登录
一、选择题
1. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ A=30°$，则$∠ B=(\quad)$.
A.$150°$
B.$75°$
C.$60°$
D.$15°$
（第1题）
（第3题）
1. 如图，在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$∠ A=30°$，则$∠ B=(\quad)$.
A.$150°$
B.$75°$
C.$60°$
D.$15°$
（第1题）（第3题）答案
B
解析
【分析】
解题时先从题目给出的弧相等的条件入手，根据圆中“等弧对等弦”的基本性质，可以得到弦AB与AC相等，进而判断出△ABC是等腰三角形；再结合已知的顶角度数，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°，就能计算出底角∠B的度数。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
∴$AB=AC$（同圆中，等弧所对的弦相等）
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$
∵$∠ A=30°$，三角形内角和为$180°$
∴$∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等弧对等弦；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，将圆的基本性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是能由弧相等快速推出对应的弦相等，进而结合三角形性质求解。
【难度系数】
0.9
解题时先从题目给出的弧相等的条件入手，根据圆中“等弧对等弦”的基本性质，可以得到弦AB与AC相等，进而判断出△ABC是等腰三角形；再结合已知的顶角度数，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为180°，就能计算出底角∠B的度数。
【解析】
解：
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$
∴$AB=AC$（同圆中，等弧所对的弦相等）
∴$△ ABC$是等腰三角形，$∠ B=∠ C$
∵$∠ A=30°$，三角形内角和为$180°$
∴$∠ B=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等弧对等弦；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，将圆的基本性质与三角形的相关知识结合考查，解题的关键是能由弧相等快速推出对应的弦相等，进而结合三角形性质求解。
【难度系数】
0.9
2. 下列说法正确的是().
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.等弧所对的圆心角相等
C.相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等
D.圆心角相等，它们所对的弦也相等
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.等弧所对的圆心角相等
C.相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等
D.圆心角相等，它们所对的弦也相等
答案
B
解析
【分析】
本题考查圆心角、弧、弦之间的对应关系，解题时首先要明确：圆心角、弧、弦三类量的相等关系成立的前提是“在同圆或等圆中”，仅等弧的定义本身就隐含了同圆或等圆的条件，无需额外添加前提。解题时逐一核对每个选项是否符合定理的完整要求，即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：相等的圆心角所对的弧相等，缺少“在同圆或等圆中”的前提，不同半径的圆中，即使圆心角度数相同，对应的弧长也不相等，因此A错误；
B选项：等弧是指能够完全重合的弧，本身就隐含了在同圆或等圆中的条件，因此等弧所对的圆心角一定相等，B正确；
C选项：相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等，缺少“在同圆或等圆中”的前提，不同半径的圆中长度相同的弦，对应的弧长并不相等，因此C错误；
D选项：圆心角相等，它们所对的弦也相等，缺少“在同圆或等圆中”的前提，不同半径的圆中，圆心角相等时弦长不相等，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角弧弦的关系；等弧的定义；圆的基本性质
【点评】
本题是圆基本性质的基础考查题，易错点是忽略相关结论成立的“同圆或等圆”前提，从而误选其他选项。学习相关定理时要注意记忆完整表述，明确各结论的适用条件。
【难度系数】
0.7
本题考查圆心角、弧、弦之间的对应关系，解题时首先要明确：圆心角、弧、弦三类量的相等关系成立的前提是“在同圆或等圆中”，仅等弧的定义本身就隐含了同圆或等圆的条件，无需额外添加前提。解题时逐一核对每个选项是否符合定理的完整要求，即可判断正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：相等的圆心角所对的弧相等，缺少“在同圆或等圆中”的前提，不同半径的圆中，即使圆心角度数相同，对应的弧长也不相等，因此A错误；
B选项：等弧是指能够完全重合的弧，本身就隐含了在同圆或等圆中的条件，因此等弧所对的圆心角一定相等，B正确；
C选项：相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等，缺少“在同圆或等圆中”的前提，不同半径的圆中长度相同的弦，对应的弧长并不相等，因此C错误；
D选项：圆心角相等，它们所对的弦也相等，缺少“在同圆或等圆中”的前提，不同半径的圆中，圆心角相等时弦长不相等，因此D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆心角弧弦的关系；等弧的定义；圆的基本性质
【点评】
本题是圆基本性质的基础考查题，易错点是忽略相关结论成立的“同圆或等圆”前提，从而误选其他选项。学习相关定理时要注意记忆完整表述，明确各结论的适用条件。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$AD // OC$，$\overset{\frown}{BC}$的度数是$110°$，则$\overset{\frown}{AD}$的度数为（）。
A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
A.$70°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先利用弧的度数与对应圆心角度数相等的性质，由已知$\overset{\frown}{BC}$的度数得到圆心角$∠ BOC$的度数；再结合AB是直径，可得$∠ AOB$为平角180°，进而求出$∠ AOC$的度数；之后根据平行线的内错角相等得到$∠ OAD$的度数，再利用圆的半径相等得到$△ OAD$是等腰三角形，结合三角形内角和求出$∠ AOD$的度数，最终得到$\overset{\frown}{AD}$的度数。
【解析】
1. 因为弧的度数等于其所对圆心角的度数，已知$\overset{\frown}{BC}$的度数为$110°$，所以$∠ BOC=110°$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，因此$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=180°-110°=70°$。
3. 因为$AD// OC$，OA为截线，根据两直线平行、内错角相等，可得$∠ OAD=∠ AOC=70°$。
4. 因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，$△ OAD$为等腰三角形，因此$∠ ODA=∠ OAD=70°$。
5. 在$△ OAD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOD=180°-∠ OAD-∠ ODA=180°-70°-70°=40°$。
6. 圆心角$∠ AOD$的度数等于它所对$\overset{\frown}{AD}$的度数，因此$\overset{\frown}{AD}$的度数为$40°$。
【答案】
D
【知识点】
圆心角与弧的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基本性质的常规考题，将圆的知识与平行线、等腰三角形的知识结合考查，解题的核心是熟练掌握弧的度数和圆心角度数的对应关系，通过角的等量推导即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用弧的度数与对应圆心角度数相等的性质，由已知$\overset{\frown}{BC}$的度数得到圆心角$∠ BOC$的度数；再结合AB是直径，可得$∠ AOB$为平角180°，进而求出$∠ AOC$的度数；之后根据平行线的内错角相等得到$∠ OAD$的度数，再利用圆的半径相等得到$△ OAD$是等腰三角形，结合三角形内角和求出$∠ AOD$的度数，最终得到$\overset{\frown}{AD}$的度数。
【解析】
1. 因为弧的度数等于其所对圆心角的度数，已知$\overset{\frown}{BC}$的度数为$110°$，所以$∠ BOC=110°$。
2. 因为AB是$\odot O$的直径，所以$∠ AOB=180°$，因此$∠ AOC=∠ AOB-∠ BOC=180°-110°=70°$。
3. 因为$AD// OC$，OA为截线，根据两直线平行、内错角相等，可得$∠ OAD=∠ AOC=70°$。
4. 因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，$△ OAD$为等腰三角形，因此$∠ ODA=∠ OAD=70°$。
5. 在$△ OAD$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ AOD=180°-∠ OAD-∠ ODA=180°-70°-70°=40°$。
6. 圆心角$∠ AOD$的度数等于它所对$\overset{\frown}{AD}$的度数，因此$\overset{\frown}{AD}$的度数为$40°$。
【答案】
D
【知识点】
圆心角与弧的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆的基本性质的常规考题，将圆的知识与平行线、等腰三角形的知识结合考查，解题的核心是熟练掌握弧的度数和圆心角度数的对应关系，通过角的等量推导即可求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\overset{\frown}{BE}$上的三等分点，$∠ AOE = 60°$，则$∠ COE$的度数为。
答案
$\boldsymbol{80°}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，首先AB是圆的直径，可得对应的圆心角∠AOB为180°，结合已知的∠AOE=60°，先求出∠BOE的度数。再根据C、D是弧BE的三等分点，可知弧BE被分成三段相等的弧，同圆中等弧对应的圆心角相等，因此可算出每段弧对应的圆心角度数，最后观察∠COE包含2段等分弧对应的圆心角，求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB = 180°$，
∵$∠ AOE = 60°$，
∴$∠ BOE = ∠ AOB - ∠ AOE = 180° - 60° = 120°$，
∵C，D是$\overset{\frown}{BE}$上的三等分点，
∴$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，
根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ EOD=∠ DOC=∠ COB$，
∴$∠ EOD=∠ DOC=∠ COB=\frac{1}{3}∠ BOE=\frac{1}{3}×120°=40°$，
∴$∠ COE=∠ EOD+∠ DOC=40°+40°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
等弧对等圆心角，平角的性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题核心是利用“同圆中等弧对应的圆心角相等”的性质，结合平角的度数求出目标角，难度不大，掌握圆的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发，首先AB是圆的直径，可得对应的圆心角∠AOB为180°，结合已知的∠AOE=60°，先求出∠BOE的度数。再根据C、D是弧BE的三等分点，可知弧BE被分成三段相等的弧，同圆中等弧对应的圆心角相等，因此可算出每段弧对应的圆心角度数，最后观察∠COE包含2段等分弧对应的圆心角，求和即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB = 180°$，
∵$∠ AOE = 60°$，
∴$∠ BOE = ∠ AOB - ∠ AOE = 180° - 60° = 120°$，
∵C，D是$\overset{\frown}{BE}$上的三等分点，
∴$\overset{\frown}{ED}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，
根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等，可得$∠ EOD=∠ DOC=∠ COB$，
∴$∠ EOD=∠ DOC=∠ COB=\frac{1}{3}∠ BOE=\frac{1}{3}×120°=40°$，
∴$∠ COE=∠ EOD+∠ DOC=40°+40°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
等弧对等圆心角，平角的性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，解题核心是利用“同圆中等弧对应的圆心角相等”的性质，结合平角的度数求出目标角，难度不大，掌握圆的基本性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5. 如图，AB，CD，EF都是$\odot O$的直径，且$∠1=∠2=∠3$，则$\odot O$的弦AC，BE，DF的长度关系是.
答案
$\boldsymbol{AC=BE=DF}$
解析
【分析】
要判断三条弦的长度关系，可利用同圆中圆心角与弦的对应关系推导：首先找到弦AC、BE、DF各自对应的圆心角，结合直径相交形成的对顶角相等的性质，将已知的∠1=∠2=∠3转化为三条弦对应的圆心角相等，再根据“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”即可得到结论。
【解析】
解：
∵ AB、CD、EF都是$\odot O$的直径，
∴ ∠AOC和∠1是对顶角，∠BOE和∠2是对顶角，∠DOF和∠3是对顶角，
根据对顶角相等的性质可得：$∠ AOC=∠ 1$，$∠ BOE=∠ 2$，$∠ DOF=∠ 3$，
又
∵ $∠ 1=∠ 2=∠ 3$，
∴ $∠ AOC=∠ BOE=∠ DOF$，
根据同圆的性质：相等的圆心角所对的弦相等，
∴ $AC=BE=DF$。
【答案】
$AC=BE=DF$
【知识点】
对顶角的性质；圆心角与弦的关系
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题关键是通过对顶角相等的性质，将已知等角转化为弦对应的圆心角，再结合圆心角与弦的对应关系直接推导，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
要判断三条弦的长度关系，可利用同圆中圆心角与弦的对应关系推导：首先找到弦AC、BE、DF各自对应的圆心角，结合直径相交形成的对顶角相等的性质，将已知的∠1=∠2=∠3转化为三条弦对应的圆心角相等，再根据“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”即可得到结论。
【解析】
解：
∵ AB、CD、EF都是$\odot O$的直径，
∴ ∠AOC和∠1是对顶角，∠BOE和∠2是对顶角，∠DOF和∠3是对顶角，
根据对顶角相等的性质可得：$∠ AOC=∠ 1$，$∠ BOE=∠ 2$，$∠ DOF=∠ 3$，
又
∵ $∠ 1=∠ 2=∠ 3$，
∴ $∠ AOC=∠ BOE=∠ DOF$，
根据同圆的性质：相等的圆心角所对的弦相等，
∴ $AC=BE=DF$。
【答案】
$AC=BE=DF$
【知识点】
对顶角的性质；圆心角与弦的关系
【点评】
本题属于圆的基础性质应用题，解题关键是通过对顶角相等的性质，将已知等角转化为弦对应的圆心角，再结合圆心角与弦的对应关系直接推导，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8
6. ⊙O在△ABC的三边上截得的线段相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为。
答案
$\boldsymbol{125°}$
解析
【分析】
首先，⊙O在△ABC三边上截得的线段是圆的三条弦，已知弦相等，根据同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可推出点O到△ABC三边的距离相等，由此确定O是△ABC的内心（三条内角平分线的交点）。接下来先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的性质得到∠OBC与∠OCB的和，最后在△OBC中再次利用内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ ⊙O在△ABC三边上截得的线段相等，即这三条线段是⊙O的三条相等的弦
根据同圆中相等的弦的弦心距相等，可得：点O到△ABC三边的距离相等
∴ 点O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB
在△ABC中，∠A=70°
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°
在△OBC中：
∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
弦心距的性质；三角形内心的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和三角形角平分线、内角和的相关知识，解题的突破口是由弦相等推导得到圆心为三角形的内心，需要学生熟练掌握各基础知识点并能灵活串联应用。
【难度系数】
0.6
首先，⊙O在△ABC三边上截得的线段是圆的三条弦，已知弦相等，根据同圆中相等的弦对应的弦心距相等，可推出点O到△ABC三边的距离相等，由此确定O是△ABC的内心（三条内角平分线的交点）。接下来先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线的性质得到∠OBC与∠OCB的和，最后在△OBC中再次利用内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ ⊙O在△ABC三边上截得的线段相等，即这三条线段是⊙O的三条相等的弦
根据同圆中相等的弦的弦心距相等，可得：点O到△ABC三边的距离相等
∴ 点O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB
在△ABC中，∠A=70°
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 70° = 110°
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°
在△OBC中：
∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°
【答案】
$\boldsymbol{125°}$
【知识点】
弦心距的性质；三角形内心的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和三角形角平分线、内角和的相关知识，解题的突破口是由弦相等推导得到圆心为三角形的内心，需要学生熟练掌握各基础知识点并能灵活串联应用。
【难度系数】
0.6
