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1.设α,β是一元二次方程$x^2 + 2x -1 =0$的两个根，则αβ的值是.
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
【分析】
题目要求一元二次方程两个根的乘积，可直接利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需先解方程求出根的具体值。首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两根为$α、β$，则两根之积$αβ=\frac{c}{a}$，接下来对应找出题干方程中$a、c$的取值，代入公式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$α、β$，根据根与系数的关系可得：$αβ=\frac{c}{a}$。
题干给出的一元二次方程为$x^2+2x-1=0$，对比一般形式可知$a=1$，$c=-1$。
将$a、c$的值代入公式得：$αβ=\frac{-1}{1}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是基础题型，考查根与系数关系的直接应用，熟记两根乘积的计算公式即可快速解题，避免了解方程求根的繁琐运算。
【难度系数】
0.9
题目要求一元二次方程两个根的乘积，可直接利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需先解方程求出根的具体值。首先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若其两根为$α、β$，则两根之积$αβ=\frac{c}{a}$，接下来对应找出题干方程中$a、c$的取值，代入公式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$α、β$，根据根与系数的关系可得：$αβ=\frac{c}{a}$。
题干给出的一元二次方程为$x^2+2x-1=0$，对比一般形式可知$a=1$，$c=-1$。
将$a、c$的值代入公式得：$αβ=\frac{-1}{1}=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是基础题型，考查根与系数关系的直接应用，熟记两根乘积的计算公式即可快速解题，避免了解方程求根的繁琐运算。
【难度系数】
0.9
2.已知关于$x$的方程$x^2+px+q=0$的两个根分别为$-1,4$，则$p+q$的值为.
答案
解：
根据一元二次方程根与系数的关系，得
$-1 + 4 = -p$，
$(-1)×4 = q$，
解得 $p=-3$，$q=-4$，
$\therefore p+q=-3+(-4)=-7$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得
$-1 + 4 = -p$，
$(-1)×4 = q$，
解得 $p=-3$，$q=-4$，
$\therefore p+q=-3+(-4)=-7$。
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个根，求参数p与q的和，解题核心是运用一元二次方程根与系数的关系求解参数。首先回忆根与系数的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。对应本题方程$x^2+px+q=0$，可确定$a=1$、$b=p$、$c=q$，将两根-1和4代入关系分别求出p、q，再计算二者的和即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2+px+q=0$的两根为-1和4，可得：
两根之和：$-1 + 4 = -p$，
两根之积：$(-1)×4 = q$，
解得 $p=-3$，$q=-4$，
$\therefore p+q=-3+(-4)=-7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查根与系数关系的直接应用，解题时需注意两根之和与一次项系数的符号对应关系，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的两个根，求参数p与q的和，解题核心是运用一元二次方程根与系数的关系求解参数。首先回忆根与系数的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。对应本题方程$x^2+px+q=0$，可确定$a=1$、$b=p$、$c=q$，将两根-1和4代入关系分别求出p、q，再计算二者的和即可。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2+px+q=0$的两根为-1和4，可得：
两根之和：$-1 + 4 = -p$，
两根之积：$(-1)×4 = q$，
解得 $p=-3$，$q=-4$，
$\therefore p+q=-3+(-4)=-7$。
【答案】
$-7$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查根与系数关系的直接应用，解题时需注意两根之和与一次项系数的符号对应关系，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
3.若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -5x +6=0$的两个根,则$2(x_1 +x_2)$的值是 ()
A.1
B.10
C.−10
D.12
A.1
B.10
C.−10
D.12
答案
B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，有两种解题思路：
思路1（简便解法）：看到求两根之和的倍数，首先回忆一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，不需要求出具体的根，直接代入系数计算两根之和，再乘2即可得到结果。
思路2（常规解法）：如果暂时不记得根与系数的关系，可以先解出原一元二次方程的两个根，再计算两根之和后乘2，也能得到结果。
【解析】
方法一：利用一元二次方程根与系数的关系求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 -5x +6=0$，对应系数$a=1$，$b=-5$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$
因此$2(x_1+x_2)=2×5=10$。
方法二：先解方程求根再计算
解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$
则$x_1+x_2=2+3=5$，$2(x_1+x_2)=2×5=10$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过根与系数的关系快速求解，减少计算量，也可以通过解方程求出根后代入计算，两种方法都能得出正确答案，核心是考查对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，有两种解题思路：
思路1（简便解法）：看到求两根之和的倍数，首先回忆一元二次方程根与系数的关系：对于$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，不需要求出具体的根，直接代入系数计算两根之和，再乘2即可得到结果。
思路2（常规解法）：如果暂时不记得根与系数的关系，可以先解出原一元二次方程的两个根，再计算两根之和后乘2，也能得到结果。
【解析】
方法一：利用一元二次方程根与系数的关系求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 -5x +6=0$，对应系数$a=1$，$b=-5$，代入得：
$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$
因此$2(x_1+x_2)=2×5=10$。
方法二：先解方程求根再计算
解一元二次方程$x^2 -5x +6=0$，因式分解得：
$(x-2)(x-3)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=3$
则$x_1+x_2=2+3=5$，$2(x_1+x_2)=2×5=10$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，既可以通过根与系数的关系快速求解，减少计算量，也可以通过解方程求出根后代入计算，两种方法都能得出正确答案，核心是考查对基础知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.9
4. 下列一元二次方程中有两个互为倒数的实数根的是 （）
A.$2x^2 -3x +1=0$
B.$x^2 -x +1=0$
C.$x^2 +x -1=0$
D.$x^2 -3x +1=0$
A.$2x^2 -3x +1=0$
B.$x^2 -x +1=0$
C.$x^2 +x -1=0$
D.$x^2 -3x +1=0$
答案
D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否有两个互为倒数的实数根，需满足两个核心条件：①方程有两个实数根，即判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$；②两根乘积为1（互为倒数的两数乘积为1）。根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此只需逐一验证每个选项是否同时满足$\Delta≥0$、$\frac{c}{a}=1$即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，设两根为$x_1,x_2$，则判别式$\Delta=b^2-4ac$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
选项A：方程$2x^2-3x+1=0$中，$a=2,b=-3,c=1$，$\Delta=(-3)^2-4×2×1=1≥0$，两根之积$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}≠1$，不符合要求，排除；
选项B：方程$x^2-x+1=0$中，$a=1,b=-1,c=1$，$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，排除；
选项C：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5≥0$，两根之积$\frac{c}{a}=-1≠1$，不符合要求，排除；
选项D：方程$x^2-3x+1=0$中，$a=1,b=-3,c=1$，$\Delta=(-3)^2-4×1×1=5≥0$，两根之积$\frac{c}{a}=1$，即两根互为倒数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，倒数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的基础应用，解题时需注意不要遗漏“方程有实数根”这一前提，避免仅通过两根乘积符合条件就误选无实根的选项。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程是否有两个互为倒数的实数根，需满足两个核心条件：①方程有两个实数根，即判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$；②两根乘积为1（互为倒数的两数乘积为1）。根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，因此只需逐一验证每个选项是否同时满足$\Delta≥0$、$\frac{c}{a}=1$即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，设两根为$x_1,x_2$，则判别式$\Delta=b^2-4ac$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
选项A：方程$2x^2-3x+1=0$中，$a=2,b=-3,c=1$，$\Delta=(-3)^2-4×2×1=1≥0$，两根之积$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}≠1$，不符合要求，排除；
选项B：方程$x^2-x+1=0$中，$a=1,b=-1,c=1$，$\Delta=(-1)^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，排除；
选项C：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5≥0$，两根之积$\frac{c}{a}=-1≠1$，不符合要求，排除；
选项D：方程$x^2-3x+1=0$中，$a=1,b=-3,c=1$，$\Delta=(-3)^2-4×1×1=5≥0$，两根之积$\frac{c}{a}=1$，即两根互为倒数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，倒数的性质
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的基础应用，解题时需注意不要遗漏“方程有实数根”这一前提，避免仅通过两根乘积符合条件就误选无实根的选项。
【难度系数】
0.7
5.已知一元二次方程$x^2 + 4x - 1 = 0$的两根分别为$m$，$n$，则$m + n + mn$的值是
（）
A.$-5$
B.$-3$
C.$3$
D.$5$
（）
A.$-5$
B.$-3$
C.$3$
D.$5$
答案
A
解析
【分析】
题目给出一元二次方程的两根为m、n，要求代数式$m+n+mn$的值，可优先运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：先根据方程确定各项系数，分别求出两根之和$m+n$、两根之积$mn$的值，再将结果代入所求代数式计算即可，解题时需注意各项系数的符号，避免计算出错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$m$、$n$，由根与系数的关系可得：$m+n=-\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 + 4x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=4$，$c=-1$，代入公式得：
$m+n=-\frac{4}{1}=-4$，$mn=\frac{-1}{1}=-1$。
将上述结果代入$m+n+mn$计算：
$m+n+mn=-4+(-1)=-5$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是基础考查题，重点是韦达定理的直接应用，解题核心是准确记忆韦达定理的公式，尤其要注意两根之和的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
题目给出一元二次方程的两根为m、n，要求代数式$m+n+mn$的值，可优先运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解：先根据方程确定各项系数，分别求出两根之和$m+n$、两根之积$mn$的值，再将结果代入所求代数式计算即可，解题时需注意各项系数的符号，避免计算出错。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$m$、$n$，由根与系数的关系可得：$m+n=-\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 + 4x - 1 = 0$中，$a=1$，$b=4$，$c=-1$，代入公式得：
$m+n=-\frac{4}{1}=-4$，$mn=\frac{-1}{1}=-1$。
将上述结果代入$m+n+mn$计算：
$m+n+mn=-4+(-1)=-5$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是基础考查题，重点是韦达定理的直接应用，解题核心是准确记忆韦达定理的公式，尤其要注意两根之和的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
6. 若$x_1,x_2$是一元二次方程$2x^2 - 3x -1=0$的两个根,求下列代数式的值.
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$;
(2)$x_1^2 + x_2^2$;
(3)$(x_1 - x_2)^2$;
(4)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$;
(5)$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$;
(6)$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})$.
(1)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$;
(2)$x_1^2 + x_2^2$;
(3)$(x_1 - x_2)^2$;
(4)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$;
(5)$(x_1 - 2)(x_2 - 2)$;
(6)$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})$.
答案
解：
由一元二次方程根与系数的关系，得
$x_1 + x_2 = \frac{3}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$。
(1)
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3$
(2)
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$
(3)
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$
(4)
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$
(5)
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=\frac{1}{2}$
(6)
$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})=x_1x_2+1+1+\frac{1}{x_1x_2}=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2=-\frac{1}{2}-2+2=-\frac{1}{2}$
由一元二次方程根与系数的关系，得
$x_1 + x_2 = \frac{3}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$。
(1)
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3$
(2)
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$
(3)
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$
(4)
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$
(5)
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=\frac{1}{2}$
(6)
$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})=x_1x_2+1+1+\frac{1}{x_1x_2}=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2=-\frac{1}{2}-2+2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题属于一元二次方程根与系数关系的应用类题型，解题思路如下：首先根据给定的一元二次方程，利用根与系数的关系直接求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，无需解出$x_1$、$x_2$的具体值；再将每个待求的代数式通过通分、展开、套用完全平方公式等方式进行恒等变形，转化为仅包含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；最后将提前求出的两根和、两根积的值代入变形后的式子计算，即可快速得到结果，能避免复杂的求根运算，降低出错概率。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 - 3x -1=0$，可得：
$x_1 + x_2 = \frac{3}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$
(1)
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3$
(2)
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$
(3)
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$
(4)
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$
(5)
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=\frac{1}{2}$
(6)
$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})=x_1x_2+1+1+\frac{1}{x_1x_2}=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2=-\frac{1}{2}-2+2=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$-3$；(2)$\frac{13}{4}$；(3)$\frac{17}{4}$；(4)$-\frac{13}{2}$；(5)$\frac{1}{2}$；(6)$-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 代数式恒等变形；3. 完全平方公式应用
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，重点考察代数式的变形技巧，熟练掌握常见的两根和、两根积相关的变形公式，即可无需计算方程的具体根，快速求解对应代数式的值，是该章节的核心基础题型。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程根与系数关系的应用类题型，解题思路如下：首先根据给定的一元二次方程，利用根与系数的关系直接求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，无需解出$x_1$、$x_2$的具体值；再将每个待求的代数式通过通分、展开、套用完全平方公式等方式进行恒等变形，转化为仅包含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式；最后将提前求出的两根和、两根积的值代入变形后的式子计算，即可快速得到结果，能避免复杂的求根运算，降低出错概率。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2 - 3x -1=0$，可得：
$x_1 + x_2 = \frac{3}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$
(1)
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3$
(2)
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+1=\frac{13}{4}$
(3)
$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\frac{3}{2})^2-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}$
(4)
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{\frac{13}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{13}{2}$
(5)
$(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=-\frac{1}{2}-2×\frac{3}{2}+4=\frac{1}{2}$
(6)
$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})=x_1x_2+1+1+\frac{1}{x_1x_2}=x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2}+2=-\frac{1}{2}-2+2=-\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$-3$；(2)$\frac{13}{4}$；(3)$\frac{17}{4}$；(4)$-\frac{13}{2}$；(5)$\frac{1}{2}$；(6)$-\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系；2. 代数式恒等变形；3. 完全平方公式应用
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，重点考察代数式的变形技巧，熟练掌握常见的两根和、两根积相关的变形公式，即可无需计算方程的具体根，快速求解对应代数式的值，是该章节的核心基础题型。
【难度系数】
0.7
