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12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2kx + k^2 + k - 2 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)当$k$为正整数时，求方程的根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)当$k$为正整数时，求方程的根.
答案
解：
(1) 由题意，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式Δ＞0。
Δ=(2k)² - 4×1×(k² + k - 2)
=4k² - 4k² -4k +8
=-4k +8
由-4k +8 ＞ 0，解得k ＜ 2。
(2) ∵k为正整数，且k ＜ 2，
∴k=1。
将k=1代入原方程，得：
x² + 2x + 1 + 1 - 2 = 0
整理得x² + 2x = 0
因式分解得x(x + 2) = 0
∴x=0或x+2=0
解得x₁=0，x₂=-2。
(1) 由题意，一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式Δ＞0。
Δ=(2k)² - 4×1×(k² + k - 2)
=4k² - 4k² -4k +8
=-4k +8
由-4k +8 ＞ 0，解得k ＜ 2。
(2) ∵k为正整数，且k ＜ 2，
∴k=1。
将k=1代入原方程，得：
x² + 2x + 1 + 1 - 2 = 0
整理得x² + 2x = 0
因式分解得x(x + 2) = 0
∴x=0或x+2=0
解得x₁=0，x₂=-2。
解析
【分析】
(1)遇到一元二次方程有两个不相等的实数根的问题，首先想到利用根的判别式与根的个数的关系解题：当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。我们先根据方程的系数计算出判别式Δ，再令Δ＞0，解关于k的一元一次不等式，即可得到k的取值范围。
(2)结合(1)中得到的k的取值范围，以及k为正整数的限制条件，先确定k的具体取值，再将k的值代入原方程，整理后用因式分解法求解，即可得到方程的根。
【解析】
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式Δ＞0。
计算判别式：
Δ=(2k)² - 4×1×(k² + k - 2)
=4k² - 4k² -4k +8
=-4k +8
令-4k +8 ＞ 0，移项得-4k ＞ -8，两边同时除以-4，不等号方向改变，解得k ＜ 2。
(2)
∵k为正整数，且k ＜ 2，
∴k=1。
将k=1代入原方程，得：
x² + 2×1×x + 1² + 1 - 2 = 0
整理得x² + 2x = 0
因式分解得x(x + 2) = 0
∴x=0或x+2=0
解得x₁=0，x₂=-2。
【答案】
(1) $ k＜2 $；(2) $ x_1=0 $，$ x_2=-2 $
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，因式分解法解方程
【点评】
本题是基础综合题，考查了一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，以及一元二次方程的求解方法，解题时注意结合题目给出的参数限制条件筛选参数值，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
(1)遇到一元二次方程有两个不相等的实数根的问题，首先想到利用根的判别式与根的个数的关系解题：当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。我们先根据方程的系数计算出判别式Δ，再令Δ＞0，解关于k的一元一次不等式，即可得到k的取值范围。
(2)结合(1)中得到的k的取值范围，以及k为正整数的限制条件，先确定k的具体取值，再将k的值代入原方程，整理后用因式分解法求解，即可得到方程的根。
【解析】
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式Δ＞0。
计算判别式：
Δ=(2k)² - 4×1×(k² + k - 2)
=4k² - 4k² -4k +8
=-4k +8
令-4k +8 ＞ 0，移项得-4k ＞ -8，两边同时除以-4，不等号方向改变，解得k ＜ 2。
(2)
∵k为正整数，且k ＜ 2，
∴k=1。
将k=1代入原方程，得：
x² + 2×1×x + 1² + 1 - 2 = 0
整理得x² + 2x = 0
因式分解得x(x + 2) = 0
∴x=0或x+2=0
解得x₁=0，x₂=-2。
【答案】
(1) $ k＜2 $；(2) $ x_1=0 $，$ x_2=-2 $
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，因式分解法解方程
【点评】
本题是基础综合题，考查了一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，以及一元二次方程的求解方法，解题时注意结合题目给出的参数限制条件筛选参数值，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
13.已知$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5=0$的两个实数根，等腰$△ ABC$的一边长为7，若$x_1,x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的长，求$△ ABC$的周长。
答案
解：
∵ 方程有两个实数根，
∴ Δ = [-2(m+1)]² - 4×1×(m²+5) ≥ 0，
计算得 Δ = 8m - 16 ≥ 0，
解得 m ≥ 2。
分两种情况讨论：
① 当7为等腰△ABC的腰长时，x=7是方程的根，
将x=7代入原方程得：
7² - 2(m+1)×7 + m² + 5 = 0，
整理得 m² -14m +40 = 0，
因式分解得 (m-4)(m-10)=0，
解得 m₁=4，m₂=10。
当m=4时，原方程为x² -10x +21=0，
因式分解得 (x-3)(x-7)=0，
解得 x₁=3，x₂=7，
此时三角形三边长为7、7、3，满足三角形三边关系，周长为7+7+3=17。
当m=10时，原方程为x² -22x +105=0，
因式分解得 (x-7)(x-15)=0，
解得 x₁=7，x₂=15，
此时三角形三边长为7、7、15，7+7＜15，不满足三角形三边关系，舍去。
② 当7为等腰△ABC的底边长时，x₁=x₂，即方程有两个相等的实数根，
∴ Δ=8m-16=0，解得m=2，
此时原方程为x² -6x +9=0，
因式分解得 (x-3)²=0，
解得 x₁=x₂=3，
此时三角形三边长为3、3、7，3+3＜7，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，△ABC的周长为17。
∵ 方程有两个实数根，
∴ Δ = [-2(m+1)]² - 4×1×(m²+5) ≥ 0，
计算得 Δ = 8m - 16 ≥ 0，
解得 m ≥ 2。
分两种情况讨论：
① 当7为等腰△ABC的腰长时，x=7是方程的根，
将x=7代入原方程得：
7² - 2(m+1)×7 + m² + 5 = 0，
整理得 m² -14m +40 = 0，
因式分解得 (m-4)(m-10)=0，
解得 m₁=4，m₂=10。
当m=4时，原方程为x² -10x +21=0，
因式分解得 (x-3)(x-7)=0，
解得 x₁=3，x₂=7，
此时三角形三边长为7、7、3，满足三角形三边关系，周长为7+7+3=17。
当m=10时，原方程为x² -22x +105=0，
因式分解得 (x-7)(x-15)=0，
解得 x₁=7，x₂=15，
此时三角形三边长为7、7、15，7+7＜15，不满足三角形三边关系，舍去。
② 当7为等腰△ABC的底边长时，x₁=x₂，即方程有两个相等的实数根，
∴ Δ=8m-16=0，解得m=2，
此时原方程为x² -6x +9=0，
因式分解得 (x-3)²=0，
解得 x₁=x₂=3，
此时三角形三边长为3、3、7，3+3＜7，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，△ABC的周长为17。
解析
【分析】
本题是一元二次方程与等腰三角形结合的综合题，解题可按以下思路展开：首先根据方程有两个实数根，利用根的判别式求出参数m的取值范围；再结合等腰三角形两边相等的性质分类讨论：①若7为腰长，则7是方程的根，代入方程求出m后解出另一根，验证三边是否满足三角形三边关系，符合要求则计算周长；②若7为底边长，则方程两根相等（即两腰相等），此时判别式为0，求出m后解出方程的根，同样验证三边关系，不符合的情况舍去；最后综合符合条件的结果得到最终周长。
【解析】
∵ 方程有两个实数根，
∴ Δ = [-2(m+1)]² - 4×1×(m²+5) ≥ 0，
计算得 Δ = 8m - 16 ≥ 0，
解得 m ≥ 2。
分两种情况讨论：
① 当7为等腰△ABC的腰长时，x=7是方程的根，
将x=7代入原方程得：
7² - 2(m+1)×7 + m² + 5 = 0，
整理得 m² -14m +40 = 0，
因式分解得 (m-4)(m-10)=0，
解得 m₁=4，m₂=10。
当m=4时，原方程为x² -10x +21=0，
因式分解得 (x-3)(x-7)=0，
解得 x₁=3，x₂=7，
此时三角形三边长为7、7、3，满足三角形三边关系，周长为7+7+3=17。
当m=10时，原方程为x² -22x +105=0，
因式分解得 (x-7)(x-15)=0，
解得 x₁=7，x₂=15，
此时三角形三边长为7、7、15，7+7＜15，不满足三角形三边关系，舍去。
② 当7为等腰△ABC的底边长时，x₁=x₂，即方程有两个相等的实数根，
∴ Δ=8m-16=0，解得m=2，
此时原方程为x² -6x +9=0，
因式分解得 (x-3)²=0，
解得 x₁=x₂=3，
此时三角形三边长为3、3、7，3+3＜7，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，△ABC的周长为17。
【答案】
17
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意两种分类情况都要验证三角形三边关系，避免忽略实际限制条件出现错解。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程与等腰三角形结合的综合题，解题可按以下思路展开：首先根据方程有两个实数根，利用根的判别式求出参数m的取值范围；再结合等腰三角形两边相等的性质分类讨论：①若7为腰长，则7是方程的根，代入方程求出m后解出另一根，验证三边是否满足三角形三边关系，符合要求则计算周长；②若7为底边长，则方程两根相等（即两腰相等），此时判别式为0，求出m后解出方程的根，同样验证三边关系，不符合的情况舍去；最后综合符合条件的结果得到最终周长。
【解析】
∵ 方程有两个实数根，
∴ Δ = [-2(m+1)]² - 4×1×(m²+5) ≥ 0，
计算得 Δ = 8m - 16 ≥ 0，
解得 m ≥ 2。
分两种情况讨论：
① 当7为等腰△ABC的腰长时，x=7是方程的根，
将x=7代入原方程得：
7² - 2(m+1)×7 + m² + 5 = 0，
整理得 m² -14m +40 = 0，
因式分解得 (m-4)(m-10)=0，
解得 m₁=4，m₂=10。
当m=4时，原方程为x² -10x +21=0，
因式分解得 (x-3)(x-7)=0，
解得 x₁=3，x₂=7，
此时三角形三边长为7、7、3，满足三角形三边关系，周长为7+7+3=17。
当m=10时，原方程为x² -22x +105=0，
因式分解得 (x-7)(x-15)=0，
解得 x₁=7，x₂=15，
此时三角形三边长为7、7、15，7+7＜15，不满足三角形三边关系，舍去。
② 当7为等腰△ABC的底边长时，x₁=x₂，即方程有两个相等的实数根，
∴ Δ=8m-16=0，解得m=2，
此时原方程为x² -6x +9=0，
因式分解得 (x-3)²=0，
解得 x₁=x₂=3，
此时三角形三边长为3、3、7，3+3＜7，不满足三角形三边关系，舍去。
综上，△ABC的周长为17。
【答案】
17
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意两种分类情况都要验证三角形三边关系，避免忽略实际限制条件出现错解。
【难度系数】
0.6
14.我国古代数学家赵爽(公元3~4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程的几何解法,他用“拼图”的方法完成了配方.例如:$x^2 + 2x -24 =0$,先将它变形为$x(x+2)=24$,再用四个长为$x+2$、宽为$x$、面积为24的矩形,拼成如图所示的大正方形,利用大正方形的面积等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积可以得到$(x+x+2)^2=4×24 +2^2$,即$(2x+2)^2=100$.
【模仿实践】(1)用“拼图”的方法解方程$x^2 +5x -14=0$.先将方程变形为,再用四个小长方形拼成一个大正方形,每个小长方形的长为,宽为,中间小正方形的面积为,利用图形的面积关系得出配方后的方程为,即.
【深入探究】(2)用“拼图”的方法解方程$2x^2 +5x=3$,写出解题过程.
【模仿实践】(1)用“拼图”的方法解方程$x^2 +5x -14=0$.先将方程变形为,再用四个小长方形拼成一个大正方形,每个小长方形的长为,宽为,中间小正方形的面积为,利用图形的面积关系得出配方后的方程为,即.
【深入探究】(2)用“拼图”的方法解方程$2x^2 +5x=3$,写出解题过程.
答案
解：
(1) $x(x+5)=14$；
$x+5$；
$x$；
$25$（或$5^2$）；
$(x+x+5)^2=4×14+5^2$；
$(2x+5)^2=81$
(2) 先将方程$2x^2+5x=3$两边同除以2，得$x^2+\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$，
变形为$x(x+\frac{5}{2})=\frac{3}{2}$，
用四个长为$x+\frac{5}{2}$、宽为$x$、面积为$\frac{3}{2}$的小长方形拼成大正方形，
大正方形的边长为$x + x + \frac{5}{2}=2x+\frac{5}{2}$，
中间小正方形的边长为$(x+\frac{5}{2})-x=\frac{5}{2}$，面积为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，
由大正方形面积等于四个矩形面积与中间小正方形面积之和，得：
$(2x+\frac{5}{2})^2=4×\frac{3}{2}+(\frac{5}{2})^2$
化简得：$(2x+\frac{5}{2})^2=\frac{49}{4}$，
开平方得：$2x+\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$，
当$2x+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$时，解得$x=\frac{1}{2}$，
当$2x+\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$时，解得$x=-3$，
所以原方程的解为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-3$。
(1) $x(x+5)=14$；
$x+5$；
$x$；
$25$（或$5^2$）；
$(x+x+5)^2=4×14+5^2$；
$(2x+5)^2=81$
(2) 先将方程$2x^2+5x=3$两边同除以2，得$x^2+\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$，
变形为$x(x+\frac{5}{2})=\frac{3}{2}$，
用四个长为$x+\frac{5}{2}$、宽为$x$、面积为$\frac{3}{2}$的小长方形拼成大正方形，
大正方形的边长为$x + x + \frac{5}{2}=2x+\frac{5}{2}$，
中间小正方形的边长为$(x+\frac{5}{2})-x=\frac{5}{2}$，面积为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，
由大正方形面积等于四个矩形面积与中间小正方形面积之和，得：
$(2x+\frac{5}{2})^2=4×\frac{3}{2}+(\frac{5}{2})^2$
化简得：$(2x+\frac{5}{2})^2=\frac{49}{4}$，
开平方得：$2x+\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$，
当$2x+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$时，解得$x=\frac{1}{2}$，
当$2x+\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$时，解得$x=-3$，
所以原方程的解为$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-3$。
解析
【分析】
本题是模仿赵爽拼图法解一元二次方程的题型，解题思路如下：
(1) 参照例题的变形方法，先把一元二次方程移项，将左边提取公因式写成两个一次式乘积的形式，确定长方形的长和宽；中间小正方形的边长为长方形长与宽的差，再根据“大正方形面积=4个长方形面积+中间小正方形面积”的等量关系，列出配方后的方程即可。
(2) 对于二次项系数不为1的一元二次方程，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1，再按照(1)的思路变形，结合面积关系列方程，最后开平方求解即可，注意开平方后有正负两种情况，需分别计算得到方程的两个解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 +5x -14=0$，首先移项得$x^2+5x=14$，左边提取公因式$x$，变形为$x(x+5)=14$；
可知每个小长方形的长为$x+5$，宽为$x$；
中间小正方形的边长为长减宽，即$(x+5)-x=5$，因此面积为$5^2=25$；
大正方形的边长为$x+(x+5)=2x+5$，根据面积关系可得配方后的方程为$(x+x+5)^2=4×14+5^2$，化简后即$(2x+5)^2=81$。
(2) 解方程$2x^2 +5x=3$：
第一步，先将方程两边同时除以2，把二次项系数化为1，得：
$x^2+\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$，
左边提取公因式$x$，变形为$x(x+\frac{5}{2})=\frac{3}{2}$；
第二步，确定图形参数：每个小长方形的长为$x+\frac{5}{2}$、宽为$x$，大正方形的边长为$x + x + \frac{5}{2}=2x+\frac{5}{2}$，中间小正方形的边长为$(x+\frac{5}{2})-x=\frac{5}{2}$，面积为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$；
第三步，根据面积等量关系列方程：
大正方形面积=4个长方形面积+中间小正方形面积，即：
$(2x+\frac{5}{2})^2=4×\frac{3}{2}+(\frac{5}{2})^2$
化简等号右边：$4×\frac{3}{2}+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$，得：
$(2x+\frac{5}{2})^2=\frac{49}{4}$
第四步，开平方求解：
两边开平方得$2x+\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$，
分两种情况计算：
①当$2x+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$时，$2x=\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=1$，解得$x=\frac{1}{2}$；
②当$2x+\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$时，$2x=-\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=-6$，解得$x=-3$。
【答案】
(1) $x(x+5)=14$；$x+5$；$x$；$25$（或$5^2$）；$(x+x+5)^2=4×14+5^2$；$(2x+5)^2=81$
(2) $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、数形结合思想
【点评】
本题结合我国古代数学家的拼图解法，将代数解方程与几何面积计算相结合，既考查了一元二次方程配方法的应用，也能帮助学生直观理解配方的原理，体现了数学中数形结合的巧妙应用。
【难度系数】
0.7
本题是模仿赵爽拼图法解一元二次方程的题型，解题思路如下：
(1) 参照例题的变形方法，先把一元二次方程移项，将左边提取公因式写成两个一次式乘积的形式，确定长方形的长和宽；中间小正方形的边长为长方形长与宽的差，再根据“大正方形面积=4个长方形面积+中间小正方形面积”的等量关系，列出配方后的方程即可。
(2) 对于二次项系数不为1的一元二次方程，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1，再按照(1)的思路变形，结合面积关系列方程，最后开平方求解即可，注意开平方后有正负两种情况，需分别计算得到方程的两个解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 +5x -14=0$，首先移项得$x^2+5x=14$，左边提取公因式$x$，变形为$x(x+5)=14$；
可知每个小长方形的长为$x+5$，宽为$x$；
中间小正方形的边长为长减宽，即$(x+5)-x=5$，因此面积为$5^2=25$；
大正方形的边长为$x+(x+5)=2x+5$，根据面积关系可得配方后的方程为$(x+x+5)^2=4×14+5^2$，化简后即$(2x+5)^2=81$。
(2) 解方程$2x^2 +5x=3$：
第一步，先将方程两边同时除以2，把二次项系数化为1，得：
$x^2+\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}$，
左边提取公因式$x$，变形为$x(x+\frac{5}{2})=\frac{3}{2}$；
第二步，确定图形参数：每个小长方形的长为$x+\frac{5}{2}$、宽为$x$，大正方形的边长为$x + x + \frac{5}{2}=2x+\frac{5}{2}$，中间小正方形的边长为$(x+\frac{5}{2})-x=\frac{5}{2}$，面积为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$；
第三步，根据面积等量关系列方程：
大正方形面积=4个长方形面积+中间小正方形面积，即：
$(2x+\frac{5}{2})^2=4×\frac{3}{2}+(\frac{5}{2})^2$
化简等号右边：$4×\frac{3}{2}+\frac{25}{4}=6+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}$，得：
$(2x+\frac{5}{2})^2=\frac{49}{4}$
第四步，开平方求解：
两边开平方得$2x+\frac{5}{2}=\pm\frac{7}{2}$，
分两种情况计算：
①当$2x+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$时，$2x=\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=1$，解得$x=\frac{1}{2}$；
②当$2x+\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}$时，$2x=-\frac{7}{2}-\frac{5}{2}=-6$，解得$x=-3$。
【答案】
(1) $x(x+5)=14$；$x+5$；$x$；$25$（或$5^2$）；$(x+x+5)^2=4×14+5^2$；$(2x+5)^2=81$
(2) $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、数形结合思想
【点评】
本题结合我国古代数学家的拼图解法，将代数解方程与几何面积计算相结合，既考查了一元二次方程配方法的应用，也能帮助学生直观理解配方的原理，体现了数学中数形结合的巧妙应用。
【难度系数】
0.7
