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8.如图，$\odot O$与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切，则$∠ AOC$的度数是（
A.$144°$
B.$130°$
C.$129°$
D.$108°$
A
）。A.$144°$
B.$130°$
C.$129°$
D.$108°$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，先利用正多边形内角和公式计算正五边形每个内角的度数；再结合切线的性质，得到半径与切线的夹角为90°；最后观察所求∠AOC与已知角共同构成五边形OAEDC的内角，利用五边形内角和减去其余四个已知角的度数，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ E=∠ D=108°$。
2. 利用切线性质求直角：
因为AE、CD均与$\odot O$相切，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$OA⊥ AE$，$OC⊥ CD$，因此$∠ OAE=90°$，$∠ OCD=90°$。
3. 计算$∠ AOC$：
五边形OAEDC的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此：
$∠ AOC=540° - ∠ OAE - ∠ E - ∠ D - ∠ OCD$
代入数值计算：
$∠ AOC=540° - 90° - 108° - 108° - 90°=144°$
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角和，切线的性质，多边形内角和
【点评】
本题属于基础综合题，将正多边形的性质和切线的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关公式与性质，找准所求角所在多边形的内角和关系，解题思路清晰，属于高频考点题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手，先利用正多边形内角和公式计算正五边形每个内角的度数；再结合切线的性质，得到半径与切线的夹角为90°；最后观察所求∠AOC与已知角共同构成五边形OAEDC的内角，利用五边形内角和减去其余四个已知角的度数，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ E=∠ D=108°$。
2. 利用切线性质求直角：
因为AE、CD均与$\odot O$相切，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$OA⊥ AE$，$OC⊥ CD$，因此$∠ OAE=90°$，$∠ OCD=90°$。
3. 计算$∠ AOC$：
五边形OAEDC的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此：
$∠ AOC=540° - ∠ OAE - ∠ E - ∠ D - ∠ OCD$
代入数值计算：
$∠ AOC=540° - 90° - 108° - 108° - 90°=144°$
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角和，切线的性质，多边形内角和
【点评】
本题属于基础综合题，将正多边形的性质和切线的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关公式与性质，找准所求角所在多边形的内角和关系，解题思路清晰，属于高频考点题型。
【难度系数】
0.7
9.如图，等边三角形$ABC$和正方形$ADEF$都内接于$\odot O$，则$AD$与$AB$的比为（
A.$2\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}:2\sqrt{2}$
B
）.A.$2\sqrt{2}:\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}:\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}:2\sqrt{2}$
答案
9.B
解析
【分析】
本题考查正多边形与圆的相关计算，解题时可以先设$\odot O$的半径为$R$，利用正多边形外接圆的圆心角公式分别求出$∠ AOB$和$∠ AOD$的度数，再结合等腰三角形的性质和三角函数分别将$AB$、$AD$用$R$表示，最后计算两者的比值即可得到答案。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$，连接$OA$、$OB$、$OD$。
1. 求$AB$的长度：
等边三角形$ABC$内接于$\odot O$，正$n$边形的圆心角为$\frac{360°}{n}$，因此圆心角$∠ AOB=\frac{360°}{3}=120°$。
已知$OA=OB=R$，过$O$作$OH⊥ AB$于$H$，由等腰三角形三线合一得$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，因此$AB=2AH=\sqrt{3}R$。
2. 求$AD$的长度：
正方形$ADEF$内接于$\odot O$，因此圆心角$∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°$。
$△ AOD$为等腰直角三角形，$OA=OD=R$，由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
3. 计算比值：
$AD:AB=\sqrt{2}R:\sqrt{3}R=\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；解直角三角形；圆心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆的典型计算题，解题核心是将外接圆半径作为中间量，分别表示出待求线段的长度再求比值，掌握正多边形的圆心角、边长与外接圆半径的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查正多边形与圆的相关计算，解题时可以先设$\odot O$的半径为$R$，利用正多边形外接圆的圆心角公式分别求出$∠ AOB$和$∠ AOD$的度数，再结合等腰三角形的性质和三角函数分别将$AB$、$AD$用$R$表示，最后计算两者的比值即可得到答案。
【解析】
设$\odot O$的半径为$R$，连接$OA$、$OB$、$OD$。
1. 求$AB$的长度：
等边三角形$ABC$内接于$\odot O$，正$n$边形的圆心角为$\frac{360°}{n}$，因此圆心角$∠ AOB=\frac{360°}{3}=120°$。
已知$OA=OB=R$，过$O$作$OH⊥ AB$于$H$，由等腰三角形三线合一得$∠ AOH=\frac{1}{2}∠ AOB=60°$。
在$Rt△ AOH$中，$AH=OA·\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，因此$AB=2AH=\sqrt{3}R$。
2. 求$AD$的长度：
正方形$ADEF$内接于$\odot O$，因此圆心角$∠ AOD=\frac{360°}{4}=90°$。
$△ AOD$为等腰直角三角形，$OA=OD=R$，由勾股定理得$AD=\sqrt{OA^2+OD^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R$。
3. 计算比值：
$AD:AB=\sqrt{2}R:\sqrt{3}R=\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；解直角三角形；圆心角计算
【点评】
本题是正多边形与圆的典型计算题，解题核心是将外接圆半径作为中间量，分别表示出待求线段的长度再求比值，掌握正多边形的圆心角、边长与外接圆半径的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.半径为R的圆的内接正三角形、内接正方形、内接正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是
$a＜b＜c$
。答案
10.$a＜b＜c$
解析
【分析】
首先明确三个正多边形都是半径为R的圆的内接正多边形，因此它们的外接圆半径均为R。正多边形的边心距是正多边形中心到任意一边的距离，我们可以把正多边形的计算问题转化为直角三角形求解：以正多边形的外接圆半径为斜边，边心距为一条直角边，该直角边对应的锐角为正多边形中心角的一半（即$\frac{180°}{n}$，n为正多边形边数），因此边心距可表示为$R·\cos\frac{180°}{n}$，分别代入三个正多边形的边数计算出a、b、c的值，再比较大小即可。
【解析】
已知圆的半径为R，内接正n边形的边心距公式为：$d=R·\cos(\frac{180°}{n})$
1. 内接正三角形，边数n=3：
$a=R·\cos(\frac{180°}{3})=R·\cos60°=\frac{1}{2}R$
2. 内接正方形，边数n=4：
$b=R·\cos(\frac{180°}{4})=R·\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}R$
3. 内接正六边形，边数n=6：
$c=R·\cos(\frac{180°}{6})=R·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
比较三个值的大小：$\frac{1}{2}R＜\frac{\sqrt{2}}{2}R＜\frac{\sqrt{3}}{2}R$，因此$a＜b＜c$。
【答案】
$a＜b＜c$
【知识点】
正多边形与圆；特殊角的三角函数值
【点评】
本题解题的关键是将正多边形的边心距计算转化为直角三角形的边角计算，也可以记住规律：半径相同的圆的内接正多边形，边数越多，边心距越大，可直接快速判断大小关系。
【难度系数】
0.8
首先明确三个正多边形都是半径为R的圆的内接正多边形，因此它们的外接圆半径均为R。正多边形的边心距是正多边形中心到任意一边的距离，我们可以把正多边形的计算问题转化为直角三角形求解：以正多边形的外接圆半径为斜边，边心距为一条直角边，该直角边对应的锐角为正多边形中心角的一半（即$\frac{180°}{n}$，n为正多边形边数），因此边心距可表示为$R·\cos\frac{180°}{n}$，分别代入三个正多边形的边数计算出a、b、c的值，再比较大小即可。
【解析】
已知圆的半径为R，内接正n边形的边心距公式为：$d=R·\cos(\frac{180°}{n})$
1. 内接正三角形，边数n=3：
$a=R·\cos(\frac{180°}{3})=R·\cos60°=\frac{1}{2}R$
2. 内接正方形，边数n=4：
$b=R·\cos(\frac{180°}{4})=R·\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}R$
3. 内接正六边形，边数n=6：
$c=R·\cos(\frac{180°}{6})=R·\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
比较三个值的大小：$\frac{1}{2}R＜\frac{\sqrt{2}}{2}R＜\frac{\sqrt{3}}{2}R$，因此$a＜b＜c$。
【答案】
$a＜b＜c$
【知识点】
正多边形与圆；特殊角的三角函数值
【点评】
本题解题的关键是将正多边形的边心距计算转化为直角三角形的边角计算，也可以记住规律：半径相同的圆的内接正多边形，边数越多，边心距越大，可直接快速判断大小关系。
【难度系数】
0.8
11.如图，点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长，与CD的延长线交于点G，则∠BGC的度数为
$18°$
。答案
11.$18°$
解析
【分析】
要计算∠BGC的度数，可按以下思路推导：首先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数；再结合正五边形边相等的性质，推导得到△BCD、△BDE均为等腰三角形，分别求出∠CDB、∠DBE的度数；接着利用等腰三角形三线合一的性质求出∠DBG的度数；最后在△BDG中，根据三角形内角和定理即可算出∠BGC的度数。
【解析】
解：1. 求正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ A=∠ C=∠ ABC=∠ CDE=108°$，且$AB=BC=CD=DE=EA$。
2. 求$∠ BDG$的度数：
在$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ C=108°$，由等腰三角形底角相等得：
$∠ CDB=∠ CBD=\frac{180°-108°}{2}=36°$
因此$∠ BDG=180°-∠ CDB=180°-36°=144°$。
3. 求$∠ DBG$的度数：
同理可证$△ ABE$为等腰三角形，$∠ ABE=36°$，因此：
$∠ DBE=∠ ABC-∠ CBD-∠ ABE=108°-36°-36°=36°$
易证$△ ABE≌△ BCD$（SAS），得$BE=BD$，即$△ BDE$为等腰三角形。
已知F是DE中点，根据等腰三角形三线合一的性质，BF平分$∠ DBE$，因此：
$∠ DBG=\frac{1}{2}∠ DBE=\frac{1}{2}×36°=18°$
4. 求$∠ BGC$的度数：
在$△ BDG$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BGC=180°-∠ BDG-∠ DBG=180°-144°-18°=18°$
【答案】
$18°$
【知识点】
正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是正多边形性质与三角形知识的综合应用题，解题的核心是熟练掌握正五边形的内角、边及对角线的相关性质，结合等腰三角形的特点逐步推导角度，需要具备一定的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
要计算∠BGC的度数，可按以下思路推导：首先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数；再结合正五边形边相等的性质，推导得到△BCD、△BDE均为等腰三角形，分别求出∠CDB、∠DBE的度数；接着利用等腰三角形三线合一的性质求出∠DBG的度数；最后在△BDG中，根据三角形内角和定理即可算出∠BGC的度数。
【解析】
解：1. 求正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ A=∠ C=∠ ABC=∠ CDE=108°$，且$AB=BC=CD=DE=EA$。
2. 求$∠ BDG$的度数：
在$△ BCD$中，$BC=CD$，$∠ C=108°$，由等腰三角形底角相等得：
$∠ CDB=∠ CBD=\frac{180°-108°}{2}=36°$
因此$∠ BDG=180°-∠ CDB=180°-36°=144°$。
3. 求$∠ DBG$的度数：
同理可证$△ ABE$为等腰三角形，$∠ ABE=36°$，因此：
$∠ DBE=∠ ABC-∠ CBD-∠ ABE=108°-36°-36°=36°$
易证$△ ABE≌△ BCD$（SAS），得$BE=BD$，即$△ BDE$为等腰三角形。
已知F是DE中点，根据等腰三角形三线合一的性质，BF平分$∠ DBE$，因此：
$∠ DBG=\frac{1}{2}∠ DBE=\frac{1}{2}×36°=18°$
4. 求$∠ BGC$的度数：
在$△ BDG$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BGC=180°-∠ BDG-∠ DBG=180°-144°-18°=18°$
【答案】
$18°$
【知识点】
正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是正多边形性质与三角形知识的综合应用题，解题的核心是熟练掌握正五边形的内角、边及对角线的相关性质，结合等腰三角形的特点逐步推导角度，需要具备一定的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
12.如图,在正六边形ABCDEF中,点P是边ED的中点,连接AP,则$\frac{AP}{AB}$为
$\frac{\sqrt{13}}{2}$
.答案
12.$\frac{\sqrt{13}}{2}$
解析
【分析】
要求$\frac{AP}{AB}$的比值，可利用正六边形各边相等、各内角均为$120°$的性质，设边长为参数，通过构造直角三角形结合勾股定理计算AP的长度。首先利用等腰三角形性质求出AE的长度，再判断$△ AEP$为直角三角形，最后用勾股定理求解AP即可。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长$AB=2a$，则$AF=FE=ED=2a$。
正六边形的内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角为$\frac{720°}{6}=120°$。
过点F作$FM⊥ AE$于点M，
$\because AF=FE$，$∠ AFE=120°$，
$\therefore ∠ AFM=∠ EFM=60°$，$AM=ME$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ EFM$中，$ME=FE·\sin60°=2a×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}a$，
$\therefore AE=2ME=2\sqrt{3}a$。
$\because ∠ AEF=90°-60°=30°$，$∠ FED=120°$，
$\therefore ∠ AEP=∠ FED-∠ AEF=120°-30°=90°$，即$△ AEP$是直角三角形。
$\because$ P是ED的中点，$\therefore EP=\frac{1}{2}ED=a$。
在$Rt△ AEP$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AE^2+EP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}a)^2+a^2}=\sqrt{13}a$，
$\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{13}a}{2a}=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
正多边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查正多边形性质的应用，解题关键是通过辅助线构造直角三角形，将所求线段转化为直角三角形的边求解；求比值类问题可设边长为参数，计算过程中参数会自行约去，不影响最终结果。
【难度系数】
0.65
要求$\frac{AP}{AB}$的比值，可利用正六边形各边相等、各内角均为$120°$的性质，设边长为参数，通过构造直角三角形结合勾股定理计算AP的长度。首先利用等腰三角形性质求出AE的长度，再判断$△ AEP$为直角三角形，最后用勾股定理求解AP即可。
【解析】
设正六边形ABCDEF的边长$AB=2a$，则$AF=FE=ED=2a$。
正六边形的内角和为$(6-2)×180°=720°$，每个内角为$\frac{720°}{6}=120°$。
过点F作$FM⊥ AE$于点M，
$\because AF=FE$，$∠ AFE=120°$，
$\therefore ∠ AFM=∠ EFM=60°$，$AM=ME$（等腰三角形三线合一）。
在$Rt△ EFM$中，$ME=FE·\sin60°=2a×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}a$，
$\therefore AE=2ME=2\sqrt{3}a$。
$\because ∠ AEF=90°-60°=30°$，$∠ FED=120°$，
$\therefore ∠ AEP=∠ FED-∠ AEF=120°-30°=90°$，即$△ AEP$是直角三角形。
$\because$ P是ED的中点，$\therefore EP=\frac{1}{2}ED=a$。
在$Rt△ AEP$中，由勾股定理得：
$AP=\sqrt{AE^2+EP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}a)^2+a^2}=\sqrt{13}a$，
$\therefore \frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{13}a}{2a}=\frac{\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
正多边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题考查正多边形性质的应用，解题关键是通过辅助线构造直角三角形，将所求线段转化为直角三角形的边求解；求比值类问题可设边长为参数，计算过程中参数会自行约去，不影响最终结果。
【难度系数】
0.65
13.如图,正六边形ABCDEF内接于$\odot O$,点P为$\overset{\frown}{DE}$上一点,连接AP,FP.
(1)求$∠ APF$的度数.
(2)当点P为$\overset{\frown}{DE}$的中点时,PE是$\odot O$的内接正n边形的一边,求n的值.
(1)求$∠ APF$的度数.
(2)当点P为$\overset{\frown}{DE}$的中点时,PE是$\odot O$的内接正n边形的一边,求n的值.
答案
13.(1)连接 $OA,OF,∠ APF=\frac{1}{2}∠ AOF=30°$.
(2)连接 $OP,OE,OD$.
由题意可得$∠ DOE=60°$,
$\because$ 点 $P$ 为$\overset{\frown}{DE}$的中点,$\therefore ∠ POE=\frac{1}{2}∠ DOE=30°$,
$\therefore n=360°÷ 30°=12$.
(2)连接 $OP,OE,OD$.
由题意可得$∠ DOE=60°$,
$\because$ 点 $P$ 为$\overset{\frown}{DE}$的中点,$\therefore ∠ POE=\frac{1}{2}∠ DOE=30°$,
$\therefore n=360°÷ 30°=12$.
解析
【分析】
(1)要求∠APF的度数，∠APF是弧AF所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需求出弧AF对应的圆心角∠AOF的度数即可。正六边形的中心角为360°÷6=60°，由此可快速算出∠APF的度数。
(2)要求正n边形的边数n，需先求出PE所对的圆心角的度数，正n边形的中心角=360°÷n，因此只要算出∠POE的度数就能求出n。已知P是弧DE的中点，结合正六边形的中心角∠DOE=60°，可推出∠POE=30°，代入公式即可求出n。
【解析】
(1)连接OA、OF。
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴弧AF对应的圆心角$∠ AOF=\frac{360°}{6}=60°$。
∵$∠ APF$是弧AF所对的圆周角，$∠ AOF$是弧AF所对的圆心角，
根据圆周角定理得：$∠ APF=\frac{1}{2}∠ AOF=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2)连接OP、OE、OD。
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴弧DE对应的圆心角$∠ DOE=\frac{360°}{6}=60°$。
∵点P为$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{PE}=\overset{\frown}{PD}$，对应的圆心角$∠ POE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×60°=30°$。
∵PE是$\odot O$的内接正n边形的一边，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$\frac{360°}{n}=30°$，解得$n=360°÷30°=12$。
【答案】
(1)$∠ APF=30°$；(2)$n=12$
【知识点】
圆周角定理；正多边形与圆；弧中点的性质
【点评】
本题属于正多边形和圆的综合基础题，解题的核心是熟练掌握正多边形中心角的计算方法，以及圆周角和圆心角的对应关系，结合弧中点的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1)要求∠APF的度数，∠APF是弧AF所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，因此只需求出弧AF对应的圆心角∠AOF的度数即可。正六边形的中心角为360°÷6=60°，由此可快速算出∠APF的度数。
(2)要求正n边形的边数n，需先求出PE所对的圆心角的度数，正n边形的中心角=360°÷n，因此只要算出∠POE的度数就能求出n。已知P是弧DE的中点，结合正六边形的中心角∠DOE=60°，可推出∠POE=30°，代入公式即可求出n。
【解析】
(1)连接OA、OF。
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴弧AF对应的圆心角$∠ AOF=\frac{360°}{6}=60°$。
∵$∠ APF$是弧AF所对的圆周角，$∠ AOF$是弧AF所对的圆心角，
根据圆周角定理得：$∠ APF=\frac{1}{2}∠ AOF=\frac{1}{2}×60°=30°$。
(2)连接OP、OE、OD。
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴弧DE对应的圆心角$∠ DOE=\frac{360°}{6}=60°$。
∵点P为$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{PE}=\overset{\frown}{PD}$，对应的圆心角$∠ POE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×60°=30°$。
∵PE是$\odot O$的内接正n边形的一边，正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，
∴$\frac{360°}{n}=30°$，解得$n=360°÷30°=12$。
【答案】
(1)$∠ APF=30°$；(2)$n=12$
【知识点】
圆周角定理；正多边形与圆；弧中点的性质
【点评】
本题属于正多边形和圆的综合基础题，解题的核心是熟练掌握正多边形中心角的计算方法，以及圆周角和圆心角的对应关系，结合弧中点的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
