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7.已知方程$(x-1)(3x+7)=0$，则$x-1$的值为 （）
A.$1$
B.$-\dfrac{7}{3}$
C.$0$或$-\dfrac{7}{3}$
D.$0$或$-\dfrac{10}{3}$
A.$1$
B.$-\dfrac{7}{3}$
C.$0$或$-\dfrac{7}{3}$
D.$0$或$-\dfrac{10}{3}$
答案
D
解析
【分析】
这道题可以利用因式分解法解一元二次方程的思路求解：首先明确若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，因此分两种情况讨论，先求出方程的两个根，再分别代入代数式$x-1$计算，即可得到所有可能的结果，注意不要漏解。
【解析】
已知方程$(x-1)(3x+7)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，分两种情况讨论：
1. 当$x-1=0$时，直接可得$x-1$的值为$0$；
2. 当$3x+7=0$时，先求解$x$：
移项得$3x=-7$，解得$x=-\dfrac{7}{3}$，
将$x=-\dfrac{7}{3}$代入$x-1$得：$x-1=-\dfrac{7}{3}-1=-\dfrac{7}{3}-\dfrac{3}{3}=-\dfrac{10}{3}$。
综上，$x-1$的值为$0$或$-\dfrac{10}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、代数式求值
【点评】
本题易错点是容易只考虑$x-1=0$这一种情况，忽略$3x+7=0$时也满足原方程，需要将此时的$x$值代入$x-1$计算得到另一个结果，做题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这道题可以利用因式分解法解一元二次方程的思路求解：首先明确若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，因此分两种情况讨论，先求出方程的两个根，再分别代入代数式$x-1$计算，即可得到所有可能的结果，注意不要漏解。
【解析】
已知方程$(x-1)(3x+7)=0$，根据“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式为0”，分两种情况讨论：
1. 当$x-1=0$时，直接可得$x-1$的值为$0$；
2. 当$3x+7=0$时，先求解$x$：
移项得$3x=-7$，解得$x=-\dfrac{7}{3}$，
将$x=-\dfrac{7}{3}$代入$x-1$得：$x-1=-\dfrac{7}{3}-1=-\dfrac{7}{3}-\dfrac{3}{3}=-\dfrac{10}{3}$。
综上，$x-1$的值为$0$或$-\dfrac{10}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、代数式求值
【点评】
本题易错点是容易只考虑$x-1=0$这一种情况，忽略$3x+7=0$时也满足原方程，需要将此时的$x$值代入$x-1$计算得到另一个结果，做题时要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
8.在平行四边形ABCD中，AB，BC的长分别等于一元二次方程$x^2 -7x +12=0$的两根之和与两根之积，则对角线AC的长的取值范围是（）
A.$AC＞1$
B.$1＜AC＜5$
C.$5＜AC＜19$
D.$AC＞5$或$＜9$
A.$AC＞1$
B.$1＜AC＜5$
C.$5＜AC＜19$
D.$AC＞5$或$＜9$
答案
C
解析
【分析】
解题思路可分为两步：第一步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出方程的两根之和与两根之积，得到平行四边形邻边AB、BC的长度；第二步，平行四边形的邻边AB、BC与对角线AC可构成△ABC，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，代入数值即可求出AC的取值范围。
【解析】
1. 求平行四边形邻边的长度：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积为$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -7x +12=0$中，$a=1，b=-7，c=12$，因此：
两根之和为$-\frac{-7}{1}=7$，两根之积为$\frac{12}{1}=12$。
由题意得$AB=7，BC=12$。
2. 求对角线AC的取值范围：
在平行四边形ABCD中，AB、BC、AC构成△ABC，根据三角形三边关系可得：
$|AB-BC|＜AC＜AB+BC$
代入$AB=7，BC=12$计算得：
$|7-12|＜AC＜7+12$，即$5＜AC＜19$。
【答案】
C
【知识点】
根与系数的关系，三角形三边关系，平行四边形的性质
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题核心是先通过韦达定理求出平行四边形邻边长度，再结合三角形三边关系推导对角线范围，需要注意三角形三边关系中不能取等号的边界条件。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：第一步，利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别求出方程的两根之和与两根之积，得到平行四边形邻边AB、BC的长度；第二步，平行四边形的邻边AB、BC与对角线AC可构成△ABC，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，代入数值即可求出AC的取值范围。
【解析】
1. 求平行四边形邻边的长度：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积为$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -7x +12=0$中，$a=1，b=-7，c=12$，因此：
两根之和为$-\frac{-7}{1}=7$，两根之积为$\frac{12}{1}=12$。
由题意得$AB=7，BC=12$。
2. 求对角线AC的取值范围：
在平行四边形ABCD中，AB、BC、AC构成△ABC，根据三角形三边关系可得：
$|AB-BC|＜AC＜AB+BC$
代入$AB=7，BC=12$计算得：
$|7-12|＜AC＜7+12$，即$5＜AC＜19$。
【答案】
C
【知识点】
根与系数的关系，三角形三边关系，平行四边形的性质
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题核心是先通过韦达定理求出平行四边形邻边长度，再结合三角形三边关系推导对角线范围，需要注意三角形三边关系中不能取等号的边界条件。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 + (m^2 - 2)x + 2m - 4 = 0$有一个根为$-2$，则$m$的值为（）
A.0或3
B.3
C.$-3$
D.2
A.0或3
B.3
C.$-3$
D.2
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先明确题干隐含条件：题目说明是一元二次方程，因此二次项系数m≠0；2. 根据方程根的定义，若x=-2是方程的根，将x=-2代入原方程，等式成立，可得到关于m的方程；3. 解关于m的方程，再结合m≠0的条件排除不符合要求的解，即可得到m的正确值。
【解析】
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数$m≠0$
将$x=-2$代入原方程$mx^2 + (m^2 - 2)x + 2m - 4 = 0$，得：
$m×(-2)^2 + (m^2 - 2)×(-2) + 2m - 4 = 0$
计算化简：
$4m - 2m^2 + 4 + 2m - 4 = 0$
合并同类项得：
$6m - 2m^2 = 0$
提取公因式因式分解：
$-2m(m - 3) = 0$
解得：$m=0$或$m=3$
结合一元二次方程条件$m≠0$，舍去$m=0$，因此$m=3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程根的定义
3. 因式分解法解方程
【点评】
本题是基础常考题，核心考查对一元二次方程隐含限制条件和根的定义的理解，易错点是忽略二次项系数不为0的要求，误选包含m=0的选项，解题时要注意审题，优先提取题干中的隐含条件再作答。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先明确题干隐含条件：题目说明是一元二次方程，因此二次项系数m≠0；2. 根据方程根的定义，若x=-2是方程的根，将x=-2代入原方程，等式成立，可得到关于m的方程；3. 解关于m的方程，再结合m≠0的条件排除不符合要求的解，即可得到m的正确值。
【解析】
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数$m≠0$
将$x=-2$代入原方程$mx^2 + (m^2 - 2)x + 2m - 4 = 0$，得：
$m×(-2)^2 + (m^2 - 2)×(-2) + 2m - 4 = 0$
计算化简：
$4m - 2m^2 + 4 + 2m - 4 = 0$
合并同类项得：
$6m - 2m^2 = 0$
提取公因式因式分解：
$-2m(m - 3) = 0$
解得：$m=0$或$m=3$
结合一元二次方程条件$m≠0$，舍去$m=0$，因此$m=3$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程根的定义
3. 因式分解法解方程
【点评】
本题是基础常考题，核心考查对一元二次方程隐含限制条件和根的定义的理解，易错点是忽略二次项系数不为0的要求，误选包含m=0的选项，解题时要注意审题，优先提取题干中的隐含条件再作答。
【难度系数】
0.7
10. 用因式分解法解下列方程：
(1)$1 - x^2 = 4(x - 1)$；
(2)$4(x - 1)^2 - 25x^2 = 0$；
(3)$(2x + 1)^2 - 6(2x + 1) + 9 = 0$；
(4)$(x + 3)^2 + 6(x + 3) + 9 = 36$。
(1)$1 - x^2 = 4(x - 1)$；
(2)$4(x - 1)^2 - 25x^2 = 0$；
(3)$(2x + 1)^2 - 6(2x + 1) + 9 = 0$；
(4)$(x + 3)^2 + 6(x + 3) + 9 = 36$。
答案
解：
(1) 移项，得：
$(1-x)(1+x) + 4(1-x) = 0$
因式分解，得：
$(1-x)(x+5) = 0$
于是得 $1-x=0$ 或 $x+5=0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 原方程可变形为：
$[2(x-1)]^2 - (5x)^2 = 0$
因式分解，得：
$[2(x-1)+5x][2(x-1)-5x] = 0$
整理得：
$(7x-2)(-3x-2) = 0$
于是得 $7x-2=0$ 或 $-3x-2=0$，
解得 $x_1=\frac{2}{7}$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
(3) 原方程因式分解，得：
$[(2x+1)-3]^2 = 0$
整理得：
$(2x-2)^2 = 0$
于是得 $2x-2=0$，
解得 $x_1=x_2=1$。
(4) 原方程左边因式分解，得：
$(x+3+3)^2 = 36$
即 $(x+6)^2 - 36 = 0$
因式分解，得：
$(x+6+6)(x+6-6) = 0$
整理得：
$x(x+12) = 0$
于是得 $x=0$ 或 $x+12=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=-12$。
(1) 移项，得：
$(1-x)(1+x) + 4(1-x) = 0$
因式分解，得：
$(1-x)(x+5) = 0$
于是得 $1-x=0$ 或 $x+5=0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 原方程可变形为：
$[2(x-1)]^2 - (5x)^2 = 0$
因式分解，得：
$[2(x-1)+5x][2(x-1)-5x] = 0$
整理得：
$(7x-2)(-3x-2) = 0$
于是得 $7x-2=0$ 或 $-3x-2=0$，
解得 $x_1=\frac{2}{7}$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
(3) 原方程因式分解，得：
$[(2x+1)-3]^2 = 0$
整理得：
$(2x-2)^2 = 0$
于是得 $2x-2=0$，
解得 $x_1=x_2=1$。
(4) 原方程左边因式分解，得：
$(x+3+3)^2 = 36$
即 $(x+6)^2 - 36 = 0$
因式分解，得：
$(x+6+6)(x+6-6) = 0$
整理得：
$x(x+12) = 0$
于是得 $x=0$ 或 $x+12=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=-12$。
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“几个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为一元一次方程求解。各小题具体思考方向：
(1) 左边$1-x^2$可先用平方差公式分解为$(1-x)(1+x)$，再将右边的$4(x-1)$移到左边变形为$+4(1-x)$，提取公因式$(1-x)$即可分解；
(2) 式子是两个平方项的差，符合平方差公式特征，将$4(x-1)^2$变形为$[2(x-1)]^2$，$25x^2$变形为$(5x)^2$，直接用平方差公式分解；
(3) 把$(2x+1)$看成一个整体，式子符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，直接用完全平方公式分解；
(4) 先把左边的$(x+3)^2+6(x+3)+9$看成整体用完全平方公式分解，再移项将36移到左边，再次用平方差公式分解求解。
【解析】
(1) 移项，得：
$(1-x)(1+x) + 4(1-x) = 0$
因式分解，得：
$(1-x)(x+5) = 0$
于是得 $1-x=0$ 或 $x+5=0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 原方程可变形为：
$[2(x-1)]^2 - (5x)^2 = 0$
因式分解，得：
$[2(x-1)+5x][2(x-1)-5x] = 0$
整理得：
$(7x-2)(-3x-2) = 0$
于是得 $7x-2=0$ 或 $-3x-2=0$，
解得 $x_1=\frac{2}{7}$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
(3) 原方程因式分解，得：
$[(2x+1)-3]^2 = 0$
整理得：
$(2x-2)^2 = 0$
于是得 $2x-2=0$，
解得 $x_1=x_2=1$。
(4) 原方程左边因式分解，得：
$(x+3+3)^2 = 36$
即 $(x+6)^2 - 36 = 0$
因式分解，得：
$(x+6+6)(x+6-6) = 0$
整理得：
$x(x+12) = 0$
于是得 $x=0$ 或 $x+12=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=-12$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=-5$；(2)$x_1=\frac{2}{7},x_2=-\frac{2}{3}$；(3)$x_1=x_2=1$；(4)$x_1=0,x_2=-12$
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 平方差公式
3. 完全平方公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，涵盖了提公因式法、公式法分解因式在解方程中的应用，需要熟练掌握乘法公式，同时学会运用整体思想简化运算，能有效巩固一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.7
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程变形为“几个整式的乘积等于0”的形式，再根据“若几个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为一元一次方程求解。各小题具体思考方向：
(1) 左边$1-x^2$可先用平方差公式分解为$(1-x)(1+x)$，再将右边的$4(x-1)$移到左边变形为$+4(1-x)$，提取公因式$(1-x)$即可分解；
(2) 式子是两个平方项的差，符合平方差公式特征，将$4(x-1)^2$变形为$[2(x-1)]^2$，$25x^2$变形为$(5x)^2$，直接用平方差公式分解；
(3) 把$(2x+1)$看成一个整体，式子符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，直接用完全平方公式分解；
(4) 先把左边的$(x+3)^2+6(x+3)+9$看成整体用完全平方公式分解，再移项将36移到左边，再次用平方差公式分解求解。
【解析】
(1) 移项，得：
$(1-x)(1+x) + 4(1-x) = 0$
因式分解，得：
$(1-x)(x+5) = 0$
于是得 $1-x=0$ 或 $x+5=0$，
解得 $x_1=1$，$x_2=-5$。
(2) 原方程可变形为：
$[2(x-1)]^2 - (5x)^2 = 0$
因式分解，得：
$[2(x-1)+5x][2(x-1)-5x] = 0$
整理得：
$(7x-2)(-3x-2) = 0$
于是得 $7x-2=0$ 或 $-3x-2=0$，
解得 $x_1=\frac{2}{7}$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
(3) 原方程因式分解，得：
$[(2x+1)-3]^2 = 0$
整理得：
$(2x-2)^2 = 0$
于是得 $2x-2=0$，
解得 $x_1=x_2=1$。
(4) 原方程左边因式分解，得：
$(x+3+3)^2 = 36$
即 $(x+6)^2 - 36 = 0$
因式分解，得：
$(x+6+6)(x+6-6) = 0$
整理得：
$x(x+12) = 0$
于是得 $x=0$ 或 $x+12=0$，
解得 $x_1=0$，$x_2=-12$。
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=-5$；(2)$x_1=\frac{2}{7},x_2=-\frac{2}{3}$；(3)$x_1=x_2=1$；(4)$x_1=0,x_2=-12$
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 平方差公式
3. 完全平方公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，涵盖了提公因式法、公式法分解因式在解方程中的应用，需要熟练掌握乘法公式，同时学会运用整体思想简化运算，能有效巩固一元二次方程的解法。
【难度系数】
0.7
11. 在解方程$(2x-1)^2=5(2x-1)$时，小睿的解题过程如下：
解:两边同时约去$2x-1$,得$2x-1=5$.(第一步)
移项,合并同类项,得$2x=6$.(第二步)
两边同时除以2,得$x=3$.(第三步)
(1)小睿的解题方法是从第________步开始出现错误的;
(2)请你写出正确的解答过程.
解:两边同时约去$2x-1$,得$2x-1=5$.(第一步)
移项,合并同类项,得$2x=6$.(第二步)
两边同时除以2,得$x=3$.(第三步)
(1)小睿的解题方法是从第________步开始出现错误的;
(2)请你写出正确的解答过程.
答案
(1) 一
(2) 解：移项，得
$(2x-1)^2 - 5(2x-1) = 0$
提取公因式$2x-1$，得
$(2x-1)(2x-1 - 5) = 0$
化简得
$(2x-1)(2x-6) = 0$
因此$2x-1=0$或$2x-6=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
(2) 解：移项，得
$(2x-1)^2 - 5(2x-1) = 0$
提取公因式$2x-1$，得
$(2x-1)(2x-1 - 5) = 0$
化简得
$(2x-1)(2x-6) = 0$
因此$2x-1=0$或$2x-6=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
解析
【分析】
(1)判断错误步骤时，结合等式的性质思考：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立。小睿直接约去含未知数的整式$2x-1$，默认$2x-1≠0$，忽略了$2x-1=0$的可能，会造成漏解，依此可判断错误步骤。
(2)正确解题思路：先将含$(2x-1)$的项全部移到等号左侧，使等号右侧为0，再提取公因式$(2x-1)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部根，避免漏解。
【解析】
(1) 第一步约去$2x-1$时，未考虑$2x-1=0$的情况，违反了等式的性质，因此从第一步开始出现错误。
(2) 正确解答过程：
移项，得
$(2x-1)^2 - 5(2x-1) = 0$
提取公因式$2x-1$，得
$(2x-1)(2x-1 - 5) = 0$
化简得
$(2x-1)(2x-6) = 0$
因此$2x-1=0$或$2x-6=0$，
分别解两个一元一次方程：
当$2x-1=0$时，解得$x_1=\frac{1}{2}$；
当$2x-6=0$时，解得$x_2=3$。
【答案】
(1) 一
(2) 解：移项，得
$(2x-1)^2 - 5(2x-1) = 0$
提取公因式$2x-1$，得
$(2x-1)(2x-1 - 5) = 0$
化简得
$(2x-1)(2x-6) = 0$
因此$2x-1=0$或$2x-6=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质；提取公因式
【点评】
本题是解一元二次方程的基础易错题，核心易错点是不能随意约去含未知数的整式，否则容易丢失根。熟练掌握因式分解法解方程的步骤，先移项使等号右侧为0再分解因式，是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
(1)判断错误步骤时，结合等式的性质思考：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立。小睿直接约去含未知数的整式$2x-1$，默认$2x-1≠0$，忽略了$2x-1=0$的可能，会造成漏解，依此可判断错误步骤。
(2)正确解题思路：先将含$(2x-1)$的项全部移到等号左侧，使等号右侧为0，再提取公因式$(2x-1)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部根，避免漏解。
【解析】
(1) 第一步约去$2x-1$时，未考虑$2x-1=0$的情况，违反了等式的性质，因此从第一步开始出现错误。
(2) 正确解答过程：
移项，得
$(2x-1)^2 - 5(2x-1) = 0$
提取公因式$2x-1$，得
$(2x-1)(2x-1 - 5) = 0$
化简得
$(2x-1)(2x-6) = 0$
因此$2x-1=0$或$2x-6=0$，
分别解两个一元一次方程：
当$2x-1=0$时，解得$x_1=\frac{1}{2}$；
当$2x-6=0$时，解得$x_2=3$。
【答案】
(1) 一
(2) 解：移项，得
$(2x-1)^2 - 5(2x-1) = 0$
提取公因式$2x-1$，得
$(2x-1)(2x-1 - 5) = 0$
化简得
$(2x-1)(2x-6) = 0$
因此$2x-1=0$或$2x-6=0$，
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=3$。
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等式的性质；提取公因式
【点评】
本题是解一元二次方程的基础易错题，核心易错点是不能随意约去含未知数的整式，否则容易丢失根。熟练掌握因式分解法解方程的步骤，先移项使等号右侧为0再分解因式，是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
