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6.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,点E为AB上一点,以AE为直径的$\odot O$上的一点D在BC上,且AD平分$∠ BAC$.
(1)证明:BC是$\odot O$的切线.
(2)若$BD=4$,$BE=2$,求AB的长.
(1)证明:BC是$\odot O$的切线.
(2)若$BD=4$,$BE=2$,求AB的长.
答案
6.(1)连接 $OD$.
$\because AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore∠ BAD=∠ CAD$,
$\because OA=OD,\therefore∠ ODA=∠ BAD=∠ CAD,\therefore OD// AC$,
$\because∠ C=90°,\therefore∠ ODC=90°$,
$\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)设 $OA=OD=OE=r$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODB$ 中,$BD=4,BE=2,OB=r+2$,
由勾股定理得 $r^2+4^2=(r+2)^2$,解得 $r=3,\therefore AB=OA+OB=8$.
$\because AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore∠ BAD=∠ CAD$,
$\because OA=OD,\therefore∠ ODA=∠ BAD=∠ CAD,\therefore OD// AC$,
$\because∠ C=90°,\therefore∠ ODC=90°$,
$\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)设 $OA=OD=OE=r$.
在 $\mathrm{Rt}△ ODB$ 中,$BD=4,BE=2,OB=r+2$,
由勾股定理得 $r^2+4^2=(r+2)^2$,解得 $r=3,\therefore AB=OA+OB=8$.
解析
【分析】
(1)要证明BC是$\odot O$的切线，已知点D在$\odot O$上，根据切线判定定理，只需连接半径OD，证明$OD⊥ BC$即可。首先利用角平分线性质得$∠ BAD=∠ CAD$，再结合等腰三角形$OA=OD$的性质推出$∠ ODA=∠ CAD$，进而得到$OD// AC$，结合$∠ C=90°$即可推出$OD⊥ BC$，完成证明。
(2)由(1)知$OD⊥ BC$，因此$△ ODB$是直角三角形。设$\odot O$半径为r，可表示出$OD=r$，$OB=r+BE=r+2$，在$Rt△ ODB$中用勾股定理列方程求出r，再根据$AB=AE+BE=2r+BE$即可求出AB的长度。
【解析】
(1)连接 $OD$。
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore∠ BAD=∠ CAD$，
$\because OA=OD$，$\therefore∠ ODA=∠ BAD=∠ CAD$，$\therefore OD// AC$，
$\because∠ C=90°$，$\therefore∠ ODC=∠C=90°$，即$OD⊥ BC$，
又$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore BC$ 是 $\odot O$的切线。
(2)设 $OA=OD=OE=r$。
在 $\mathrm{Rt}△ ODB$ 中，$BD=4$，$BE=2$，$OB=OE+BE=r+2$，
由勾股定理得 $OD^2+BD^2=OB^2$，即$r^2+4^2=(r+2)^2$，
展开得$r^2+16=r^2+4r+4$，解得 $r=3$，
$\therefore AB=AE+BE=2r+2=2×3+2=8$。
【答案】
(1)BC是$\odot O$的切线，证明成立；(2)$AB=8$
【知识点】
1.切线的判定 2.勾股定理 3.角平分线的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础考题，第一问的核心是掌握“有切点、连半径、证垂直”的切线证明辅助线思路，第二问考查利用勾股定理构建方程求解线段长度的方程思想，是圆与直角三角形结合的常见题型，需熟练掌握相关性质和解题方法。
【难度系数】
0.7
(1)要证明BC是$\odot O$的切线，已知点D在$\odot O$上，根据切线判定定理，只需连接半径OD，证明$OD⊥ BC$即可。首先利用角平分线性质得$∠ BAD=∠ CAD$，再结合等腰三角形$OA=OD$的性质推出$∠ ODA=∠ CAD$，进而得到$OD// AC$，结合$∠ C=90°$即可推出$OD⊥ BC$，完成证明。
(2)由(1)知$OD⊥ BC$，因此$△ ODB$是直角三角形。设$\odot O$半径为r，可表示出$OD=r$，$OB=r+BE=r+2$，在$Rt△ ODB$中用勾股定理列方程求出r，再根据$AB=AE+BE=2r+BE$即可求出AB的长度。
【解析】
(1)连接 $OD$。
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$，$\therefore∠ BAD=∠ CAD$，
$\because OA=OD$，$\therefore∠ ODA=∠ BAD=∠ CAD$，$\therefore OD// AC$，
$\because∠ C=90°$，$\therefore∠ ODC=∠C=90°$，即$OD⊥ BC$，
又$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore BC$ 是 $\odot O$的切线。
(2)设 $OA=OD=OE=r$。
在 $\mathrm{Rt}△ ODB$ 中，$BD=4$，$BE=2$，$OB=OE+BE=r+2$，
由勾股定理得 $OD^2+BD^2=OB^2$，即$r^2+4^2=(r+2)^2$，
展开得$r^2+16=r^2+4r+4$，解得 $r=3$，
$\therefore AB=AE+BE=2r+2=2×3+2=8$。
【答案】
(1)BC是$\odot O$的切线，证明成立；(2)$AB=8$
【知识点】
1.切线的判定 2.勾股定理 3.角平分线的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础考题，第一问的核心是掌握“有切点、连半径、证垂直”的切线证明辅助线思路，第二问考查利用勾股定理构建方程求解线段长度的方程思想，是圆与直角三角形结合的常见题型，需熟练掌握相关性质和解题方法。
【难度系数】
0.7
7.如图,点A,B,D,E在$\odot O$上,弦AE,BD的延长线相交于点C.若AB是$\odot O$的直径,点D是BC的中点,过点D作AC的垂线,垂足为点F.
(1)求证:DF是$\odot O$的切线.
(2)若$AE:AO=6:5,DF=2$,求$\odot O$的直径.
(1)求证:DF是$\odot O$的切线.
(2)若$AE:AO=6:5,DF=2$,求$\odot O$的直径.
答案
7.(1)连接 $OD$.
可知 $OD$ 为 $△ BAC$ 的中位线,$\therefore OD// AC$.
$\because DF⊥ AC,\therefore OD⊥ DF,\therefore DF$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)作 $OH⊥ AE$ 于点 $H$.
则四边形 $OHFD$ 为矩形,$\therefore OH=DF=2$.
设 $AE=6x,AO=5x$,
$\because OH⊥ AE,\therefore AH=EH=\dfrac{1}{2}AE=3x$,
$\therefore OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=4x,\therefore4x=2$,解得 $x=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore AB=2AO=10x=5$.
可知 $OD$ 为 $△ BAC$ 的中位线,$\therefore OD// AC$.
$\because DF⊥ AC,\therefore OD⊥ DF,\therefore DF$ 是 $\odot O$ 的切线.
(2)作 $OH⊥ AE$ 于点 $H$.
则四边形 $OHFD$ 为矩形,$\therefore OH=DF=2$.
设 $AE=6x,AO=5x$,
$\because OH⊥ AE,\therefore AH=EH=\dfrac{1}{2}AE=3x$,
$\therefore OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=4x,\therefore4x=2$,解得 $x=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore AB=2AO=10x=5$.
解析
【分析】
(1) 要证明DF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明DF垂直于过切点的半径，因此先连接OD。已知AB是$\odot O$的直径，可得O是AB中点，又D是BC中点，因此OD是$△ BAC$的中位线，可推出$OD// AC$，结合$DF⊥ AC$的条件，就能得到$OD⊥ DF$，从而完成切线的证明。
(2) 求$\odot O$的直径时，先过O作$OH⊥ AE$，由垂径定理可得H是AE的中点。结合$OD// AC$、$DF⊥ AC$、$OH⊥ AC$可推出四边形OHFD是矩形，因此$OH=DF=2$。根据$AE:AO=6:5$的比例关系设未知数，再在$Rt△ AOH$中用勾股定理列方程求解未知数，即可算出直径长度。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ O是AB的中点，
又
∵ 点D是BC的中点，
∴ OD是$△ BAC$的中位线，
$\therefore OD// AC$，
$\because DF⊥ AC$，$\therefore OD⊥ DF$，
∵ OD是$\odot O$的半径，$\therefore DF$是$\odot O$的切线。
(2) 解：过点O作$OH⊥ AE$于点H，
∵ $OH⊥ AE$，$DF⊥ AC$，$OD// AC$，
$\therefore ∠ OHF=∠ DFH=∠ ODF=90°$，
∴ 四边形$OHFD$为矩形，
$\therefore OH=DF=2$。
设$AE=6x$，$AO=5x$，
∵ $OH⊥ AE$，由垂径定理得$AH=EH=\frac{1}{2}AE=3x$，
在$Rt△ AOH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x$，
$\therefore 4x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$，
$\therefore AB=2AO=2×5x=10x=10×\frac{1}{2}=5$。
【答案】
(1) DF是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $\odot O$的直径为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
切线的判定，三角形中位线定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问是切线判定的常规考法，核心是通过连接半径，结合中位线性质推导垂直关系；第二问通过构造垂线，结合垂径定理、矩形性质和勾股定理，利用比例设未知数的方法简化计算，解题的关键是合理构造辅助线，梳理清楚各线段间的数量关系。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明DF是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明DF垂直于过切点的半径，因此先连接OD。已知AB是$\odot O$的直径，可得O是AB中点，又D是BC中点，因此OD是$△ BAC$的中位线，可推出$OD// AC$，结合$DF⊥ AC$的条件，就能得到$OD⊥ DF$，从而完成切线的证明。
(2) 求$\odot O$的直径时，先过O作$OH⊥ AE$，由垂径定理可得H是AE的中点。结合$OD// AC$、$DF⊥ AC$、$OH⊥ AC$可推出四边形OHFD是矩形，因此$OH=DF=2$。根据$AE:AO=6:5$的比例关系设未知数，再在$Rt△ AOH$中用勾股定理列方程求解未知数，即可算出直径长度。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ O是AB的中点，
又
∵ 点D是BC的中点，
∴ OD是$△ BAC$的中位线，
$\therefore OD// AC$，
$\because DF⊥ AC$，$\therefore OD⊥ DF$，
∵ OD是$\odot O$的半径，$\therefore DF$是$\odot O$的切线。
(2) 解：过点O作$OH⊥ AE$于点H，
∵ $OH⊥ AE$，$DF⊥ AC$，$OD// AC$，
$\therefore ∠ OHF=∠ DFH=∠ ODF=90°$，
∴ 四边形$OHFD$为矩形，
$\therefore OH=DF=2$。
设$AE=6x$，$AO=5x$，
∵ $OH⊥ AE$，由垂径定理得$AH=EH=\frac{1}{2}AE=3x$，
在$Rt△ AOH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{(5x)^2-(3x)^2}=4x$，
$\therefore 4x=2$，解得$x=\frac{1}{2}$，
$\therefore AB=2AO=2×5x=10x=10×\frac{1}{2}=5$。
【答案】
(1) DF是$\odot O$的切线，证明成立；
(2) $\odot O$的直径为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
切线的判定，三角形中位线定理，垂径定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问是切线判定的常规考法，核心是通过连接半径，结合中位线性质推导垂直关系；第二问通过构造垂线，结合垂径定理、矩形性质和勾股定理，利用比例设未知数的方法简化计算，解题的关键是合理构造辅助线，梳理清楚各线段间的数量关系。
【难度系数】
0.6
8.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$O$在$AC$上,以$OA$为半径的半圆$O$交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$,点$F$在$BC$上,且$BF=DF$.
(1)求证:$DF$是半圆$O$的切线.
(2)若$AC=4$,$BC=3$,$CF=1$,求半圆$O$的半径.
(1)求证:$DF$是半圆$O$的切线.
(2)若$AC=4$,$BC=3$,$CF=1$,求半圆$O$的半径.
答案
8.(1)连接 $OD$.
$\because BF=DF,OA=OD,\therefore∠ B=∠ BDF,∠ A=∠ ODA$,
$\because∠ C=90°,\therefore∠ A+∠ B=90°,\therefore∠ BDF+∠ ODA=90°$,
$\therefore∠ ODF=90°,\therefore DF$ 为半圆 $O$ 的切线.
(2)连接 $OF,OD$.
设 $OA=OD=OE=r$,
$\because AC=4,BC=3,CF=1,\therefore OC=4-r,DF=BF=3-1=2$,
$\because OD^2+DF^2=OF^2=OC^2+CF^2,\therefore r^2+2^2=(4-r)^2+1^2$,解得 $r=\dfrac{13}{8}$.
半圆 $O$ 的半径为 $\dfrac{13}{8}$.
$\because BF=DF,OA=OD,\therefore∠ B=∠ BDF,∠ A=∠ ODA$,
$\because∠ C=90°,\therefore∠ A+∠ B=90°,\therefore∠ BDF+∠ ODA=90°$,
$\therefore∠ ODF=90°,\therefore DF$ 为半圆 $O$ 的切线.
(2)连接 $OF,OD$.
设 $OA=OD=OE=r$,
$\because AC=4,BC=3,CF=1,\therefore OC=4-r,DF=BF=3-1=2$,
$\because OD^2+DF^2=OF^2=OC^2+CF^2,\therefore r^2+2^2=(4-r)^2+1^2$,解得 $r=\dfrac{13}{8}$.
半圆 $O$ 的半径为 $\dfrac{13}{8}$.
解析
【分析】
(1) 要证明DF是半圆O的切线，根据切线判定定理，需证明DF垂直于过切点D的半径，因此优先连接OD。结合已知的两组等腰三角形（△BDF和△OAD）的底角相等性质，再利用Rt△ABC两锐角互余的特点，通过角的等量代换即可推出∠ODF=90°，完成证明。
(2) 求半圆半径可采用方程思想，设半径为r，将相关线段（OC、DF等）用含r的式子表示，观察到Rt△ODF和Rt△OCF共用斜边OF，根据勾股定理列等式求解r即可。
【解析】
(1) 证明：连接 $OD$。
$\because BF=DF,OA=OD,\therefore∠ B=∠ BDF,∠ A=∠ ODA$，
$\because∠ C=90°,\therefore∠ A+∠ B=90°,\therefore∠ BDF+∠ ODA=90°$，
$\therefore∠ ODF=180°-(∠BDF+∠ODA)=90°$，即 $OD⊥ DF$，
又$\because OD$是半圆$O$的半径，$\therefore DF$ 为半圆 $O$ 的切线。
(2) 解：连接 $OF,OD$。
设 $OA=OD=r$，
$\because AC=4,BC=3,CF=1,\therefore OC=AC-OA=4-r,DF=BF=BC-CF=3-1=2$，
由(1)知$∠ODF=90°$，又$∠C=90°$，
$\therefore$ 在$Rt△ODF$中，$OD^2+DF^2=OF^2$；在$Rt△OCF$中，$OC^2+CF^2=OF^2$，
$\therefore r^2+2^2=(4-r)^2+1^2$，
展开得：$r^2+4=16-8r+r^2+1$，
整理得：$8r=13$，解得 $r=\dfrac{13}{8}$。
【答案】
(1) DF是半圆O的切线，证明成立；
(2) 半圆$O$的半径为$\dfrac{13}{8}$。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型基础题，解题的关键是掌握切线判定的常用辅助线作法（连半径，证垂直），第二问通过公共斜边建立勾股方程的思路，体现了方程思想在几何计算中的应用，考查了学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明DF是半圆O的切线，根据切线判定定理，需证明DF垂直于过切点D的半径，因此优先连接OD。结合已知的两组等腰三角形（△BDF和△OAD）的底角相等性质，再利用Rt△ABC两锐角互余的特点，通过角的等量代换即可推出∠ODF=90°，完成证明。
(2) 求半圆半径可采用方程思想，设半径为r，将相关线段（OC、DF等）用含r的式子表示，观察到Rt△ODF和Rt△OCF共用斜边OF，根据勾股定理列等式求解r即可。
【解析】
(1) 证明：连接 $OD$。
$\because BF=DF,OA=OD,\therefore∠ B=∠ BDF,∠ A=∠ ODA$，
$\because∠ C=90°,\therefore∠ A+∠ B=90°,\therefore∠ BDF+∠ ODA=90°$，
$\therefore∠ ODF=180°-(∠BDF+∠ODA)=90°$，即 $OD⊥ DF$，
又$\because OD$是半圆$O$的半径，$\therefore DF$ 为半圆 $O$ 的切线。
(2) 解：连接 $OF,OD$。
设 $OA=OD=r$，
$\because AC=4,BC=3,CF=1,\therefore OC=AC-OA=4-r,DF=BF=BC-CF=3-1=2$，
由(1)知$∠ODF=90°$，又$∠C=90°$，
$\therefore$ 在$Rt△ODF$中，$OD^2+DF^2=OF^2$；在$Rt△OCF$中，$OC^2+CF^2=OF^2$，
$\therefore r^2+2^2=(4-r)^2+1^2$，
展开得：$r^2+4=16-8r+r^2+1$，
整理得：$8r=13$，解得 $r=\dfrac{13}{8}$。
【答案】
(1) DF是半圆O的切线，证明成立；
(2) 半圆$O$的半径为$\dfrac{13}{8}$。
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型基础题，解题的关键是掌握切线判定的常用辅助线作法（连半径，证垂直），第二问通过公共斜边建立勾股方程的思路，体现了方程思想在几何计算中的应用，考查了学生的几何推理和计算能力。
【难度系数】
0.7
