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1.请用无刻度直尺完成下列作图.
(1)如图①,矩形ABCD内接于$\odot O$,画出圆心O.
(2)如图②,$△ ABC$内接于$\odot O$,点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点,画$△ ABC$的中线AE.
(3)如图③,BC为$\odot O$的弦,画一条与BC长度相等的弦.
图① 图② 图③
(4)如图④,画出圆心O,再画$\overset{\frown}{AC}$的中点E.
(5)如图⑤,在圆上找一点F,使BF平分$∠ ABC$.
(6)如图⑥,画出过点A的直径AE,并在$\overset{\frown}{AB}$上作点D,使$AD=AC$.
图④ 图⑤ 图⑥
(1)如图①,矩形ABCD内接于$\odot O$,画出圆心O.
(2)如图②,$△ ABC$内接于$\odot O$,点D是$\overset{\frown}{BC}$的中点,画$△ ABC$的中线AE.
(3)如图③,BC为$\odot O$的弦,画一条与BC长度相等的弦.
图① 图② 图③
(4)如图④,画出圆心O,再画$\overset{\frown}{AC}$的中点E.
(5)如图⑤,在圆上找一点F,使BF平分$∠ ABC$.
(6)如图⑥,画出过点A的直径AE,并在$\overset{\frown}{AB}$上作点D,使$AD=AC$.
图④ 图⑤ 图⑥
答案
1.(1)如图①.
1.(2)如图②.
1.(3)如图③,线段AD即为所求作.
1.(4)如图④.
1.(5)如图⑤.
1.(6)如图⑥.
解析
【分析】
本题是圆的无刻度直尺作图题，核心是利用圆的基本性质，结合已知图形的特殊结构（矩形特征、弧中点条件、网格直角特征等），仅通过连线完成作图：
(1) 圆内接矩形的对角线是圆的直径，且矩形对角线互相平分，因此两条对角线的交点就是圆心；
(2) 弧BC的中点与圆心的连线垂直平分BC，与BC的交点就是BC中点，连接该中点与顶点A即可得到三角形中线；
(3) 同圆中相等的弧对应相等的弦，构造与BC所对弧相等的弦即可，平行弦所夹弧相等，对应弦也相等；
(4) 网格中90°的圆周角所对的弦是直径，两条不同直径的交点就是圆心；再根据垂径定理，过圆心作AC的垂线，与弧AC的交点就是弧AC的中点；
(5) 要使BF平分∠ABC，只需F为弧AC的中点，等弧对应的圆周角相等，即可得到角平分线；
(6) 先利用90°圆周角对应直径的性质画出过A的直径，再根据等弦对等弧的性质，找到弧AB上满足弧AD等于弧AC的点D即可。
【解析】
(1) 连接矩形ABCD的对角线AC、BD，两条对角线的交点即为所求圆心O；
(2) 连接OD，OD与BC交于点E，连接AE，由垂径定理可知D是弧BC中点、OD过圆心，故E是BC中点，AE即为△ABC的中线；
(3) 连接AD，AD与BC平行，圆内接梯形为等腰梯形，故AD=BC，线段AD即为所求与BC长度相等的弦；
(4) 在网格中找到两个90°圆周角，连接对应顶点得到两条直径，两条直径的交点即为圆心O；过O作AC的垂线，交劣弧AC于点E，E即为弧AC的中点；
(5) 找到弧AC的中点F，连接BF，由等弧所对圆周角相等可知BF平分∠ABC，F即为所求点；
(6) 利用90°圆周角对应直径的性质，画出过A的直径AE；再根据等弦对等弧，在弧AB上找到点D，使得弧AD=弧AC，即满足AD=AC。
【答案】
1.(1)如图①.
1.(2)如图②.
1.(3)如图③,线段AD即为所求作.
1.(4)如图④.
1.(5)如图⑤.
1.(6)如图⑥.
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的常规作图题，侧重考查对圆相关性质的灵活运用，需要将作图要求转化为对应的几何关系，熟练掌握圆的性质是解题的关键，这类题型能有效提升几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题是圆的无刻度直尺作图题，核心是利用圆的基本性质，结合已知图形的特殊结构（矩形特征、弧中点条件、网格直角特征等），仅通过连线完成作图：
(1) 圆内接矩形的对角线是圆的直径，且矩形对角线互相平分，因此两条对角线的交点就是圆心；
(2) 弧BC的中点与圆心的连线垂直平分BC，与BC的交点就是BC中点，连接该中点与顶点A即可得到三角形中线；
(3) 同圆中相等的弧对应相等的弦，构造与BC所对弧相等的弦即可，平行弦所夹弧相等，对应弦也相等；
(4) 网格中90°的圆周角所对的弦是直径，两条不同直径的交点就是圆心；再根据垂径定理，过圆心作AC的垂线，与弧AC的交点就是弧AC的中点；
(5) 要使BF平分∠ABC，只需F为弧AC的中点，等弧对应的圆周角相等，即可得到角平分线；
(6) 先利用90°圆周角对应直径的性质画出过A的直径，再根据等弦对等弧的性质，找到弧AB上满足弧AD等于弧AC的点D即可。
【解析】
(1) 连接矩形ABCD的对角线AC、BD，两条对角线的交点即为所求圆心O；
(2) 连接OD，OD与BC交于点E，连接AE，由垂径定理可知D是弧BC中点、OD过圆心，故E是BC中点，AE即为△ABC的中线；
(3) 连接AD，AD与BC平行，圆内接梯形为等腰梯形，故AD=BC，线段AD即为所求与BC长度相等的弦；
(4) 在网格中找到两个90°圆周角，连接对应顶点得到两条直径，两条直径的交点即为圆心O；过O作AC的垂线，交劣弧AC于点E，E即为弧AC的中点；
(5) 找到弧AC的中点F，连接BF，由等弧所对圆周角相等可知BF平分∠ABC，F即为所求点；
(6) 利用90°圆周角对应直径的性质，画出过A的直径AE；再根据等弦对等弧，在弧AB上找到点D，使得弧AD=弧AC，即满足AD=AC。
【答案】
1.(1)如图①.
1.(2)如图②.
1.(3)如图③,线段AD即为所求作.
1.(4)如图④.
1.(5)如图⑤.
1.(6)如图⑥.
【知识点】
圆的基本性质，垂径定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的常规作图题，侧重考查对圆相关性质的灵活运用，需要将作图要求转化为对应的几何关系，熟练掌握圆的性质是解题的关键，这类题型能有效提升几何直观与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
