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1.如图，PA，PB是$\odot O$的切线，且$∠ APB=40°$，下列说法不正确的是(
A.$PA=PB$
B.$∠ APO=20°$
C.$∠ OBP=70°$
D.$∠ AOP=70°$
C
).A.$PA=PB$
B.$∠ APO=20°$
C.$∠ OBP=70°$
D.$∠ AOP=70°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先回忆切线的相关性质：①切线垂直于过切点的半径；②从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点和圆心的连线平分两条切线的夹角。结合已知∠APB=40°的条件，逐个验证四个选项的正误即可。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，
根据切线长定理可得：PA=PB，PO平分∠APB，
∴A选项“PA=PB”说法正确，不符合题意；
∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∴B选项说法正确，不符合题意；
根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得OB⊥PB，即∠OBP=90°，
∴C选项“∠OBP=70°”说法错误，符合题意；
在Rt△AOP中，∠OAP=90°，∠APO=20°，
∴∠AOP=90°-20°=70°，
∴D选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，切线的性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查切线相关的基础性质，只要熟练掌握相关定理，结合简单的角度运算即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆切线的相关性质：①切线垂直于过切点的半径；②从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，该点和圆心的连线平分两条切线的夹角。结合已知∠APB=40°的条件，逐个验证四个选项的正误即可。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的切线，
根据切线长定理可得：PA=PB，PO平分∠APB，
∴A选项“PA=PB”说法正确，不符合题意；
∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
∴B选项说法正确，不符合题意；
根据切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得OB⊥PB，即∠OBP=90°，
∴C选项“∠OBP=70°”说法错误，符合题意；
在Rt△AOP中，∠OAP=90°，∠APO=20°，
∴∠AOP=90°-20°=70°，
∴D选项说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，切线的性质
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查切线相关的基础性质，只要熟练掌握相关定理，结合简单的角度运算即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
2.如图，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，若$∠ P = 50°$，则$∠ ACB$的度数为
$65°$
。答案
2.$65°$
解析
【分析】
解题思路：首先根据切线的性质，连接过切点的半径OA、OB，构造两个直角；再利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P的度数，求出圆心角∠AOB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，
∴$∠ AOB + ∠ OAP + ∠ OBP + ∠ P = 360°$，
代入$∠ P=50°$，得：
$∠ AOB = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°$。
∵$∠ ACB$是$\odot O$中弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×130° = 65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是通过连接切点与圆心构造直角，将已知角和待求角通过圆心角关联起来，解题思路固定，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.75
解题思路：首先根据切线的性质，连接过切点的半径OA、OB，构造两个直角；再利用四边形内角和为360°，结合已知的∠P的度数，求出圆心角∠AOB的度数；最后根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别切$\odot O$于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
在四边形OAPB中，内角和为$360°$，
∴$∠ AOB + ∠ OAP + ∠ OBP + ∠ P = 360°$，
代入$∠ P=50°$，得：
$∠ AOB = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°$。
∵$∠ ACB$是$\odot O$中弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理，$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2}×130° = 65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题的核心是通过连接切点与圆心构造直角，将已知角和待求角通过圆心角关联起来，解题思路固定，是圆章节的常见题型。
【难度系数】
0.75
3.如图，AB是$\odot O$的直径，点C为$\odot O$外一点，CA，CD是$\odot O$的切线，点A，D为切点，连接BD，AD.若$∠ ACD=48°$，则$∠ DBA$的大小是
第3题图
$66°$
. 第3题图答案
3.$66°$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 由切线长定理可知CA=CD，△ACD为等腰三角形，结合已知∠ACD的度数可求出∠CAD的度数；2. 根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得CA⊥AB，即∠CAB=90°，进而求出∠DAB的度数；3. 由直径所对的圆周角为直角，得∠ADB=90°，在Rt△ADB中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DBA的大小。
【解析】
解：
∵CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点
∴CA=CD（切线长定理），∠CAB=90°（圆的切线垂直于过切点的半径）
在△ACD中，∠ACD=48°，CA=CD
∴∠CAD=∠CDA=(180°-∠ACD)÷2=(180°-48°)÷2=66°
∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°-66°=24°
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ADB中，∠DBA+∠DAB=90°
∴∠DBA=90°-∠DAB=90°-24°=66°
【答案】
66°
【知识点】
切线的性质；切线长定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过切线相关性质转化角度关系，结合等腰三角形、直角三角形的角度计算规则求解，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：1. 由切线长定理可知CA=CD，△ACD为等腰三角形，结合已知∠ACD的度数可求出∠CAD的度数；2. 根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得CA⊥AB，即∠CAB=90°，进而求出∠DAB的度数；3. 由直径所对的圆周角为直角，得∠ADB=90°，在Rt△ADB中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DBA的大小。
【解析】
解：
∵CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点
∴CA=CD（切线长定理），∠CAB=90°（圆的切线垂直于过切点的半径）
在△ACD中，∠ACD=48°，CA=CD
∴∠CAD=∠CDA=(180°-∠ACD)÷2=(180°-48°)÷2=66°
∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=90°-66°=24°
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△ADB中，∠DBA+∠DAB=90°
∴∠DBA=90°-∠DAB=90°-24°=66°
【答案】
66°
【知识点】
切线的性质；切线长定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心是通过切线相关性质转化角度关系，结合等腰三角形、直角三角形的角度计算规则求解，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.如图，AB，AC，BD是$\odot O$的切线，点P，C，D为切点，如果$AB=8$，$AC=5$，则BD的长为
3
.答案
4.3
解析
【分析】
本题可根据切线长定理求解：首先观察到点A是圆外一点，引出AC、AP两条切线，可先得到AP与AC的长度相等，再结合AB的长度求出PB的长度；最后点B也是圆外一点，引出BP、BD两条切线，可得BD与PB长度相等，代入数值计算即可得到BD的长。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵AC、AP是从点A引出的$\odot O$的两条切线，切点分别为C、P，
∴$AP=AC=5$，
∵$AB=8$，
∴$PB=AB-AP=8-5=3$，
又
∵BP、BD是从点B引出的$\odot O$的两条切线，切点分别为P、D，
∴$BD=PB=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用切线长定理进行线段的等量代换，只要准确识别同一点引出的两条切线，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
本题可根据切线长定理求解：首先观察到点A是圆外一点，引出AC、AP两条切线，可先得到AP与AC的长度相等，再结合AB的长度求出PB的长度；最后点B也是圆外一点，引出BP、BD两条切线，可得BD与PB长度相等，代入数值计算即可得到BD的长。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵AC、AP是从点A引出的$\odot O$的两条切线，切点分别为C、P，
∴$AP=AC=5$，
∵$AB=8$，
∴$PB=AB-AP=8-5=3$，
又
∵BP、BD是从点B引出的$\odot O$的两条切线，切点分别为P、D，
∴$BD=PB=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用切线长定理进行线段的等量代换，只要准确识别同一点引出的两条切线，就能快速计算出结果。
【难度系数】
0.8
5.如图，PA，PB是$\odot O$的两条切线，切点分别是点A，B，PA=10，CD是$\odot O$的切线，交PA于点C，交PB于点D，则$△ PCD$的周长是
20
。答案
5.20
解析
【分析】
本题可通过切线长定理进行求解，解题思路如下：首先观察图形，PA、PB、CD均为$\odot O$的切线，根据切线长定理可以得到多组相等的线段；再将$△ PCD$的周长拆分为三条边的和，通过等量代换将其转化为PA与PB的和，最后代入已知PA的长度即可计算出结果。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵ PA、PB是$\odot O$的切线，切点分别为A、B
∴ $PA = PB = 10$
设CD与$\odot O$相切于点E
∵ CA、CE都是从点C引向$\odot O$的切线，
∴ $CA = CE$
∵ DB、DE都是从点D引向$\odot O$的切线，
∴ $DB = DE$
则$△ PCD$的周长为：
$C_{△ PCD}=PC + CD + DP$
将CD拆分为$CE+ED$，代入得：
$C_{△ PCD}=PC + CE + ED + DP$
将CE替换为CA，ED替换为DB，得：
$C_{△ PCD}=PC + CA + DB + DP=(PC+CA)+(DP+DB)=PA+PB$
代入$PA=PB=10$，得$C_{△ PCD}=10+10=20$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理、三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题目，核心是利用切线长相等的性质对三角形的周长进行等量转化，将未知的周长转化为已知的切线长之和，解题时要注意识别图中所有的切线及对应的切线长关系。
【难度系数】
0.7
本题可通过切线长定理进行求解，解题思路如下：首先观察图形，PA、PB、CD均为$\odot O$的切线，根据切线长定理可以得到多组相等的线段；再将$△ PCD$的周长拆分为三条边的和，通过等量代换将其转化为PA与PB的和，最后代入已知PA的长度即可计算出结果。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵ PA、PB是$\odot O$的切线，切点分别为A、B
∴ $PA = PB = 10$
设CD与$\odot O$相切于点E
∵ CA、CE都是从点C引向$\odot O$的切线，
∴ $CA = CE$
∵ DB、DE都是从点D引向$\odot O$的切线，
∴ $DB = DE$
则$△ PCD$的周长为：
$C_{△ PCD}=PC + CD + DP$
将CD拆分为$CE+ED$，代入得：
$C_{△ PCD}=PC + CE + ED + DP$
将CE替换为CA，ED替换为DB，得：
$C_{△ PCD}=PC + CA + DB + DP=(PC+CA)+(DP+DB)=PA+PB$
代入$PA=PB=10$，得$C_{△ PCD}=10+10=20$
【答案】
20
【知识点】
切线长定理、三角形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题目，核心是利用切线长相等的性质对三角形的周长进行等量转化，将未知的周长转化为已知的切线长之和，解题时要注意识别图中所有的切线及对应的切线长关系。
【难度系数】
0.7
6.如图，AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于E，F，G三点，且$AB// CD$。
(1)求证：$∠ BOC=90°$。
(2)若$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，求BE的长。
(1)求证：$∠ BOC=90°$。
(2)若$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，求BE的长。
答案
6.(1)证明:$\because AB,BC,CD$ 为 $\odot O$ 的切线,$\therefore∠ EBO=∠ FBO,∠ FCO=∠ GCO$,
$\because AB// CD,\therefore∠ EBC+∠ BCG=180°,\therefore∠ FBO+∠ FCO=90°,\therefore∠ BOC=90°$.
(2)连接 $OF$.
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=10\ \mathrm{cm}$,
$\because S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OB· OC=\dfrac{1}{2}OF· BC$,$OB=6\ \mathrm{cm}$,$OC=8\ \mathrm{cm}$,$\therefore OF=\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$,
在 $\mathrm{Rt}△ OBF$ 中,$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}=\dfrac{18}{5}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BE=BF=\dfrac{18}{5}\ \mathrm{cm}$.
$\because AB// CD,\therefore∠ EBC+∠ BCG=180°,\therefore∠ FBO+∠ FCO=90°,\therefore∠ BOC=90°$.
(2)连接 $OF$.
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=10\ \mathrm{cm}$,
$\because S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}OB· OC=\dfrac{1}{2}OF· BC$,$OB=6\ \mathrm{cm}$,$OC=8\ \mathrm{cm}$,$\therefore OF=\dfrac{24}{5}\ \mathrm{cm}$,
在 $\mathrm{Rt}△ OBF$ 中,$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}=\dfrac{18}{5}\ \mathrm{cm}$,
$\therefore BE=BF=\dfrac{18}{5}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 要证$∠ BOC=90°$，首先根据切线长定理，可得$BO$、$CO$分别平分$∠ ABC$、$∠ BCD$；再结合$AB// CD$的性质，得同旁内角互补，推导两角的一半之和为$90°$，最后根据三角形内角和即可证明$∠ BOC=90°$。
(2) 求$BE$的长，由切线长定理可知$BE=BF$，因此只需计算$BF$的长度即可：先利用(1)的结论，用勾股定理求出$BC$的长；再连接切线对应的半径$OF$，通过三角形面积的两种计算方式求出$OF$的长度；最后在$Rt△ OBF$中用勾股定理算出$BF$，即可得到$BE$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB,BC,CD$ 为 $\odot O$ 的切线，
$\therefore BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ BCD$，即$∠ EBO=∠ FBO,∠ FCO=∠ GCO$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC+∠ BCD=180°$，即$∠ EBC+∠ BCG=180°$，
$\therefore ∠ FBO+∠ FCO=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=90°$，
在$△ BOC$中，$∠ BOC=180°-(∠ FBO+∠ FCO)=90°$，得证。
(2) 解：连接$OF$，
$\because ∠ BOC=90°$，$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
$\because BC$是$\odot O$的切线，$F$为切点，$\therefore OF⊥ BC$，
由$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}OF· BC$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}× OF×10$，解得$OF=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$，
由切线长定理得$BE=BF$，
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=BF=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ BOC=90°$，证明成立；
(2) $BE$的长为$\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常考基础题型，解题关键是灵活运用切线长定理得到角、线段的等量关系，结合平行线性质、面积法和勾股定理完成求解，掌握这类常规解题思路可以快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$∠ BOC=90°$，首先根据切线长定理，可得$BO$、$CO$分别平分$∠ ABC$、$∠ BCD$；再结合$AB// CD$的性质，得同旁内角互补，推导两角的一半之和为$90°$，最后根据三角形内角和即可证明$∠ BOC=90°$。
(2) 求$BE$的长，由切线长定理可知$BE=BF$，因此只需计算$BF$的长度即可：先利用(1)的结论，用勾股定理求出$BC$的长；再连接切线对应的半径$OF$，通过三角形面积的两种计算方式求出$OF$的长度；最后在$Rt△ OBF$中用勾股定理算出$BF$，即可得到$BE$的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB,BC,CD$ 为 $\odot O$ 的切线，
$\therefore BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ BCD$，即$∠ EBO=∠ FBO,∠ FCO=∠ GCO$，
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ ABC+∠ BCD=180°$，即$∠ EBC+∠ BCG=180°$，
$\therefore ∠ FBO+∠ FCO=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=90°$，
在$△ BOC$中，$∠ BOC=180°-(∠ FBO+∠ FCO)=90°$，得证。
(2) 解：连接$OF$，
$\because ∠ BOC=90°$，$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\ \mathrm{cm}$，
$\because BC$是$\odot O$的切线，$F$为切点，$\therefore OF⊥ BC$，
由$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}OB· OC=\frac{1}{2}OF· BC$，代入数值：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}× OF×10$，解得$OF=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$，
由切线长定理得$BE=BF$，
在$\mathrm{Rt}△ OBF$中，$BF=\sqrt{OB^2-OF^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BE=BF=\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ BOC=90°$，证明成立；
(2) $BE$的长为$\frac{18}{5}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的常考基础题型，解题关键是灵活运用切线长定理得到角、线段的等量关系，结合平行线性质、面积法和勾股定理完成求解，掌握这类常规解题思路可以快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
