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1.多项式$x^2 -5x$因式分解的结果为，多项式$2x(x-3)-5(x-3)$因式分解的结果为。
答案
解：
对多项式$x^2-5x$提取公因式$x$，得：
$x^2-5x = x(x-5)$
对多项式$2x(x-3)-5(x-3)$提取公因式$(x-3)$，得：
$2x(x-3)-5(x-3) = (x-3)(2x-5)$
最终答案依次为$\boldsymbol{x(x-5)}$，$\boldsymbol{(x-3)(2x-5)}$。
对多项式$x^2-5x$提取公因式$x$，得：
$x^2-5x = x(x-5)$
对多项式$2x(x-3)-5(x-3)$提取公因式$(x-3)$，得：
$2x(x-3)-5(x-3) = (x-3)(2x-5)$
最终答案依次为$\boldsymbol{x(x-5)}$，$\boldsymbol{(x-3)(2x-5)}$。
解析
【分析】
这两道题均考查提公因式法因式分解，解题时先观察多项式各项的公共因式：
1. 对于$x^2 -5x$，两项都含有单项式公因式$x$，提取$x$后即可得到因式分解结果；
2. 对于$2x(x-3)-5(x-3)$，两项都含有多项式公因式$(x-3)$，将$(x-3)$看作整体提取，剩余的项组合为另一个因式即可。
【解析】
1. 分解$x^2 -5x$：
观察可得两项的公因式为$x$，提取公因式：
$x^2 -5x = x· x - 5· x = x(x-5)$
2. 分解$2x(x-3)-5(x-3)$：
观察可得两项的公因式为$(x-3)$，将其作为整体提取：
$2x(x-3)-5(x-3) = (x-3)(2x - 5)$
【答案】
$x(x-5)$；$(x-3)(2x-5)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题核心是准确识别公因式，当公因式为多项式时要注意将其看作整体提取，掌握提公因式的规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
这两道题均考查提公因式法因式分解，解题时先观察多项式各项的公共因式：
1. 对于$x^2 -5x$，两项都含有单项式公因式$x$，提取$x$后即可得到因式分解结果；
2. 对于$2x(x-3)-5(x-3)$，两项都含有多项式公因式$(x-3)$，将$(x-3)$看作整体提取，剩余的项组合为另一个因式即可。
【解析】
1. 分解$x^2 -5x$：
观察可得两项的公因式为$x$，提取公因式：
$x^2 -5x = x· x - 5· x = x(x-5)$
2. 分解$2x(x-3)-5(x-3)$：
观察可得两项的公因式为$(x-3)$，将其作为整体提取：
$2x(x-3)-5(x-3) = (x-3)(2x - 5)$
【答案】
$x(x-5)$；$(x-3)(2x-5)$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题核心是准确识别公因式，当公因式为多项式时要注意将其看作整体提取，掌握提公因式的规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.方程$(x-2)^2=3(x-2)$的解是 （）
A.$x_1=2,x_2=3$
B.$x_1=2,x_2=-2$
C.$x_1=2,x_2=5$
D.$x_1=2,x_2=0$
A.$x_1=2,x_2=3$
B.$x_1=2,x_2=-2$
C.$x_1=2,x_2=5$
D.$x_1=2,x_2=0$
答案
C
解析
【分析】
本题适合用因式分解法求解，首先观察到方程左右两边都含有公因式$(x-2)$，注意不能直接将方程两边同时除以$(x-2)$，否则会丢失$x=2$这个解。解题思路是先移项，把右边的项移到左边使方程右边为0，再提取公因式$(x-2)$，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，最后令每个因式分别为0，即可求出方程的两个解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x-2)^2 - 3(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-2 - 3) = 0$
化简得：
$(x-2)(x-5) = 0$
令每个因式为0，得：
$x-2=0$ 或 $x-5=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=5$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时要注意避免直接两边除以含未知数的整式造成漏解，熟练掌握提取公因式的方法即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题适合用因式分解法求解，首先观察到方程左右两边都含有公因式$(x-2)$，注意不能直接将方程两边同时除以$(x-2)$，否则会丢失$x=2$这个解。解题思路是先移项，把右边的项移到左边使方程右边为0，再提取公因式$(x-2)$，将方程转化为两个一次因式乘积等于0的形式，最后令每个因式分别为0，即可求出方程的两个解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x-2)^2 - 3(x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-2 - 3) = 0$
化简得：
$(x-2)(x-5) = 0$
令每个因式为0，得：
$x-2=0$ 或 $x-5=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=5$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提取公因式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时要注意避免直接两边除以含未知数的整式造成漏解，熟练掌握提取公因式的方法即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3.已知关于$x$的一元二次方程的两根为$x_1=-1,x_2=2$,则这个一元二次方程可能是（）
A.$(x+1)(x+2)=0$
B.$(x-1)(x-2)=0$
C.$(x+1)(x-2)=0$
D.$(x-1)(x+2)=0$
A.$(x+1)(x+2)=0$
B.$(x-1)(x-2)=0$
C.$(x+1)(x-2)=0$
D.$(x-1)(x+2)=0$
答案
C
解析
【分析】
本题可以利用因式分解法解一元二次方程的逆推思路求解：如果已知一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，那么该方程可以写成$(x - x_1)(x - x_2)=0$的形式，我们只需把题目给出的两根代入这个公式，再和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的原理，若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为：
$(x - x_1)(x - x_2)=0$
将$x_1=-1$，$x_2=2$代入上式，得：
$[x - (-1)](x - 2)=0$
化简后为$(x+1)(x-2)=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查因式分解法的逆用，熟练掌握一元二次方程的根和分解后因式的对应关系，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题可以利用因式分解法解一元二次方程的逆推思路求解：如果已知一元二次方程的两个根为$x_1$、$x_2$，那么该方程可以写成$(x - x_1)(x - x_2)=0$的形式，我们只需把题目给出的两根代入这个公式，再和选项比对即可得到答案。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的原理，若一元二次方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为：
$(x - x_1)(x - x_2)=0$
将$x_1=-1$，$x_2=2$代入上式，得：
$[x - (-1)](x - 2)=0$
化简后为$(x+1)(x-2)=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查因式分解法的逆用，熟练掌握一元二次方程的根和分解后因式的对应关系，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
4. 用适当的方法解下列方程：
(1) $(x+3)(x-1)=5$；
(2) $x^2 - x - 2 = 0$；
(3) $(x-3)^2 - 9 = 0$；
(4) $3x(x-2)=2(2-x)$。
(1) $(x+3)(x-1)=5$；
(2) $x^2 - x - 2 = 0$；
(3) $(x-3)^2 - 9 = 0$；
(4) $3x(x-2)=2(2-x)$。
答案
解：
(1) 原方程展开并整理，得
$x^2 + 2x - 8 = 0$
因式分解，得
$(x+4)(x-2)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=2$。
(2) 因式分解，得
$(x-2)(x+1)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-1$。
(3) 利用平方差公式因式分解，得
$(x-3+3)(x-3-3)=0$
化简得
$x(x-6)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-6=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=6$。
(4) 移项，得
$3x(x-2)+2(x-2)=0$
提取公因式因式分解，得
$(x-2)(3x+2)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $3x+2=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$。
(1) 原方程展开并整理，得
$x^2 + 2x - 8 = 0$
因式分解，得
$(x+4)(x-2)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=2$。
(2) 因式分解，得
$(x-2)(x+1)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-1$。
(3) 利用平方差公式因式分解，得
$(x-3+3)(x-3-3)=0$
化简得
$x(x-6)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-6=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=6$。
(4) 移项，得
$3x(x-2)+2(x-2)=0$
提取公因式因式分解，得
$(x-2)(3x+2)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $3x+2=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$。
解析
【分析】
这组题目考查一元二次方程的求解，优先选用因式分解法简化计算，解题整体思路为：先将方程变形为等号右侧为0的形式，再将左侧多项式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，解两个一元一次方程即可得到原方程的根。各小题具体处理思路：(1)先将左侧展开、整理为一元二次方程一般式，再用十字相乘法因式分解；(2)直接对左侧多项式用十字相乘法因式分解；(3)将$(x-3)$看作整体，用平方差公式因式分解；(4)先移项，将$(2-x)$变形为$-(x-2)$，再提取公因式$(x-2)$因式分解。
【解析】
(1) 原方程展开并整理，得
$x^2 + 2x - 8 = 0$
因式分解，得
$(x+4)(x-2)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=2$。
(2) 因式分解，得
$(x-2)(x+1)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-1$。
(3) 利用平方差公式因式分解，得
$(x-3+3)(x-3-3)=0$
化简得
$x(x-6)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-6=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=6$。
(4) 移项，得
$3x(x-2)+2(x-2)=0$
提取公因式因式分解，得
$(x-2)(3x+2)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $3x+2=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=-4,x_2=2$；(2)$x_1=2,x_2=-1$；(3)$x_1=0,x_2=6$；(4)$x_1=2,x_2=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程；因式分解；一元二次方程求解
【点评】
本组题目是一元二次方程求解的基础题型，核心是根据方程的结构特征选择合适的因式分解方法，能有效简化计算过程，熟练掌握提公因式、平方差公式、十字相乘法等因式分解技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这组题目考查一元二次方程的求解，优先选用因式分解法简化计算，解题整体思路为：先将方程变形为等号右侧为0的形式，再将左侧多项式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别等于0，解两个一元一次方程即可得到原方程的根。各小题具体处理思路：(1)先将左侧展开、整理为一元二次方程一般式，再用十字相乘法因式分解；(2)直接对左侧多项式用十字相乘法因式分解；(3)将$(x-3)$看作整体，用平方差公式因式分解；(4)先移项，将$(2-x)$变形为$-(x-2)$，再提取公因式$(x-2)$因式分解。
【解析】
(1) 原方程展开并整理，得
$x^2 + 2x - 8 = 0$
因式分解，得
$(x+4)(x-2)=0$
$\therefore x+4=0$ 或 $x-2=0$
解得 $x_1=-4$，$x_2=2$。
(2) 因式分解，得
$(x-2)(x+1)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-1$。
(3) 利用平方差公式因式分解，得
$(x-3+3)(x-3-3)=0$
化简得
$x(x-6)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-6=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=6$。
(4) 移项，得
$3x(x-2)+2(x-2)=0$
提取公因式因式分解，得
$(x-2)(3x+2)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $3x+2=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=-4,x_2=2$；(2)$x_1=2,x_2=-1$；(3)$x_1=0,x_2=6$；(4)$x_1=2,x_2=-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
因式分解法解方程；因式分解；一元二次方程求解
【点评】
本组题目是一元二次方程求解的基础题型，核心是根据方程的结构特征选择合适的因式分解方法，能有效简化计算过程，熟练掌握提公因式、平方差公式、十字相乘法等因式分解技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
5.用一根 20 m 长的绳子围成一个面积为 24 m² 的矩形,则矩形的长与宽分别是和.
答案
解：设矩形的长为$ x \, \mathrm{m} $，则宽为$ (10 - x) \, \mathrm{m} $。
根据题意，得
$ x(10 - x) = 24 $
整理得：
$ x^2 - 10x + 24 = 0 $
因式分解，得
$ (x - 6)(x - 4) = 0 $
于是得$ x - 6 = 0 $或$ x - 4 = 0 $，
解得$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 4 $。
由长大于宽，可知长为$ 6 \, \mathrm{m} $，此时宽为$ 10 - 6 = 4 \, \mathrm{m} $。
$ 6\,\mathrm{m} $；$ 4\,\mathrm{m} $
根据题意，得
$ x(10 - x) = 24 $
整理得：
$ x^2 - 10x + 24 = 0 $
因式分解，得
$ (x - 6)(x - 4) = 0 $
于是得$ x - 6 = 0 $或$ x - 4 = 0 $，
解得$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 4 $。
由长大于宽，可知长为$ 6 \, \mathrm{m} $，此时宽为$ 10 - 6 = 4 \, \mathrm{m} $。
$ 6\,\mathrm{m} $；$ 4\,\mathrm{m} $
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：绳子长20m即矩形周长为20m，根据矩形周长公式可推出长与宽的和为10m。我们可以设矩形的长为x m，那么宽就可以表示为(10-x)m，再结合矩形面积为24m²的条件，利用面积公式列一元二次方程，用因式分解法求解方程后，结合“长大于宽”的实际要求对根进行取舍，即可得到最终的长和宽。
【解析】
解：设矩形的长为$ x \, \mathrm{m} $，则宽为$ (10 - x) \, \mathrm{m} $。
根据题意，得
$ x(10 - x) = 24 $
整理得：
$ x^2 - 10x + 24 = 0 $
因式分解，得
$ (x - 6)(x - 4) = 0 $
于是得$ x - 6 = 0 $或$ x - 4 = 0 $，
解得$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 4 $。
由长大于宽，可知长为$ 6 \, \mathrm{m} $，此时宽为$ 10 - 6 = 4 \, \mathrm{m} $。
【答案】
$ 6\,\mathrm{m} $；$ 4\,\mathrm{m} $
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解方程；矩形周长与面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何图形问题中的基础应用，解题核心是利用矩形周长公式建立长和宽的数量关系，再结合面积公式列方程求解，需要注意的是求出方程的根后，要结合实际意义对解进行合理取舍。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：绳子长20m即矩形周长为20m，根据矩形周长公式可推出长与宽的和为10m。我们可以设矩形的长为x m，那么宽就可以表示为(10-x)m，再结合矩形面积为24m²的条件，利用面积公式列一元二次方程，用因式分解法求解方程后，结合“长大于宽”的实际要求对根进行取舍，即可得到最终的长和宽。
【解析】
解：设矩形的长为$ x \, \mathrm{m} $，则宽为$ (10 - x) \, \mathrm{m} $。
根据题意，得
$ x(10 - x) = 24 $
整理得：
$ x^2 - 10x + 24 = 0 $
因式分解，得
$ (x - 6)(x - 4) = 0 $
于是得$ x - 6 = 0 $或$ x - 4 = 0 $，
解得$ x_1 = 6 $，$ x_2 = 4 $。
由长大于宽，可知长为$ 6 \, \mathrm{m} $，此时宽为$ 10 - 6 = 4 \, \mathrm{m} $。
【答案】
$ 6\,\mathrm{m} $；$ 4\,\mathrm{m} $
【知识点】
一元二次方程的应用；因式分解法解方程；矩形周长与面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何图形问题中的基础应用，解题核心是利用矩形周长公式建立长和宽的数量关系，再结合面积公式列方程求解，需要注意的是求出方程的根后，要结合实际意义对解进行合理取舍。
【难度系数】
0.8
6.一元二次方程$x^2 -5x +6=0$的两根恰好是菱形的两条对角线的长，则该菱形的面积为（）
A.6
B.4
C.3
D.2
A.6
B.4
C.3
D.2
答案
C
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先求解一元二次方程得到两根，也就是菱形两条对角线的长度，本题的一元二次方程适合用因式分解法求解，十字相乘拆分常数项即可快速得到根；第二步回忆菱形面积公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，将求得的对角线长代入公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$：
对左侧因式分解，十字相乘可得$(x-2)(x-3)=0$，
则$x-2=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即菱形的两条对角线长分别为2和3。
2. 计算菱形面积：
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}d_1d_2$（其中$d_1、d_2$为两条对角线的长度），
代入数据得$S=\frac{1}{2}×2×3=3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 菱形的面积计算
【点评】
本题是一元二次方程解法与菱形性质的基础综合题，侧重对基础公式和基础解题方法的考查，熟练掌握相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题分两步进行：第一步先求解一元二次方程得到两根，也就是菱形两条对角线的长度，本题的一元二次方程适合用因式分解法求解，十字相乘拆分常数项即可快速得到根；第二步回忆菱形面积公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，将求得的对角线长代入公式计算即可得到结果。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$：
对左侧因式分解，十字相乘可得$(x-2)(x-3)=0$，
则$x-2=0$或$x-3=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=3$，即菱形的两条对角线长分别为2和3。
2. 计算菱形面积：
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}d_1d_2$（其中$d_1、d_2$为两条对角线的长度），
代入数据得$S=\frac{1}{2}×2×3=3$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 菱形的面积计算
【点评】
本题是一元二次方程解法与菱形性质的基础综合题，侧重对基础公式和基础解题方法的考查，熟练掌握相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.8
