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1. 二次函数$y=x^2 -4x +3$的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
答案
解：
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将函数$y=x^2-4x+3$与上述一般形式对应，可得二次项系数是$1$，一次项系数是$-4$，常数项是$3$。
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将函数$y=x^2-4x+3$与上述一般形式对应，可得二次项系数是$1$，一次项系数是$-4$，常数项是$3$。
解析
【分析】
要解答本题，首先需要明确二次函数的一般形式，清楚一般形式中各部分对应的名称和定义，再将题干给出的二次函数解析式与一般形式逐一对应，就能得到对应的系数，对应系数时需要注意保留项前面的符号，避免符号错误。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将函数$y=x^2-4x+3$与上述一般形式对应，可得二次项系数是$1$，一次项系数是$-4$，常数项是$3$。
【答案】
$1$；$-4$；$3$
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 二次函数系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对二次函数基本形式的掌握程度，解题时容易出现的错误是忽略一次项前面的负号，导致一次项系数判断错误。
【难度系数】
0.9
要解答本题，首先需要明确二次函数的一般形式，清楚一般形式中各部分对应的名称和定义，再将题干给出的二次函数解析式与一般形式逐一对应，就能得到对应的系数，对应系数时需要注意保留项前面的符号，避免符号错误。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将函数$y=x^2-4x+3$与上述一般形式对应，可得二次项系数是$1$，一次项系数是$-4$，常数项是$3$。
【答案】
$1$；$-4$；$3$
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 二次函数系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对二次函数基本形式的掌握程度，解题时容易出现的错误是忽略一次项前面的负号，导致一次项系数判断错误。
【难度系数】
0.9
2.把二次函数$y=(x+1)(x-3)$转化成$y=ax^2+bx+c$的形式是，其二次项系数是，一次项系数是，常数项是.
答案
解：
将等式右边展开并合并同类项：
$\begin{aligned}y&=(x+1)(x-3)\\&=x^2 - 3x + x - 3\\&=x^2 - 2x - 3\end{aligned}$
转化成$y=ax^2+bx+c$的形式是$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，其二次项系数是$\boldsymbol{1}$，一次项系数是$\boldsymbol{-2}$，常数项是$\boldsymbol{-3}$。
将等式右边展开并合并同类项：
$\begin{aligned}y&=(x+1)(x-3)\\&=x^2 - 3x + x - 3\\&=x^2 - 2x - 3\end{aligned}$
转化成$y=ax^2+bx+c$的形式是$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$，其二次项系数是$\boldsymbol{1}$，一次项系数是$\boldsymbol{-2}$，常数项是$\boldsymbol{-3}$。
解析
【分析】
要将交点形式的二次函数转化为一般式$y=ax^2+bx+c$，首先需要利用多项式乘多项式的法则将右侧乘积展开，再合并同类项得到标准的一般式，最后根据一般式的定义，分别对应找出二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意系数要包含本身的符号。
【解析】
先对等式右侧展开并合并同类项：
$\begin{aligned}y&=(x+1)(x-3)\\&=x^2 - 3x + x - 3\\&=x^2 - 2x - 3\end{aligned}$
根据二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$的定义可得：
二次项系数为$x^2$项的系数1，一次项系数为$x$项的系数-2，常数项为不含未知数的项-3。
【答案】
$y=x^2-2x-3$；$1$；$-2$；$-3$
【知识点】
多项式乘多项式运算；合并同类项；二次函数的一般式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数不同形式的转化以及一般式各部分的定义，熟练掌握整式乘法运算即可轻松解答，要注意确定各项系数时不要遗漏符号。
【难度系数】
0.9
要将交点形式的二次函数转化为一般式$y=ax^2+bx+c$，首先需要利用多项式乘多项式的法则将右侧乘积展开，再合并同类项得到标准的一般式，最后根据一般式的定义，分别对应找出二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意系数要包含本身的符号。
【解析】
先对等式右侧展开并合并同类项：
$\begin{aligned}y&=(x+1)(x-3)\\&=x^2 - 3x + x - 3\\&=x^2 - 2x - 3\end{aligned}$
根据二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$的定义可得：
二次项系数为$x^2$项的系数1，一次项系数为$x$项的系数-2，常数项为不含未知数的项-3。
【答案】
$y=x^2-2x-3$；$1$；$-2$；$-3$
【知识点】
多项式乘多项式运算；合并同类项；二次函数的一般式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查二次函数不同形式的转化以及一般式各部分的定义，熟练掌握整式乘法运算即可轻松解答，要注意确定各项系数时不要遗漏符号。
【难度系数】
0.9
3. 下列函数中，y是x的二次函数的是 （）
A.$y=x+1$
B.$y=\frac{1}{x}-x$
C.$y=-2x^2+3$
D.$y=ax^2+1(a$为常数$)$
A.$y=x+1$
B.$y=\frac{1}{x}-x$
C.$y=-2x^2+3$
D.$y=ax^2+1(a$为常数$)$
答案
C
解析
【分析】
要解这道题，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是关于x的整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项的系数不为0。接下来我们带着这三个标准逐一判断每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$y=x+1$中x的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数的定义，排除；
B选项：$y=\frac{1}{x}-x$中含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式函数，不符合二次函数的要求，排除；
C选项：$y=-2x^2+3$满足是整式函数、x的最高次数为2、二次项系数$-2≠0$三个条件，符合二次函数的定义；
D选项：$y=ax^2+1$中没有说明常数$a≠0$，若$a=0$，函数变为$y=1$，属于常数函数，不一定是二次函数，排除。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握二次函数的判定条件，尤其要注意不要忽略二次项系数不为0、表达式必须为整式这两个易漏的判定要点，避免错选。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是关于x的整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项的系数不为0。接下来我们带着这三个标准逐一判断每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$y=x+1$中x的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数的定义，排除；
B选项：$y=\frac{1}{x}-x$中含有分式$\frac{1}{x}$，不是整式函数，不符合二次函数的要求，排除；
C选项：$y=-2x^2+3$满足是整式函数、x的最高次数为2、二次项系数$-2≠0$三个条件，符合二次函数的定义；
D选项：$y=ax^2+1$中没有说明常数$a≠0$，若$a=0$，函数变为$y=1$，属于常数函数，不一定是二次函数，排除。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握二次函数的判定条件，尤其要注意不要忽略二次项系数不为0、表达式必须为整式这两个易漏的判定要点，避免错选。
【难度系数】
0.8
4.已知关于x的函数$y=(a-2)x^2 - 3x + 1$是二次函数，则a的取值范围是（）
A.$a≠2$
B.$a=2$
C.$a＜2$
D.$a＞2$
A.$a≠2$
B.$a=2$
C.$a＜2$
D.$a＞2$
答案
A
解析
【分析】
要解决本题需紧扣二次函数的定义判断：二次函数的核心特征是含自变量的最高次数为2，且二次项的系数不能为0。因此解题时只需找到给定函数的二次项系数，令其不等于0，解对应的不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（A、B、C为常数，且$A≠0$）的函数为二次函数，要求二次项系数不为0。
在函数$y=(a-2)x^2 - 3x + 1$中，二次项系数为$a-2$，
因此需满足条件：$a-2≠0$，
解得：$a≠2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数定义中二次项系数不为0的限制条件，避免忽略该要求导致错选。
【难度系数】
0.9
要解决本题需紧扣二次函数的定义判断：二次函数的核心特征是含自变量的最高次数为2，且二次项的系数不能为0。因此解题时只需找到给定函数的二次项系数，令其不等于0，解对应的不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（A、B、C为常数，且$A≠0$）的函数为二次函数，要求二次项系数不为0。
在函数$y=(a-2)x^2 - 3x + 1$中，二次项系数为$a-2$，
因此需满足条件：$a-2≠0$，
解得：$a≠2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数定义中二次项系数不为0的限制条件，避免忽略该要求导致错选。
【难度系数】
0.9
5.已知二次函数$y=x^2 -2x -3$.
(1)当$x=2$时,求$y$的值;
(2)当$y=0$时,求$x$的值.
(1)当$x=2$时,求$y$的值;
(2)当$y=0$时,求$x$的值.
答案
解：
(1) 把$x=2$代入$y=x^2-2x-3$，得
$y=2^2 - 2×2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$。
(2) 当$y=0$时，得方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
即$x-3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
(1) 把$x=2$代入$y=x^2-2x-3$，得
$y=2^2 - 2×2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$。
(2) 当$y=0$时，得方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
即$x-3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
解析
【分析】
本题包含两小问，解题思路清晰：(1)问是已知自变量x的取值求对应的函数值，只需将x=2直接代入二次函数解析式，按有理数运算法则计算即可得到y的值；(2)问是已知函数值y的取值求对应的自变量x，将y=0代入解析式可得到关于x的一元二次方程，观察方程左边的二次三项式可因式分解，用因式分解法求解方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 把$x=2$代入$y=x^2-2x-3$，得
$y=2^2 - 2×2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$
(2) 当$y=0$时，得方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
即$x-3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$
【答案】
(1) $y=-3$；(2) $x_1=3$，$x_2=-1$
【知识点】
二次函数求值，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题，考查自变量与函数值的对应关系，计算时注意运算顺序和符号，解一元二次方程时注意不要漏解，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
本题包含两小问，解题思路清晰：(1)问是已知自变量x的取值求对应的函数值，只需将x=2直接代入二次函数解析式，按有理数运算法则计算即可得到y的值；(2)问是已知函数值y的取值求对应的自变量x，将y=0代入解析式可得到关于x的一元二次方程，观察方程左边的二次三项式可因式分解，用因式分解法求解方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 把$x=2$代入$y=x^2-2x-3$，得
$y=2^2 - 2×2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$
(2) 当$y=0$时，得方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
即$x-3=0$或$x+1=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$
【答案】
(1) $y=-3$；(2) $x_1=3$，$x_2=-1$
【知识点】
二次函数求值，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础题，考查自变量与函数值的对应关系，计算时注意运算顺序和符号，解一元二次方程时注意不要漏解，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.9
6.将一根长8 m的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形的一边长为x m，面积为y m²，
则y关于x的函数解析式为.
则y关于x的函数解析式为.
答案
解：
∵ 矩形周长为8 m，一边长为$x$ m，
∴ 相邻的另一边长为 $\frac{8}{2}-x=(4-x)$ m。
由矩形面积公式得：
$y=x(4-x)=-x^2+4x$，
且边长需满足$x＞0$，$4-x＞0$，即$0＜x＜4$。
最终函数解析式为 $\boldsymbol{y=-x^2+4x\ (0＜x＜4)}$。
∵ 矩形周长为8 m，一边长为$x$ m，
∴ 相邻的另一边长为 $\frac{8}{2}-x=(4-x)$ m。
由矩形面积公式得：
$y=x(4-x)=-x^2+4x$，
且边长需满足$x＞0$，$4-x＞0$，即$0＜x＜4$。
最终函数解析式为 $\boldsymbol{y=-x^2+4x\ (0＜x＜4)}$。
解析
【分析】
解题时首先明确矩形的周长固定为8m，已知一边长为x m，我们可以先利用矩形周长公式求出相邻边的长度；再根据矩形面积=长×宽的公式，将两边长代入就能得到面积y与x的关系式；最后还要结合边长为正数的实际意义，确定自变量x的取值范围，就能得到完整的函数解析式。
【解析】
∵ 矩形的周长为8 m，一边长为x m，
∴ 相邻的另一边长为 $\frac{8}{2}-x=(4-x)$ m。
根据矩形面积公式可得：
$y=x(4-x)=-x^2+4x$，
结合边长为正的实际要求，需满足$x＞0$且$4-x＞0$，即$0＜x＜4$。
【答案】
$y=-x^2+4x\ (0＜x＜4)$
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 矩形的周长与面积计算
3. 函数自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数结合几何图形的基础题型，解题核心是先用周长公式表示出矩形未知的边长，再结合面积公式列函数式，需特别注意实际问题中自变量的取值范围要符合几何意义，避免出现无意义的边长取值。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确矩形的周长固定为8m，已知一边长为x m，我们可以先利用矩形周长公式求出相邻边的长度；再根据矩形面积=长×宽的公式，将两边长代入就能得到面积y与x的关系式；最后还要结合边长为正数的实际意义，确定自变量x的取值范围，就能得到完整的函数解析式。
【解析】
∵ 矩形的周长为8 m，一边长为x m，
∴ 相邻的另一边长为 $\frac{8}{2}-x=(4-x)$ m。
根据矩形面积公式可得：
$y=x(4-x)=-x^2+4x$，
结合边长为正的实际要求，需满足$x＞0$且$4-x＞0$，即$0＜x＜4$。
【答案】
$y=-x^2+4x\ (0＜x＜4)$
【知识点】
1. 二次函数的实际应用
2. 矩形的周长与面积计算
3. 函数自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数结合几何图形的基础题型，解题核心是先用周长公式表示出矩形未知的边长，再结合面积公式列函数式，需特别注意实际问题中自变量的取值范围要符合几何意义，避免出现无意义的边长取值。
【难度系数】
0.8
7.一个圆柱的高等于底面直径，则它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式为。
答案
解：
由题意，圆柱底面半径为$r$，则底面直径为$2r$，可得圆柱的高$h=2r$。
圆柱的表面积为两个底面圆的面积与侧面积之和：
两个底面积之和为$2π r^2$，
侧面积为底面周长乘高，即$2π r · 2r = 4π r^2$，
因此表面积$S = 2π r^2 + 4π r^2 = 6π r^2$，其中$r＞0$。
最终函数关系式为 $\boldsymbol{S=6π r^2\ (r＞0)}$。
由题意，圆柱底面半径为$r$，则底面直径为$2r$，可得圆柱的高$h=2r$。
圆柱的表面积为两个底面圆的面积与侧面积之和：
两个底面积之和为$2π r^2$，
侧面积为底面周长乘高，即$2π r · 2r = 4π r^2$，
因此表面积$S = 2π r^2 + 4π r^2 = 6π r^2$，其中$r＞0$。
最终函数关系式为 $\boldsymbol{S=6π r^2\ (r＞0)}$。
解析
【分析】
解题时首先要明确圆柱表面积的构成：圆柱表面积等于2个底面圆的面积加上侧面积；再结合题目给出的“高等于底面直径”的条件，将高用底面半径r表示；随后分别把底面积、侧面积转化为含r的代数式，相加整理即可得到S与r的函数关系式，最后要注意半径为正数，需标注自变量的取值范围。
【解析】
已知圆柱底面半径为$r$，则底面直径为$2r$，由题意可得圆柱的高$h=2r$。
圆柱表面积由两个底面圆的面积和侧面积两部分组成：
1. 两个底面圆的面积之和：$2×π r^2=2π r^2$
2. 圆柱侧面积=底面周长×高，底面周长为$2π r$，因此侧面积为$2π r · 2r = 4π r^2$
因此总表面积$S=2π r^2 + 4π r^2 = 6π r^2$，结合实际意义，底面半径$r＞0$。
【答案】
$\boldsymbol{S=6π r^2\ (r＞0)}$
【知识点】
圆柱表面积计算；列函数解析式；二次函数的概念
【点评】
本题考查圆柱表面积公式的应用与函数关系式的列写，解题关键是理清各几何量之间的数量关系，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免漏写取值范围出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确圆柱表面积的构成：圆柱表面积等于2个底面圆的面积加上侧面积；再结合题目给出的“高等于底面直径”的条件，将高用底面半径r表示；随后分别把底面积、侧面积转化为含r的代数式，相加整理即可得到S与r的函数关系式，最后要注意半径为正数，需标注自变量的取值范围。
【解析】
已知圆柱底面半径为$r$，则底面直径为$2r$，由题意可得圆柱的高$h=2r$。
圆柱表面积由两个底面圆的面积和侧面积两部分组成：
1. 两个底面圆的面积之和：$2×π r^2=2π r^2$
2. 圆柱侧面积=底面周长×高，底面周长为$2π r$，因此侧面积为$2π r · 2r = 4π r^2$
因此总表面积$S=2π r^2 + 4π r^2 = 6π r^2$，结合实际意义，底面半径$r＞0$。
【答案】
$\boldsymbol{S=6π r^2\ (r＞0)}$
【知识点】
圆柱表面积计算；列函数解析式；二次函数的概念
【点评】
本题考查圆柱表面积公式的应用与函数关系式的列写，解题关键是理清各几何量之间的数量关系，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免漏写取值范围出错。
【难度系数】
0.8
