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8.(新课标·模型观念)某厂今年一月份新产品的研发资金为50万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(万元)关于x的函数关系式为.
答案
解：
一月份研发资金为50万元，
二月份研发资金为$50(1+x)$万元，
三月份研发资金在二月份的基础上增长率为$x$，因此：
$\begin{aligned}y&=50(1+x)·(1+x)\\&=50(1+x)^2\\&=50x^2+100x+50\end{aligned}$
最终函数关系式为$\boldsymbol{y=50x^2+100x+50}$（或$y=50(1+x)^2$）。
一月份研发资金为50万元，
二月份研发资金为$50(1+x)$万元，
三月份研发资金在二月份的基础上增长率为$x$，因此：
$\begin{aligned}y&=50(1+x)·(1+x)\\&=50(1+x)^2\\&=50x^2+100x+50\end{aligned}$
最终函数关系式为$\boldsymbol{y=50x^2+100x+50}$（或$y=50(1+x)^2$）。
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的实际应用问题，解题核心是明确增长率问题的计算逻辑：当月资金=上月资金×(1+月增长率)。我们可以按时间顺序分步推导：先根据一月份的研发资金求出二月份的资金，再以二月份的资金为基础计算三月份的资金，即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
已知一月份新产品研发资金为50万元，每月资金增长率均为x：
1. 二月份研发资金是在一月份基础上增长x，因此二月份资金为$50(1+x)$万元；
2. 三月份研发资金在二月份基础上仍按增长率x增长，因此三月份资金：
$\begin{aligned}y&=50(1+x)·(1+x)\\&=50(1+x)^2\end{aligned}$
展开后也可整理为$y=50x^2+100x+50$。
【答案】
$y=50(1+x)^2$（或$y=50x^2+100x+50$）
【知识点】
1. 增长率计算 2. 列二次函数解析式
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，重点考查增长率问题的等量关系，只需按照时间顺序逐步推导各阶段的量即可得出结果，解题时注意连续增长n次时，对应乘$(1+x)$的n次方，避免写错增长次数。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的实际应用问题，解题核心是明确增长率问题的计算逻辑：当月资金=上月资金×(1+月增长率)。我们可以按时间顺序分步推导：先根据一月份的研发资金求出二月份的资金，再以二月份的资金为基础计算三月份的资金，即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
已知一月份新产品研发资金为50万元，每月资金增长率均为x：
1. 二月份研发资金是在一月份基础上增长x，因此二月份资金为$50(1+x)$万元；
2. 三月份研发资金在二月份基础上仍按增长率x增长，因此三月份资金：
$\begin{aligned}y&=50(1+x)·(1+x)\\&=50(1+x)^2\end{aligned}$
展开后也可整理为$y=50x^2+100x+50$。
【答案】
$y=50(1+x)^2$（或$y=50x^2+100x+50$）
【知识点】
1. 增长率计算 2. 列二次函数解析式
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，重点考查增长率问题的等量关系，只需按照时间顺序逐步推导各阶段的量即可得出结果，解题时注意连续增长n次时，对应乘$(1+x)$的n次方，避免写错增长次数。
【难度系数】
0.8
9. 一矩形绿地的长和宽分别为30 m和20 m，如果长和宽各增加了x m，则扩充后绿地的面积 y（m²）与x之间的函数关系式为。
答案
解：
由题意可知，扩充后绿地的长为$(30+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20+x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得：
$\begin{aligned}y&=(30+x)(20+x)\\&=x^2+50x+600\end{aligned}$
自变量$x$的取值范围是$x\ge0$。
最终函数关系式为 $\boldsymbol{y=x^2+50x+600\ (x\ge0)}$。
由题意可知，扩充后绿地的长为$(30+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20+x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得：
$\begin{aligned}y&=(30+x)(20+x)\\&=x^2+50x+600\end{aligned}$
自变量$x$的取值范围是$x\ge0$。
最终函数关系式为 $\boldsymbol{y=x^2+50x+600\ (x\ge0)}$。
解析
【分析】
要得到扩充后绿地面积y与x的函数关系式，可按以下思路推导：首先回忆矩形面积公式为“面积=长×宽”；其次确定扩充后矩形的长和宽：原长为30m，增加x m后长为$(30+x)\ \mathrm{m}$，原宽为20m，增加x m后宽为$(20+x)\ \mathrm{m}$；再将扩充后的长、宽代入面积公式，展开整理即可得到函数表达式；最后结合实际意义，x是增加的长度，不能为负数，因此需补充自变量x的取值范围。
【解析】
由题意可知，扩充后绿地的长为$(30+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20+x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得：
$\begin{aligned}y&=(30+x)(20+x)\\&=x^2+50x+600\end{aligned}$
结合实际意义，增加的长度不能为负，因此自变量$x$的取值范围是$x\ge0$。
【答案】
$y=x^2+50x+600\ (x\ge0)$
【知识点】
列二次函数关系式；矩形面积计算；自变量取值范围确定
【点评】
本题是基础应用题，核心考查结合几何图形实际场景列函数关系式的能力，解题关键是准确表示出变化后的矩形边长，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.8
要得到扩充后绿地面积y与x的函数关系式，可按以下思路推导：首先回忆矩形面积公式为“面积=长×宽”；其次确定扩充后矩形的长和宽：原长为30m，增加x m后长为$(30+x)\ \mathrm{m}$，原宽为20m，增加x m后宽为$(20+x)\ \mathrm{m}$；再将扩充后的长、宽代入面积公式，展开整理即可得到函数表达式；最后结合实际意义，x是增加的长度，不能为负数，因此需补充自变量x的取值范围。
【解析】
由题意可知，扩充后绿地的长为$(30+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20+x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，得：
$\begin{aligned}y&=(30+x)(20+x)\\&=x^2+50x+600\end{aligned}$
结合实际意义，增加的长度不能为负，因此自变量$x$的取值范围是$x\ge0$。
【答案】
$y=x^2+50x+600\ (x\ge0)$
【知识点】
列二次函数关系式；矩形面积计算；自变量取值范围确定
【点评】
本题是基础应用题，核心考查结合几何图形实际场景列函数关系式的能力，解题关键是准确表示出变化后的矩形边长，同时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.8
10.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100−x)件，设利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当利润为1 000元时，求x的值.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当利润为1 000元时，求x的值.
答案
解：
(1) 每件商品的利润为$(x-30)$元，总销售量为$(100-x)$件，根据总利润=单件利润×销售量，得：
$y=(x-30)(100-x)$
整理得：
$y=-x^2+130x-3000$
由题意可知售价高于进价且销售量为正，因此$30＜x＜100$，
$y$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=-x^2+130x-3000\ (30＜x＜100)}$。
(2) 令$y=1000$，代入函数关系式得：
$-x^2+130x-3000=1000$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2-130x+4000=0$
因式分解得：
$(x-50)(x-80)=0$
解得$x_1=50$，$x_2=80$，两个值均满足$30＜x＜100$，符合题意。
答：当利润为1000元时，$x$的值为50或80。
(1) 每件商品的利润为$(x-30)$元，总销售量为$(100-x)$件，根据总利润=单件利润×销售量，得：
$y=(x-30)(100-x)$
整理得：
$y=-x^2+130x-3000$
由题意可知售价高于进价且销售量为正，因此$30＜x＜100$，
$y$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=-x^2+130x-3000\ (30＜x＜100)}$。
(2) 令$y=1000$，代入函数关系式得：
$-x^2+130x-3000=1000$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2-130x+4000=0$
因式分解得：
$(x-50)(x-80)=0$
解得$x_1=50$，$x_2=80$，两个值均满足$30＜x＜100$，符合题意。
答：当利润为1000元时，$x$的值为50或80。
解析
【分析】
（1）求解第一问首先要明确销售问题的核心数量关系：总利润=单件商品利润×销售量。其中单件利润为售价减去进价，即$(x-30)$元，销售量题目直接给出为$(100-x)$件，代入公式整理即可得到函数关系式；同时要结合实际意义确定x的取值范围：售价需高于进价才能盈利（$x＞30$），销售量不能为负数（$100-x＞0$即$x＜100$）。
（2）求解第二问时，已知利润为1000元即$y=1000$，将其代入第一问得到的函数关系式，即可得到关于x的一元二次方程，求解后验证解是否在自变量的取值范围内，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
(1) 每件商品的利润为$(x-30)$元，总销售量为$(100-x)$件，根据总利润=单件利润×销售量，得：
$y=(x-30)(100-x)$
整理得：
$y=-x^2+130x-3000$
结合实际意义，售价需高于进价且销售量为正，因此$30＜x＜100$，
所以$y$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=-x^2+130x-3000\ (30＜x＜100)}$。
(2) 令$y=1000$，代入上述函数关系式得：
$-x^2+130x-3000=1000$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2-130x+4000=0$
因式分解得：
$(x-50)(x-80)=0$
解得$x_1=50$，$x_2=80$，两个值均满足$30＜x＜100$，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x^2+130x-3000\ (30＜x＜100)}$
(2) $x$的值为50或80
【知识点】
销售利润计算，二次函数关系式建立，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际销售场景出题，既考查了利用数量关系建立函数关系式的能力，又考查了一元二次方程的解法，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免得出不符合实际的结果。
【难度系数】
0.8
（1）求解第一问首先要明确销售问题的核心数量关系：总利润=单件商品利润×销售量。其中单件利润为售价减去进价，即$(x-30)$元，销售量题目直接给出为$(100-x)$件，代入公式整理即可得到函数关系式；同时要结合实际意义确定x的取值范围：售价需高于进价才能盈利（$x＞30$），销售量不能为负数（$100-x＞0$即$x＜100$）。
（2）求解第二问时，已知利润为1000元即$y=1000$，将其代入第一问得到的函数关系式，即可得到关于x的一元二次方程，求解后验证解是否在自变量的取值范围内，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
(1) 每件商品的利润为$(x-30)$元，总销售量为$(100-x)$件，根据总利润=单件利润×销售量，得：
$y=(x-30)(100-x)$
整理得：
$y=-x^2+130x-3000$
结合实际意义，售价需高于进价且销售量为正，因此$30＜x＜100$，
所以$y$与$x$之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=-x^2+130x-3000\ (30＜x＜100)}$。
(2) 令$y=1000$，代入上述函数关系式得：
$-x^2+130x-3000=1000$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2-130x+4000=0$
因式分解得：
$(x-50)(x-80)=0$
解得$x_1=50$，$x_2=80$，两个值均满足$30＜x＜100$，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x^2+130x-3000\ (30＜x＜100)}$
(2) $x$的值为50或80
【知识点】
销售利润计算，二次函数关系式建立，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际销售场景出题，既考查了利用数量关系建立函数关系式的能力，又考查了一元二次方程的解法，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，避免得出不符合实际的结果。
【难度系数】
0.8
11.(概念辨析)若关于$x$的函数$y=(m-1)x^{m^2+1}+3$是二次函数，则$m$的值是。
答案
解：
根据二次函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 + 1 = 2$，解得$m^2=1$，即$m=\pm1$。
由$m - 1 ≠ 0$，得$m ≠ 1$。
综上，$m=-1$。
根据二次函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
由$m^2 + 1 = 2$，解得$m^2=1$，即$m=\pm1$。
由$m - 1 ≠ 0$，得$m ≠ 1$。
综上，$m=-1$。
解析
【分析】
要确定m的取值，需紧扣二次函数的定义思考：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则最高次项会消失，不符合二次函数的要求）。我们先根据这两个条件分别列出关于m的方程和不等式，再分别求解，最后取两个结果的公共解即可得到正确的m值。
【解析】
根据二次函数的定义，可列关系式：
$\begin{cases}m^2 + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
先求解方程$m^2 + 1 = 2$：
移项得$m^2=2-1=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
再求解不等式$m - 1 ≠ 0$：
移项得$m ≠ 1$。
结合两个结果，排除不符合条件的$m=1$，最终得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式取值
【点评】
本题是二次函数概念的典型基础辨析题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=\pm1$的错误结果，解题时要牢记函数定义的所有约束条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需紧扣二次函数的定义思考：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则最高次项会消失，不符合二次函数的要求）。我们先根据这两个条件分别列出关于m的方程和不等式，再分别求解，最后取两个结果的公共解即可得到正确的m值。
【解析】
根据二次函数的定义，可列关系式：
$\begin{cases}m^2 + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
先求解方程$m^2 + 1 = 2$：
移项得$m^2=2-1=1$，解得$m=1$或$m=-1$。
再求解不等式$m - 1 ≠ 0$：
移项得$m ≠ 1$。
结合两个结果，排除不符合条件的$m=1$，最终得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
3. 不等式取值
【点评】
本题是二次函数概念的典型基础辨析题，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=\pm1$的错误结果，解题时要牢记函数定义的所有约束条件，避免漏判。
【难度系数】
0.7
12.已知二次函数$y=ax^2 - bx -1$，当$x=2$时，$y=1$，则$2026 -2a +b =$.
答案
$\boldsymbol{2025}$
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件，将x=2、y=1代入二次函数解析式，整理得到2a与b的数量关系，再观察所求代数式的结构，将2a-b作为整体代入变形后的代数式计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
解：将x=2，y=1代入二次函数$y=ax^2 - bx -1$中，得：
$1 = a×2^2 - b×2 - 1$
整理得：$4a - 2b = 2$
等式两边同时除以2，得：$2a - b = 1$
对所求代数式变形可得：
$2026 - 2a + b = 2026 - (2a - b)$
将$2a - b =1$代入上式，得：
$2026 -1 = 2025$
【答案】
$\boldsymbol{2025}$
【知识点】
二次函数的函数值；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用二次函数的已知函数值推导参数关系，解题的关键是熟练运用整体代入思想简化代数式求值过程，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知条件，将x=2、y=1代入二次函数解析式，整理得到2a与b的数量关系，再观察所求代数式的结构，将2a-b作为整体代入变形后的代数式计算即可，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
解：将x=2，y=1代入二次函数$y=ax^2 - bx -1$中，得：
$1 = a×2^2 - b×2 - 1$
整理得：$4a - 2b = 2$
等式两边同时除以2，得：$2a - b = 1$
对所求代数式变形可得：
$2026 - 2a + b = 2026 - (2a - b)$
将$2a - b =1$代入上式，得：
$2026 -1 = 2025$
【答案】
$\boldsymbol{2025}$
【知识点】
二次函数的函数值；代数式求值；整体代入法
【点评】
本题属于基础题，核心考查利用二次函数的已知函数值推导参数关系，解题的关键是熟练运用整体代入思想简化代数式求值过程，避免不必要的计算。
【难度系数】
0.8
13.(新中考·跨物理学科)根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛(
),那么物体离地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为$h=10t-4.9t^2$.根据上述规律,该物体落回地面所需要的时间t约为s(结果保留整数).
),那么物体离地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为$h=10t-4.9t^2$.根据上述规律,该物体落回地面所需要的时间t约为s(结果保留整数).答案
解：当物体落回地面时，物体离地面的高度$h=0$。
令$h=0$，得方程：
$10t - 4.9t^2 = 0$
对方程因式分解，得：
$t(10 - 4.9t) = 0$
解得：$t_1=0$，$t_2=\frac{10}{4.9}$。
其中$t_1=0$是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的题意，舍去。
计算得$t_2=\frac{10}{4.9}\approx2$。
故答案为：$\boldsymbol{2}$。
令$h=0$，得方程：
$10t - 4.9t^2 = 0$
对方程因式分解，得：
$t(10 - 4.9t) = 0$
解得：$t_1=0$，$t_2=\frac{10}{4.9}$。
其中$t_1=0$是物体抛出的初始时刻，不符合落回地面的题意，舍去。
计算得$t_2=\frac{10}{4.9}\approx2$。
故答案为：$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
要计算物体落回地面的时间，首先结合实际场景分析：物体落回地面时，离地面的高度h=0。因此我们可以将h=0代入题目给出的高度与时间的关系式，得到关于t的一元二次方程，求解方程后，结合实际意义舍去不符合要求的解，对剩余的解按要求保留整数即可得到结果。
【解析】
物体落回地面时，离地面的高度h=0，将h=0代入关系式$h=10t-4.9t^2$，可得方程：
$10t - 4.9t^2 = 0$
对左边因式分解得：
$t(10 - 4.9t) = 0$
解得：$t_1=0$，$t_2=\frac{10}{4.9}$
其中$t_1=0$是物体被抛出的初始时刻，不符合落回地面的题意，故舍去。
计算得$t_2=\frac{10}{4.9}\approx2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法，实际问题根的取舍
【点评】
本题结合物理竖直上抛的场景出题，考查了数学知识在跨学科实际问题中的应用，解题关键是理解落回地面时高度为0的条件，同时要注意结合实际情况对方程的解进行取舍，贴合生活应用场景。
【难度系数】
0.7
要计算物体落回地面的时间，首先结合实际场景分析：物体落回地面时，离地面的高度h=0。因此我们可以将h=0代入题目给出的高度与时间的关系式，得到关于t的一元二次方程，求解方程后，结合实际意义舍去不符合要求的解，对剩余的解按要求保留整数即可得到结果。
【解析】
物体落回地面时，离地面的高度h=0，将h=0代入关系式$h=10t-4.9t^2$，可得方程：
$10t - 4.9t^2 = 0$
对左边因式分解得：
$t(10 - 4.9t) = 0$
解得：$t_1=0$，$t_2=\frac{10}{4.9}$
其中$t_1=0$是物体被抛出的初始时刻，不符合落回地面的题意，故舍去。
计算得$t_2=\frac{10}{4.9}\approx2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法，实际问题根的取舍
【点评】
本题结合物理竖直上抛的场景出题，考查了数学知识在跨学科实际问题中的应用，解题关键是理解落回地面时高度为0的条件，同时要注意结合实际情况对方程的解进行取舍，贴合生活应用场景。
【难度系数】
0.7
14. n个球队参加比赛，每两个队之间进行两场比赛.
(1)写出比赛场数m与球队数n之间的函数关系式；
(2)若共有20场比赛，则有多少个球队参赛？
(3)比赛场数能为32场吗？为什么？
(1)写出比赛场数m与球队数n之间的函数关系式；
(2)若共有20场比赛，则有多少个球队参赛？
(3)比赛场数能为32场吗？为什么？
答案
解：
(1) 每个球队都要与其余$(n-1)$个球队各进行2场比赛，因此总比赛场数：
$m = n(n-1) = n^2 - n$（$n$为不小于2的正整数）。
(2) 令$m=20$，代入函数关系式得：
$n^2 - n = 20$
整理得 $n^2 - n - 20 = 0$
因式分解得 $(n-5)(n+4)=0$
解得 $n_1=5$，$n_2=-4$。
因为球队数为正整数，$n=-4$不合题意，舍去。
答：有5个球队参赛。
(3) 不能，理由如下：
假设比赛场数能为32场，令$m=32$，代入函数关系式得：
$n^2 - n = 32$
整理得 $n^2 - n - 32 = 0$
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(-32)=129$，
129不是完全平方数，因此该方程没有正整数解，
所以比赛场数不能为32场。
(1) 每个球队都要与其余$(n-1)$个球队各进行2场比赛，因此总比赛场数：
$m = n(n-1) = n^2 - n$（$n$为不小于2的正整数）。
(2) 令$m=20$，代入函数关系式得：
$n^2 - n = 20$
整理得 $n^2 - n - 20 = 0$
因式分解得 $(n-5)(n+4)=0$
解得 $n_1=5$，$n_2=-4$。
因为球队数为正整数，$n=-4$不合题意，舍去。
答：有5个球队参赛。
(3) 不能，理由如下：
假设比赛场数能为32场，令$m=32$，代入函数关系式得：
$n^2 - n = 32$
整理得 $n^2 - n - 32 = 0$
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(-32)=129$，
129不是完全平方数，因此该方程没有正整数解，
所以比赛场数不能为32场。
解析
【分析】
(1) 推导比赛场数与球队数的关系时，先思考每个球队需和除自身外的其余(n-1)个球队比赛，每两队之间赛2场，无需像单循环赛一样除以2，结合球队数为不小于2的正整数即可得到函数关系式。
(2) 已知场数求球队数时，直接将已知场数代入第一问的函数关系式，解一元二次方程后，舍去不符合实际意义的负根即可。
(3) 判断场数能否为32时，同样代入函数关系式得到一元二次方程，通过根的判别式判断方程是否存在正整数解，若无正整数解则说明该场数不可能出现。
【解析】
(1) 每个球队都要与其余$(n-1)$个球队各进行2场比赛，因此总比赛场数：
$m = n(n-1) = n^2 - n$（$n$为不小于2的正整数）。
(2) 令$m=20$，代入函数关系式得：
$n^2 - n = 20$
整理得 $n^2 - n - 20 = 0$
因式分解得 $(n-5)(n+4)=0$
解得 $n_1=5$，$n_2=-4$。
因为球队数为正整数，$n=-4$不合题意，舍去。
答：有5个球队参赛。
(3) 不能，理由如下：
假设比赛场数能为32场，令$m=32$，代入函数关系式得：
$n^2 - n = 32$
整理得 $n^2 - n - 32 = 0$
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(-32)=129$，
129不是完全平方数，因此该方程没有正整数解，
所以比赛场数不能为32场。
【答案】
(1) $m=n^2-n$（$n$为不小于2的正整数）；
(2) 5个；
(3) 不能，方程$n^2-n-32=0$无正整数解。
【知识点】
列二次函数关系式，解一元二次方程，根的判别式应用
【点评】
本题结合实际比赛场景出题，既考查了根据实际问题建立函数关系的能力，也考查了一元二次方程的求解和实际应用，解题时要注意自变量的取值必须符合实际意义，不能仅根据方程的解直接得结论。
【难度系数】
0.7
(1) 推导比赛场数与球队数的关系时，先思考每个球队需和除自身外的其余(n-1)个球队比赛，每两队之间赛2场，无需像单循环赛一样除以2，结合球队数为不小于2的正整数即可得到函数关系式。
(2) 已知场数求球队数时，直接将已知场数代入第一问的函数关系式，解一元二次方程后，舍去不符合实际意义的负根即可。
(3) 判断场数能否为32时，同样代入函数关系式得到一元二次方程，通过根的判别式判断方程是否存在正整数解，若无正整数解则说明该场数不可能出现。
【解析】
(1) 每个球队都要与其余$(n-1)$个球队各进行2场比赛，因此总比赛场数：
$m = n(n-1) = n^2 - n$（$n$为不小于2的正整数）。
(2) 令$m=20$，代入函数关系式得：
$n^2 - n = 20$
整理得 $n^2 - n - 20 = 0$
因式分解得 $(n-5)(n+4)=0$
解得 $n_1=5$，$n_2=-4$。
因为球队数为正整数，$n=-4$不合题意，舍去。
答：有5个球队参赛。
(3) 不能，理由如下：
假设比赛场数能为32场，令$m=32$，代入函数关系式得：
$n^2 - n = 32$
整理得 $n^2 - n - 32 = 0$
该一元二次方程的判别式$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(-32)=129$，
129不是完全平方数，因此该方程没有正整数解，
所以比赛场数不能为32场。
【答案】
(1) $m=n^2-n$（$n$为不小于2的正整数）；
(2) 5个；
(3) 不能，方程$n^2-n-32=0$无正整数解。
【知识点】
列二次函数关系式，解一元二次方程，根的判别式应用
【点评】
本题结合实际比赛场景出题，既考查了根据实际问题建立函数关系的能力，也考查了一元二次方程的求解和实际应用，解题时要注意自变量的取值必须符合实际意义，不能仅根据方程的解直接得结论。
【难度系数】
0.7
