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8.已知关于x的一元二次方程$(m-2)x^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A.$m＜-3$
B.$m＞3$
C.$m＜3$且$m≠2$
D.$m＞-3$且$m≠2$
A.$m＜-3$
B.$m＞3$
C.$m＜3$且$m≠2$
D.$m＞-3$且$m≠2$
答案
C
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件分析：首先，一元二次方程要求二次项系数不为0，可得到第一个关于m的限制条件；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，代入对应系数求解不等式得到第二个关于m的限制条件，最后取两个条件的公共部分即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^2 -2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-2≠0$，解得$m≠2$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=m-2$，$b=-2$，$c=1$
代入得：$\Delta = (-2)^2 - 4×(m-2)×1 ＞ 0$
计算得：$4 - 4(m-2) ＞ 0$
去括号：$4 -4m +8 ＞0$
合并同类项：$12 -4m ＞0$
移项得：$-4m ＞ -12$
两边同时除以-4，不等号方向改变：$m ＜ 3$
综合两个条件，m的取值范围是$m＜3$且$m≠2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，易错点是容易忽略“一元二次方程的二次项系数不为0”这个隐含条件，解题时要注意结合题干的所有限定条件全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，需结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件分析：首先，一元二次方程要求二次项系数不为0，可得到第一个关于m的限制条件；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，代入对应系数求解不等式得到第二个关于m的限制条件，最后取两个条件的公共部分即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^2 -2x +1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-2≠0$，解得$m≠2$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$，其中$a=m-2$，$b=-2$，$c=1$
代入得：$\Delta = (-2)^2 - 4×(m-2)×1 ＞ 0$
计算得：$4 - 4(m-2) ＞ 0$
去括号：$4 -4m +8 ＞0$
合并同类项：$12 -4m ＞0$
移项得：$-4m ＞ -12$
两边同时除以-4，不等号方向改变：$m ＜ 3$
综合两个条件，m的取值范围是$m＜3$且$m≠2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，易错点是容易忽略“一元二次方程的二次项系数不为0”这个隐含条件，解题时要注意结合题干的所有限定条件全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9.已知关于$x$的方程$(x-3)(x-2)-p^2=0$.
(1)求证:无论$p$取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一根为4,求方程的另一根.
(1)求证:无论$p$取何值时,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有一根为4,求方程的另一根.
答案
(1)证明：
将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 -5x +6 -p^2 = 0$
其中 $a=1$，$b=-5$，$c=6-p^2$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(6-p^2) = 25 - 24 + 4p^2 = 1+4p^2$
∵ 无论$p$取何实数，都有 $p^2≥0$，
∴ $1+4p^2 ≥ 1 ＞ 0$，即 $\Delta＞0$，
∴ 无论$p$取何值时，方程总有两个不相等的实数根。
---
(2)解：
设方程的另一根为$x_1$，
根据一元二次方程根与系数的关系，该方程两根之和为 $-\frac{b}{a}=5$。
已知方程有一根为4，因此：
$x_1 + 4 = 5$
解得 $x_1=1$。
答：方程的另一根为1。
将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 -5x +6 -p^2 = 0$
其中 $a=1$，$b=-5$，$c=6-p^2$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(6-p^2) = 25 - 24 + 4p^2 = 1+4p^2$
∵ 无论$p$取何实数，都有 $p^2≥0$，
∴ $1+4p^2 ≥ 1 ＞ 0$，即 $\Delta＞0$，
∴ 无论$p$取何值时，方程总有两个不相等的实数根。
---
(2)解：
设方程的另一根为$x_1$，
根据一元二次方程根与系数的关系，该方程两根之和为 $-\frac{b}{a}=5$。
已知方程有一根为4，因此：
$x_1 + 4 = 5$
解得 $x_1=1$。
答：方程的另一根为1。
解析
【分析】
(1) 要证明无论p取何值时方程总有两个不相等的实数根，需依据一元二次方程根的判别式的性质：当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式，确定系数$a、b、c$，再计算判别式，结合平方数的非负性证明$\Delta$恒大于0即可。
(2) 求方程的另一根可采用两种思路：一是将已知根$x=4$代入原方程求出p的值，再解方程得到另一根；二是利用根与系数的关系（韦达定理），直接根据两根之和求出另一根，第二种方法无需计算参数p，运算更简便。
【解析】
(1) 证明：
将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 -5x +6 -p^2 = 0$
其中 $a=1$，$b=-5$，$c=6-p^2$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(6-p^2) = 25 - 24 + 4p^2 = 1+4p^2$
∵ 无论p取何实数，都有 $p^2≥0$，
∴ $1+4p^2 ≥ 1 ＞ 0$，即 $\Delta＞0$，
∴ 无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
设方程的另一根为$x_1$，
根据一元二次方程根与系数的关系，该方程两根之和为 $-\frac{b}{a}=5$。
已知方程有一根为4，因此：
$x_1 + 4 = 5$
解得 $x_1=1$。
【答案】
(1) 无论p取何值时方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2) 1
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，第一问考查根的判别式的应用，解题时需先将方程化为一般形式再计算判别式，避免系数取值错误；第二问灵活运用韦达定理可简化运算，无需求解参数即可得到结果。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明无论p取何值时方程总有两个不相等的实数根，需依据一元二次方程根的判别式的性质：当$\Delta=b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。解题时先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式，确定系数$a、b、c$，再计算判别式，结合平方数的非负性证明$\Delta$恒大于0即可。
(2) 求方程的另一根可采用两种思路：一是将已知根$x=4$代入原方程求出p的值，再解方程得到另一根；二是利用根与系数的关系（韦达定理），直接根据两根之和求出另一根，第二种方法无需计算参数p，运算更简便。
【解析】
(1) 证明：
将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 -5x +6 -p^2 = 0$
其中 $a=1$，$b=-5$，$c=6-p^2$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(6-p^2) = 25 - 24 + 4p^2 = 1+4p^2$
∵ 无论p取何实数，都有 $p^2≥0$，
∴ $1+4p^2 ≥ 1 ＞ 0$，即 $\Delta＞0$，
∴ 无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：
设方程的另一根为$x_1$，
根据一元二次方程根与系数的关系，该方程两根之和为 $-\frac{b}{a}=5$。
已知方程有一根为4，因此：
$x_1 + 4 = 5$
解得 $x_1=1$。
【答案】
(1) 无论p取何值时方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2) 1
【知识点】
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，第一问考查根的判别式的应用，解题时需先将方程化为一般形式再计算判别式，避免系数取值错误；第二问灵活运用韦达定理可简化运算，无需求解参数即可得到结果。
【难度系数】
0.8
10.已知关于$x$的一元二次方程$(k^2 -1)x^2 + (2k +1)x +1=0$.
(1)若方程有实数根,求$k$的取值范围;
(2)若方程有两个互为相反数的实数根,求$k$的值,并求此时方程的根.
(1)若方程有实数根,求$k$的取值范围;
(2)若方程有两个互为相反数的实数根,求$k$的值,并求此时方程的根.
答案
解：
(1) ∵ 方程$(k^2 -1)x^2 + (2k +1)x +1=0$是一元二次方程，
∴ $k^2 -1 ≠ 0$，即 $k ≠ \pm1$。
计算根的判别式：
$\Delta=(2k+1)^2 - 4(k^2-1)×1$
$=4k^2+4k+1-4k^2+4$
$=4k+5$
∵ 方程有实数根，
∴ $\Delta ≥ 0$，即 $4k+5≥0$，解得 $k≥ -\frac{5}{4}$。
综上，$k$的取值范围是 $k≥ -\frac{5}{4}$ 且 $k≠\pm1$。
(2) ∵ 方程有两个互为相反数的实数根，
∴ 两根之和为0，由根与系数的关系得：
$-\frac{2k+1}{k^2-1}=0$
∴ $2k+1=0$，解得 $k=-\frac{1}{2}$。
检验：当$k=-\frac{1}{2}$时，$k^2-1=-\frac{3}{4}≠0$，且$\Delta=4×(-\frac{1}{2})+5=3＞0$，符合题意。
将$k=-\frac{1}{2}$代入原方程，得：
$-\frac{3}{4}x^2 +1=0$
整理得 $x^2=\frac{4}{3}$
解得 $x_1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
∴ $k$的值为$-\frac{1}{2}$，此时方程的根为$x_1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(1) ∵ 方程$(k^2 -1)x^2 + (2k +1)x +1=0$是一元二次方程，
∴ $k^2 -1 ≠ 0$，即 $k ≠ \pm1$。
计算根的判别式：
$\Delta=(2k+1)^2 - 4(k^2-1)×1$
$=4k^2+4k+1-4k^2+4$
$=4k+5$
∵ 方程有实数根，
∴ $\Delta ≥ 0$，即 $4k+5≥0$，解得 $k≥ -\frac{5}{4}$。
综上，$k$的取值范围是 $k≥ -\frac{5}{4}$ 且 $k≠\pm1$。
(2) ∵ 方程有两个互为相反数的实数根，
∴ 两根之和为0，由根与系数的关系得：
$-\frac{2k+1}{k^2-1}=0$
∴ $2k+1=0$，解得 $k=-\frac{1}{2}$。
检验：当$k=-\frac{1}{2}$时，$k^2-1=-\frac{3}{4}≠0$，且$\Delta=4×(-\frac{1}{2})+5=3＞0$，符合题意。
将$k=-\frac{1}{2}$代入原方程，得：
$-\frac{3}{4}x^2 +1=0$
整理得 $x^2=\frac{4}{3}$
解得 $x_1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
∴ $k$的值为$-\frac{1}{2}$，此时方程的根为$x_1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
解析
【分析】
(1) 求解方程有实根时k的取值范围，首先题目明确给出是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，保证方程是一元二次方程；其次一元二次方程有实根的充要条件是根的判别式Δ≥0，计算Δ并解不等式，将两个条件的结果取交集即可得到k的取值范围。
(2) 若方程两根互为相反数，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为0，据此列方程求出k的初步值，再代入检验是否满足二次项系数不为0、Δ≥0的条件，确认k值正确后，代入原方程求解即可得到方程的根。
【解析】
(1)
∵ 方程$(k^2 -1)x^2 + (2k +1)x +1=0$是一元二次方程，
∴ $k^2 -1 ≠ 0$，即 $k ≠ \pm1$。
计算根的判别式：
$\Delta=(2k+1)^2 - 4(k^2-1)×1$
$=4k^2+4k+1-4k^2+4$
$=4k+5$
∵ 方程有实数根，
∴ $\Delta ≥ 0$，即 $4k+5≥0$，解得 $k≥ -\frac{5}{4}$。
综上，$k$的取值范围是 $k≥ -\frac{5}{4}$ 且 $k≠\pm1$。
(2)
∵ 方程有两个互为相反数的实数根，
∴ 两根之和为0，由根与系数的关系得：
$-\frac{2k+1}{k^2-1}=0$
∴ $2k+1=0$，解得 $k=-\frac{1}{2}$。
检验：当$k=-\frac{1}{2}$时，$k^2-1=(-\frac{1}{2})^2 -1 = -\frac{3}{4}≠0$，且$\Delta=4×(-\frac{1}{2})+5=3＞0$，符合题意。
将$k=-\frac{1}{2}$代入原方程，得：
$-\frac{3}{4}x^2 +1=0$
整理得 $x^2=\frac{4}{3}$
解得 $x_1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $k≥ -\frac{5}{4}$ 且 $k≠\pm1$；
(2) $k$的值为$-\frac{1}{2}$，此时方程的根为$x_1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查核心概念和性质的应用，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，以及求出参数后未验证是否满足方程有实根的要求，做题时要注意思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
(1) 求解方程有实根时k的取值范围，首先题目明确给出是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，保证方程是一元二次方程；其次一元二次方程有实根的充要条件是根的判别式Δ≥0，计算Δ并解不等式，将两个条件的结果取交集即可得到k的取值范围。
(2) 若方程两根互为相反数，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为0，据此列方程求出k的初步值，再代入检验是否满足二次项系数不为0、Δ≥0的条件，确认k值正确后，代入原方程求解即可得到方程的根。
【解析】
(1)
∵ 方程$(k^2 -1)x^2 + (2k +1)x +1=0$是一元二次方程，
∴ $k^2 -1 ≠ 0$，即 $k ≠ \pm1$。
计算根的判别式：
$\Delta=(2k+1)^2 - 4(k^2-1)×1$
$=4k^2+4k+1-4k^2+4$
$=4k+5$
∵ 方程有实数根，
∴ $\Delta ≥ 0$，即 $4k+5≥0$，解得 $k≥ -\frac{5}{4}$。
综上，$k$的取值范围是 $k≥ -\frac{5}{4}$ 且 $k≠\pm1$。
(2)
∵ 方程有两个互为相反数的实数根，
∴ 两根之和为0，由根与系数的关系得：
$-\frac{2k+1}{k^2-1}=0$
∴ $2k+1=0$，解得 $k=-\frac{1}{2}$。
检验：当$k=-\frac{1}{2}$时，$k^2-1=(-\frac{1}{2})^2 -1 = -\frac{3}{4}≠0$，且$\Delta=4×(-\frac{1}{2})+5=3＞0$，符合题意。
将$k=-\frac{1}{2}$代入原方程，得：
$-\frac{3}{4}x^2 +1=0$
整理得 $x^2=\frac{4}{3}$
解得 $x_1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) $k≥ -\frac{5}{4}$ 且 $k≠\pm1$；
(2) $k$的值为$-\frac{1}{2}$，此时方程的根为$x_1=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，重点考查核心概念和性质的应用，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，以及求出参数后未验证是否满足方程有实根的要求，做题时要注意思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
11.如图,这是一张2026年1月的月历表.在此月历表上用一个正方形框任意圈出4个数(如2,3,9,10).
(1)若圈出的4个数中最小的数为x,则最大的数为(用含x的代数式表示);
(2)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105,求这4个数中最小的数;
(3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗?若能,请直接写出最小的数;若不能,请说明理由.
(1)若圈出的4个数中最小的数为x,则最大的数为(用含x的代数式表示);
(2)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105,求这4个数中最小的数;
(3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗?若能,请直接写出最小的数;若不能,请说明理由.
答案
解：
(1) $x+8$
(2) 根据题意列方程：
$x(x+8)=105$
整理得：$x^2 + 8x - 105 = 0$
其中$a=1$，$b=8$，$c=-105$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4×1×(-105) = 484$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-8\pm22}{2}$
解得$x_1=7$，$x_2=-15$，$x_2=-15$不符合日期实际意义，舍去。
答：这4个数中最小的数为7。
(3) 不能，理由如下：
假设能满足条件，根据题意列方程：
$x(x+8) + [x+(x+1)+(x+7)+(x+8)] = 269$
整理得：$x^2 + 12x - 253 = 0$
其中$a=1$，$b=12$，$c=-253$
判别式$\Delta = 12^2 - 4×1×(-253) = 1156$
$x=\frac{-12\pm\sqrt{1156}}{2}=\frac{-12\pm34}{2}$
解得$x_1=11$，$x_2=-23$，$x_2=-23$不符合日期实际意义，舍去。
由月历排列可知，11位于周日列，其右侧没有相邻的数，无法用正方形框出符合要求的4个数，因此不存在满足条件的4个数，即不能。
(1) $x+8$
(2) 根据题意列方程：
$x(x+8)=105$
整理得：$x^2 + 8x - 105 = 0$
其中$a=1$，$b=8$，$c=-105$
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4×1×(-105) = 484$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-8\pm22}{2}$
解得$x_1=7$，$x_2=-15$，$x_2=-15$不符合日期实际意义，舍去。
答：这4个数中最小的数为7。
(3) 不能，理由如下：
假设能满足条件，根据题意列方程：
$x(x+8) + [x+(x+1)+(x+7)+(x+8)] = 269$
整理得：$x^2 + 12x - 253 = 0$
其中$a=1$，$b=12$，$c=-253$
判别式$\Delta = 12^2 - 4×1×(-253) = 1156$
$x=\frac{-12\pm\sqrt{1156}}{2}=\frac{-12\pm34}{2}$
解得$x_1=11$，$x_2=-23$，$x_2=-23$不符合日期实际意义，舍去。
由月历排列可知，11位于周日列，其右侧没有相邻的数，无法用正方形框出符合要求的4个数，因此不存在满足条件的4个数，即不能。
解析
【分析】
解决这道题首先要掌握月历中数字的排列规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。(1)问中，圈出的2×2四个数里，最小数是x，最大数在x的右下侧，可直接根据规律推导表达式；(2)问利用最大数和最小数的乘积为105列一元二次方程，用公式法求解后舍去不符合日期实际的负根；(3)问先假设能满足条件，分别表示出最大数和最小数的乘积、四个数的和，相加等于269列方程求解，得到正根后还要验证该数在月历中是否能和其他三个数组成2×2的方框，若不能则说明假设不成立。
【解析】
(1) 月历中同一列上下两个数相差7，同一行左右两个数相差1，若最小数为x，则它正下方的数为x+7，x+7右侧的数就是最大数，即$x+7+1=x+8$。
(2) 由题意得最小数为x，最大数为x+8，根据乘积为105列方程：
$x(x+8)=105$
整理得：$x^2 + 8x - 105 = 0$
其中$a=1$，$b=8$，$c=-105$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4×1×(-105) = 484$，
由求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-8\pm22}{2}$，
解得$x_1=7$，$x_2=-15$，
因为日期为正整数，$x_2=-15$不符合实际意义，故舍去。
(3) 不能，理由如下：
假设能满足条件，方框内四个数分别为$x、x+1、x+7、x+8$，
根据题意列方程：$x(x+8) + [x+(x+1)+(x+7)+(x+8)] = 269$
整理得：$x^2 + 12x - 253 = 0$
其中$a=1$，$b=12$，$c=-253$，
判别式$\Delta = 12^2 - 4×1×(-253) = 1156$，
由求根公式得$x=\frac{-12\pm\sqrt{1156}}{2}=\frac{-12\pm34}{2}$，
解得$x_1=11$，$x_2=-23$，舍去不符合实际的负根$x_2=-23$。
观察月历可知，11位于周日所在的列，其右侧没有相邻的日期，无法用正方形框出4个符合要求的数，因此不存在满足条件的4个数，故不能。
【答案】
(1) $x+8$
(2) 7
(3) 不能
【知识点】
月历数字规律，一元二次方程的应用，公式法解方程
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是先找准2×2方框内四个数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际情况检验根的合理性，不仅要满足日期为正，还要符合月历的排列规则，避免漏检出错。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要掌握月历中数字的排列规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7。(1)问中，圈出的2×2四个数里，最小数是x，最大数在x的右下侧，可直接根据规律推导表达式；(2)问利用最大数和最小数的乘积为105列一元二次方程，用公式法求解后舍去不符合日期实际的负根；(3)问先假设能满足条件，分别表示出最大数和最小数的乘积、四个数的和，相加等于269列方程求解，得到正根后还要验证该数在月历中是否能和其他三个数组成2×2的方框，若不能则说明假设不成立。
【解析】
(1) 月历中同一列上下两个数相差7，同一行左右两个数相差1，若最小数为x，则它正下方的数为x+7，x+7右侧的数就是最大数，即$x+7+1=x+8$。
(2) 由题意得最小数为x，最大数为x+8，根据乘积为105列方程：
$x(x+8)=105$
整理得：$x^2 + 8x - 105 = 0$
其中$a=1$，$b=8$，$c=-105$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4×1×(-105) = 484$，
由求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-8\pm22}{2}$，
解得$x_1=7$，$x_2=-15$，
因为日期为正整数，$x_2=-15$不符合实际意义，故舍去。
(3) 不能，理由如下：
假设能满足条件，方框内四个数分别为$x、x+1、x+7、x+8$，
根据题意列方程：$x(x+8) + [x+(x+1)+(x+7)+(x+8)] = 269$
整理得：$x^2 + 12x - 253 = 0$
其中$a=1$，$b=12$，$c=-253$，
判别式$\Delta = 12^2 - 4×1×(-253) = 1156$，
由求根公式得$x=\frac{-12\pm\sqrt{1156}}{2}=\frac{-12\pm34}{2}$，
解得$x_1=11$，$x_2=-23$，舍去不符合实际的负根$x_2=-23$。
观察月历可知，11位于周日所在的列，其右侧没有相邻的日期，无法用正方形框出4个符合要求的数，因此不存在满足条件的4个数，故不能。
【答案】
(1) $x+8$
(2) 7
(3) 不能
【知识点】
月历数字规律，一元二次方程的应用，公式法解方程
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是先找准2×2方框内四个数的数量关系，列方程求解后要注意结合实际情况检验根的合理性，不仅要满足日期为正，还要符合月历的排列规则，避免漏检出错。
【难度系数】
0.6
