正多边形计算的典型题型，解题核心是利用正六边形的内角、边长性质，通过辅助线构造直角三角形，将未知线段转化到直角三角形中求解，需要熟练掌握等腰三角形、勾股定理的相关应用。
【难度系数】
0.65
13.如图,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,点P为$\overset{\frown}{DE}$上一点,连接AP,FP.
(1)求$∠ APF$的度数.
(2)当点P为$\overset{\frown}{DE}$的中点时,PE是$\odot O$的内接正n边形的一边,求n的值.
(1)求$∠ APF$的度数.
(2)当点P为$\overset{\frown}{DE}$的中点时,PE是$\odot O$的内接正n边形的一边,求n的值.
答案
13.(1)连接 $OA,OF,∠ APF=\frac{1}{2}∠ AOF=30°$.
(2)连接 $OP,OE,OD$.
由题意可得$∠ DOE=60°$,
$\because$ 点 $P$ 为$\overset{\frown}{DE}$的中点,$\therefore ∠ POE=\frac{1}{2}∠ DOE=30°$,
$\therefore n=360°÷ 30°=12$.
(2)连接 $OP,OE,OD$.
由题意可得$∠ DOE=60°$,
$\because$ 点 $P$ 为$\overset{\frown}{DE}$的中点,$\therefore ∠ POE=\frac{1}{2}∠ DOE=30°$,
$\therefore n=360°÷ 30°=12$.
解析
【分析】
(1)要求∠APF的度数，观察可知∠APF是⊙O中弧AF所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，因此只需先求出弧AF对应的圆心角∠AOF的度数即可。正六边形的中心角相等，用360°除以边数6就能得到每个中心角的度数，进而求出∠APF。
(2)要求正n边形的边数n，需先求出正n边形的中心角，也就是PE所对的圆心角∠POE的度数。先求出正六边形中弧DE对应的圆心角∠DOE，再结合P是弧DE中点，可得∠POE是∠DOE的一半，最后根据正n边形中心角=360°÷n，代入计算即可求出n的值。
【解析】
(1) 连接OA、OF。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ 正六边形的中心角$∠ AOF = \frac{360°}{6}=60°$，
∵ ∠APF是弧AF所对的圆周角，根据圆周角定理，
∴ $∠ APF=\frac{1}{2}∠ AOF=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 连接OP、OE、OD。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ 弧DE对应的中心角$∠ DOE = \frac{360°}{6}=60°$，
∵ 点P为$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{PE}=\overset{\frown}{PD}$，对应的圆心角相等，即$∠ POE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∵ 圆内接正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，此处PE是内接正n边形的一边，对应中心角为30°，
∴ $n=\frac{360°}{30°}=12$。
【答案】
(1) $∠ APF=30°$；(2) $n=12$
【知识点】
圆周角定理；正多边形与圆；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是熟练掌握正多边形中心角的计算方法和圆周角定理，通过连接半径构造圆心角是解决这类问题的常用辅助线做法。
【难度系数】
0.7
(1)要求∠APF的度数，观察可知∠APF是⊙O中弧AF所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，因此只需先求出弧AF对应的圆心角∠AOF的度数即可。正六边形的中心角相等，用360°除以边数6就能得到每个中心角的度数，进而求出∠APF。
(2)要求正n边形的边数n，需先求出正n边形的中心角，也就是PE所对的圆心角∠POE的度数。先求出正六边形中弧DE对应的圆心角∠DOE，再结合P是弧DE中点，可得∠POE是∠DOE的一半，最后根据正n边形中心角=360°÷n，代入计算即可求出n的值。
【解析】
(1) 连接OA、OF。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ 正六边形的中心角$∠ AOF = \frac{360°}{6}=60°$，
∵ ∠APF是弧AF所对的圆周角，根据圆周角定理，
∴ $∠ APF=\frac{1}{2}∠ AOF=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2) 连接OP、OE、OD。
∵ 正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴ 弧DE对应的中心角$∠ DOE = \frac{360°}{6}=60°$，
∵ 点P为$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{PE}=\overset{\frown}{PD}$，对应的圆心角相等，即$∠ POE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∵ 圆内接正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，此处PE是内接正n边形的一边，对应中心角为30°，
∴ $n=\frac{360°}{30°}=12$。
【答案】
(1) $∠ APF=30°$；(2) $n=12$
【知识点】
圆周角定理；正多边形与圆；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题，解题核心是熟练掌握正多边形中心角的计算方法和圆周角定理，通过连接半径构造圆心角是解决这类问题的常用辅助线做法。
【难度系数】
0.7
