1.请用无刻度直尺完成下列作图.
(1)如图①,矩形ABCD内接于$\odot O$,画出圆心O.
(2)如图②,$△ ABC$内接于$\odot O$,点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点,画$△ ABC$的中线AE.
(3)如图③,BC为$\odot O$的弦,画一条与BC长度相等的弦.

图① 图② 图③
(4)如图④,画出圆心O,再画$\overset{\frown}{AC}$的中点E.
(5)如图⑤,在圆上找一点F,使BF平分$∠ ABC$.
(6)如图⑥,画出过点A的直径AE,并在$\overset{\frown}{AB}$上作点D,使$AD=AC$.

图④ 图⑤ 图⑥

1.(1)如图①.
1.(2)如图②.
1.(3)如图③,线段AD即为所求作.
1.(4)如图④.
1.(5)如图⑤.
1.(6)如图⑥.

【分析】
(1) 矩形内接于圆时，矩形的对角线均为圆的直径，直径的交点就是圆心，因此只需连接矩形两条对角线，交点即为所求圆心O；
(2) 弧的中点与圆心的连线垂直平分该弧所对的弦，已知D是$\overset{\frown}{BC}$中点，连接OD，OD与BC的交点就是BC的中点E，连接AE即为$△ ABC$的BC边上的中线；
(3) 圆中相等的圆心角所对的弦长相等，连接BO、CO并延长分别交圆于A、D两点，此时$∠ AOD$与$∠ BOC$是对顶角，对应弦AD与BC长度相等；
(4) 网格中90°的圆周角所对的弦为直径，作出两条不同的直径，交点即为圆心O；根据垂径定理，垂直于弦AC的直径平分弦AC所对的弧，因此过O作与AC垂直的直径，与劣弧AC的交点就是$\overset{\frown}{AC}$的中点E；
(5) 角平分线分得的两个角相等，对应圆周角所对的弧相等，因此BF平分$∠ ABC$时，F为$\overset{\frown}{AC}$的中点，找到AC的垂直平分线（即过圆心且垂直于AC的直线）与圆的交点，即为满足条件的F；
(6) 直径过圆心，先利用圆周角定理确定圆心，过圆心和点A作直线与圆交于另一点E，即得直径AE；要使$AD=AC$，只需使$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{AC}$的长度相等，作AC关于直径AE的对称弦AD即可，D落在$\overset{\frown}{AB}$上满足要求。
【解析】
(1) 用无刻度直尺连接矩形的对角线AC、BD，两条对角线的交点即为所求圆心O；
(2) 用无刻度直尺连接OD，OD与BC交于点E，再连接AE，AE即为$△ ABC$的中线；
(3) 用无刻度直尺连接BO并延长交$\odot O$于点A，连接CO并延长交$\odot O$于点D，连接AD，AD即为与BC长度相等的弦（答案不唯一）；
(4) 首先观察网格特征，连接两组顶点在圆上的直角的斜边，得到两条不同的直径，两条直径的交点即为圆心O；再过O作垂直于AC的直线，该直线与劣弧AC的交点即为$\overset{\frown}{AC}$的中点E；
(5) 先确定AC的中点为圆心，过圆心作AC的垂线，与下半圆的交点即为点F，BF即为$∠ ABC$的角平分线；
(6) 先利用圆周角定理找到圆心，连接圆心与点A并延长交圆于点E，得到过点A的直径AE；再根据等弦对等弧的性质，找到点C关于直径AE的对称点D，且D在$\overset{\frown}{AB}$上，即满足$AD=AC$。
【答案】
1.(1)如图①.
1.(2)如图②.
1.(3)如图③,线段AD即为所求作.
1.(4)如图④.
1.(5)如图⑤.
1.(6)如图⑥.
【知识点】
矩形的性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的无刻度直尺作图类题型，解题核心是结合特殊几何图形的性质、圆的基本定理找到作图的依据，能有效考查学生的几何直观能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7