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6.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,点E为AB上一点,以AE为直径的$\odot O$上的一点D在BC上,且AD平分$∠ BAC$.
(1)证明:BC是$\odot O$的切线.
(2)若$BD=4$,$BE=2$,求AB的长.
(1)证明:BC是$\odot O$的切线.
(2)若$BD=4$,$BE=2$,求AB的长.
答案
6.(1)连接 $OD$.
$\because AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore∠ BAD=∠ CAD$,
$\because OA=OD,\therefore∠ ODA=∠ BAD=∠ CAD,\therefore OD// AC$,
$\because∠ C=90°,\therefore∠ ODC=90°$,
$\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)设 $OA=OD=OE=r$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODB$ 中,$BD=4,BE=2,OB=r+2$,
由勾股定理得 $r^2+4^2=(r+2)^2$,解得 $r=3,\therefore AB=OA+OB=8$.
$\because AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore∠ BAD=∠ CAD$,
$\because OA=OD,\therefore∠ ODA=∠ BAD=∠ CAD,\therefore OD// AC$,
$\because∠ C=90°,\therefore∠ ODC=90°$,
$\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)设 $OA=OD=OE=r$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODB$ 中,$BD=4,BE=2,OB=r+2$,
由勾股定理得 $r^2+4^2=(r+2)^2$,解得 $r=3,\therefore AB=OA+OB=8$.
解析
【分析】
(1)要证明BC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，已知点D在$\odot O$上，所以只需证明$OD⊥ BC$即可。首先连接OD，利用AD是角平分线得到$∠ BAD=∠ CAD$，再结合圆的半径相等可得$OA=OD$，推出$∠ ODA=∠ BAD$，等量代换后得到$∠ ODA=∠ CAD$，即可推出$OD// AC$，结合$∠ C=90°$就能得到$OD⊥ BC$，完成切线的证明。
(2)要求AB的长，已知BC是$\odot O$的切线，因此$△ ODB$是直角三角形，可设$\odot O$的半径为r，将OD、OB的长度用含r的式子表示，再利用勾股定理列方程求解r，最后根据AB的组成即可算出AB的长度。
【解析】
(1)证明：连接 $OD$.
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore∠ BAD=∠ CAD$，
$\because OA=OD$，$\therefore∠ ODA=∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore OD// AC$，
$\because∠ C=90°$，$\therefore∠ ODC=90°$，即$OD⊥ BC$，
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore BC$ 是 $\odot O$的切线.
(2)解：设 $OA=OD=OE=r$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODB$ 中，$BD=4$，$BE=2$，$OB=OE+BE=r+2$，
由勾股定理得 $OD^2+BD^2=OB^2$，即$r^2+4^2=(r+2)^2$，
解得 $r=3$，
$\therefore AB=OA+OB=3+(3+2)=8$.
【答案】
(1)已证BC是$\odot O$的切线；
(2)$\boxed{8}$
【知识点】
切线的判定定理、勾股定理、角平分线的定义
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，重点考察切线判定的常用辅助线做法，以及方程思想在几何计算中的应用，属于圆章节的常规考点，解题逻辑清晰，需要熟练掌握相关定理的应用方法。
【难度系数】
0.7
(1)要证明BC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，已知点D在$\odot O$上，所以只需证明$OD⊥ BC$即可。首先连接OD，利用AD是角平分线得到$∠ BAD=∠ CAD$，再结合圆的半径相等可得$OA=OD$，推出$∠ ODA=∠ BAD$，等量代换后得到$∠ ODA=∠ CAD$，即可推出$OD// AC$，结合$∠ C=90°$就能得到$OD⊥ BC$，完成切线的证明。
(2)要求AB的长，已知BC是$\odot O$的切线，因此$△ ODB$是直角三角形，可设$\odot O$的半径为r，将OD、OB的长度用含r的式子表示，再利用勾股定理列方程求解r，最后根据AB的组成即可算出AB的长度。
【解析】
(1)证明：连接 $OD$.
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore∠ BAD=∠ CAD$，
$\because OA=OD$，$\therefore∠ ODA=∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore OD// AC$，
$\because∠ C=90°$，$\therefore∠ ODC=90°$，即$OD⊥ BC$，
又$\because OD$是$\odot O$的半径，
$\therefore BC$ 是 $\odot O$的切线.
(2)解：设 $OA=OD=OE=r$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODB$ 中，$BD=4$，$BE=2$，$OB=OE+BE=r+2$，
由勾股定理得 $OD^2+BD^2=OB^2$，即$r^2+4^2=(r+2)^2$，
解得 $r=3$，
$\therefore AB=OA+OB=3+(3+2)=8$.
【答案】
(1)已证BC是$\odot O$的切线；
(2)$\boxed{8}$
【知识点】
切线的判定定理、勾股定理、角平分线的定义
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，重点考察切线判定的常用辅助线做法，以及方程思想在几何计算中的应用，属于圆章节的常规考点，解题逻辑清晰，需要熟练掌握相关定理的应用方法。
【难度系数】
0.7
7.如图,点A,B,D,E在$\odot O$上,弦AE,BD的延长线相交于点C.若AB是$\odot O$的直径,点D是BC的中点,过点D作AC的垂线,垂足为点F.
(1)求证:DF是$\odot O$的切线.
(2)若$AE:AO=6:5,DF=2$,求$\odot O$的直径.
(1)求证:DF是$\odot O$的切线.
(2)若$AE:AO=6:5,DF=2$,求$\odot O$的直径.
答案
7.(1)连接 $OD$.
可知 $OD$ 为 $△ BAC$ 的中位线,$\therefore OD// AC$.
$\because DF⊥ AC,\therefore OD⊥ DF,\therefore DF$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)作 $OH⊥ AE$ 于点 $H$.
则四边形 $OHFD$ 为矩形,$\therefore OH=DF=2$.
设 $AE=6x,AO=5x$,
$\because OH⊥ AE,\therefore AH=EH=\dfrac{1}{2}AE=3x$,
$\therefore OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=4x,\therefore4x=2$,解得 $x=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore AB=2AO=10x=5$.
可知 $OD$ 为 $△ BAC$ 的中位线,$\therefore OD// AC$.
$\because DF⊥ AC,\therefore OD⊥ DF,\therefore DF$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)作 $OH⊥ AE$ 于点 $H$.
则四边形 $OHFD$ 为矩形,$\therefore OH=DF=2$.
设 $AE=6x,AO=5x$,
$\because OH⊥ AE,\therefore AH=EH=\dfrac{1}{2}AE=3x$,
$\therefore OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=4x,\therefore4x=2$,解得 $x=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore AB=2AO=10x=5$.
解析
【分析】
(1) 要证明DF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明$OD⊥ DF$即可。已知O是AB中点（AB为直径）、D是BC中点，可推出OD是$△ BAC$的中位线，得到$OD// AC$，结合$DF⊥ AC$的条件，即可推出$OD⊥ DF$，完成切线证明。
(2) 要求$\odot O$的直径，已知AE和AO的比例关系、DF的长度，可过O作$OH⊥ AE$于H，利用垂径定理得到$AH=\frac{1}{2}AE$；再结合$OD// AC$，$OH⊥ AC$、$DF⊥ AC$，可证四边形OHFD是矩形，得到$OH=DF=2$；设$AO=5x$、$AE=6x$，用勾股定理在$Rt△ OAH$中表示出OH，建立方程求解x，进而求出直径AB的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴O是AB的中点，
又
∵D是BC的中点，
∴OD为$△ BAC$的中位线，
$\therefore OD// AC$。
$\because DF⊥ AC$，$\therefore OD⊥ DF$，
∵OD是$\odot O$的半径，$\therefore DF$是$\odot O$的切线。
(2) 解：作$OH⊥ AE$于点$H$。
根据垂径定理，可得$AH=EH=\dfrac{1}{2}AE$。
$\because OD// AC$，$OH⊥ AC$，$DF⊥ AC$，
$\therefore ∠ OHF=∠ HFD=∠ ODF=90°$，即四边形$OHFD$为矩形，
$\therefore OH=DF=2$。
设$AE=6x$，$AO=5x$，则$AH=\frac{1}{2}AE=3x$，
在$Rt△ OAH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x$，
$\therefore4x=2$，解得$x=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore \odot O$的直径$AB=2AO=2×5x=10x=10×\frac{1}{2}=5$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
切线的判定；垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题核心是合理添加辅助线：证明切线时连接半径证垂直，涉及弦长时作弦心距结合垂径定理转化线段，再通过矩形性质、勾股定理建立方程求解，考查了圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明DF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径OD，证明$OD⊥ DF$即可。已知O是AB中点（AB为直径）、D是BC中点，可推出OD是$△ BAC$的中位线，得到$OD// AC$，结合$DF⊥ AC$的条件，即可推出$OD⊥ DF$，完成切线证明。
(2) 要求$\odot O$的直径，已知AE和AO的比例关系、DF的长度，可过O作$OH⊥ AE$于H，利用垂径定理得到$AH=\frac{1}{2}AE$；再结合$OD// AC$，$OH⊥ AC$、$DF⊥ AC$，可证四边形OHFD是矩形，得到$OH=DF=2$；设$AO=5x$、$AE=6x$，用勾股定理在$Rt△ OAH$中表示出OH，建立方程求解x，进而求出直径AB的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$。
∵AB是$\odot O$的直径，
∴O是AB的中点，
又
∵D是BC的中点，
∴OD为$△ BAC$的中位线，
$\therefore OD// AC$。
$\because DF⊥ AC$，$\therefore OD⊥ DF$，
∵OD是$\odot O$的半径，$\therefore DF$是$\odot O$的切线。
(2) 解：作$OH⊥ AE$于点$H$。
根据垂径定理，可得$AH=EH=\dfrac{1}{2}AE$。
$\because OD// AC$，$OH⊥ AC$，$DF⊥ AC$，
$\therefore ∠ OHF=∠ HFD=∠ ODF=90°$，即四边形$OHFD$为矩形，
$\therefore OH=DF=2$。
设$AE=6x$，$AO=5x$，则$AH=\frac{1}{2}AE=3x$，
在$Rt△ OAH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x$，
$\therefore4x=2$，解得$x=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore \odot O$的直径$AB=2AO=2×5x=10x=10×\frac{1}{2}=5$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{5}$
【知识点】
切线的判定；垂径定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题核心是合理添加辅助线：证明切线时连接半径证垂直，涉及弦长时作弦心距结合垂径定理转化线段，再通过矩形性质、勾股定理建立方程求解，考查了圆相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
8.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$O$在$AC$上,以$OA$为半径的半圆$O$交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$,点$F$在$BC$上,且$BF=DF$.
(1)求证:$DF$是半圆$O$的切线.
(2)若$AC=4$,$BC=3$,$CF=1$,求半圆$O$的半径.
(1)求证:$DF$是半圆$O$的切线.
(2)若$AC=4$,$BC=3$,$CF=1$,求半圆$O$的半径.
答案
8.(1)连接 $OD$.
$\because BF=DF,OA=OD,\therefore∠ B=∠ BDF,∠ A=∠ ODA$,
$\because∠ C=90°,\therefore∠ A+∠ B=90°,\therefore∠ BDF+∠ ODA=90°$,
$\therefore∠ ODF=90°,\therefore DF$ 为半圆 $O$ 的切线.
(2)连接 $OF,OD$.
设 $OA=OD=OE=r$,
$\because AC=4,BC=3,CF=1,\therefore OC=4-r,DF=BF=3-1=2$,
$\because OD^2+DF^2=OF^2=OC^2+CF^2,\therefore r^2+2^2=(4-r)^2+1^2$,解得 $r=\dfrac{13}{8}$.
半圆 $O$ 的半径为 $\dfrac{13}{8}$.
$\because BF=DF,OA=OD,\therefore∠ B=∠ BDF,∠ A=∠ ODA$,
$\because∠ C=90°,\therefore∠ A+∠ B=90°,\therefore∠ BDF+∠ ODA=90°$,
$\therefore∠ ODF=90°,\therefore DF$ 为半圆 $O$ 的切线.
(2)连接 $OF,OD$.
设 $OA=OD=OE=r$,
$\because AC=4,BC=3,CF=1,\therefore OC=4-r,DF=BF=3-1=2$,
$\because OD^2+DF^2=OF^2=OC^2+CF^2,\therefore r^2+2^2=(4-r)^2+1^2$,解得 $r=\dfrac{13}{8}$.
半圆 $O$ 的半径为 $\dfrac{13}{8}$.
解析
【分析】
(1)要证明DF是半圆O的切线，根据切线的判定定理，需证明DF垂直于半径OD，因此先连接OD。结合已知条件中BF=DF、OA=OD得到两组等角，再利用Rt△ABC两锐角互余的性质，推导得出∠ODF=90°即可完成证明。
(2)求半圆O的半径，可设半径为r，利用勾股定理建立关于r的方程求解：连接OF后，OF可分别在Rt△ODF和Rt△OCF中用含r的式子表示，令两个式子相等即可解方程求出r的值。
【解析】
(1)证明：连接$OD$，
$\because BF=DF,OA=OD,\therefore∠ B=∠ BDF,∠ A=∠ ODA$，
$\because∠ C=90°,\therefore∠ A+∠ B=90°,\therefore∠ BDF+∠ ODA=90°$，
$\therefore∠ ODF=180°-(∠BDF+∠ODA)=90°$，即$OD⊥ DF$，
又$\because OD$是半圆$O$的半径，
$\therefore DF$ 为半圆$O$的切线。
(2)解：连接$OF,OD$，设$OA=OD=r$，
$\because AC=4,BC=3,CF=1,\therefore OC=4-r,DF=BF=3-1=2$，
由(1)知$∠ ODF=90°$，又$∠ C=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ODF$中，$OF^2=OD^2+DF^2=r^2+2^2$，
在$\mathrm{Rt}△OCF$中，$OF^2=OC^2+CF^2=(4-r)^2+1^2$，
$\therefore r^2+2^2=(4-r)^2+1^2$，
展开化简得$8r=13$，解得$r=\dfrac{13}{8}$。
【答案】
(1)证明见解析，DF是半圆O的切线；
(2)半圆$O$的半径为$\dfrac{13}{8}$。
【知识点】
切线的判定；勾股定理的应用；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，证明切线的核心方法是“连半径、证垂直”，是切线判定类题目的常规思路；求半径时运用方程思想，结合勾股定理建立等量关系求解，是几何中求未知线段长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1)要证明DF是半圆O的切线，根据切线的判定定理，需证明DF垂直于半径OD，因此先连接OD。结合已知条件中BF=DF、OA=OD得到两组等角，再利用Rt△ABC两锐角互余的性质，推导得出∠ODF=90°即可完成证明。
(2)求半圆O的半径，可设半径为r，利用勾股定理建立关于r的方程求解：连接OF后，OF可分别在Rt△ODF和Rt△OCF中用含r的式子表示，令两个式子相等即可解方程求出r的值。
【解析】
(1)证明：连接$OD$，
$\because BF=DF,OA=OD,\therefore∠ B=∠ BDF,∠ A=∠ ODA$，
$\because∠ C=90°,\therefore∠ A+∠ B=90°,\therefore∠ BDF+∠ ODA=90°$，
$\therefore∠ ODF=180°-(∠BDF+∠ODA)=90°$，即$OD⊥ DF$，
又$\because OD$是半圆$O$的半径，
$\therefore DF$ 为半圆$O$的切线。
(2)解：连接$OF,OD$，设$OA=OD=r$，
$\because AC=4,BC=3,CF=1,\therefore OC=4-r,DF=BF=3-1=2$，
由(1)知$∠ ODF=90°$，又$∠ C=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ODF$中，$OF^2=OD^2+DF^2=r^2+2^2$，
在$\mathrm{Rt}△OCF$中，$OF^2=OC^2+CF^2=(4-r)^2+1^2$，
$\therefore r^2+2^2=(4-r)^2+1^2$，
展开化简得$8r=13$，解得$r=\dfrac{13}{8}$。
【答案】
(1)证明见解析，DF是半圆O的切线；
(2)半圆$O$的半径为$\dfrac{13}{8}$。
【知识点】
切线的判定；勾股定理的应用；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，证明切线的核心方法是“连半径、证垂直”，是切线判定类题目的常规思路；求半径时运用方程思想，结合勾股定理建立等量关系求解，是几何中求未知线段长度的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
