三、解答题
7. 如图，在$\odot O$中，直径$AE$，$BD$交于点$O$，$D$为$\overset{\frown}{CE}$的中点.求证：$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{AB}$.

证明：
∵ D为$\overset{\frown}{CE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴ $\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{DE}$。
∵ AE、BD是$\odot O$的直径，
∴ ∠AOB和∠DOE是对顶角，
∴ ∠AOB=∠DOE。
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，
∴ $\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{AB}$。

【分析】
要证明$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{AB}$，可先借助弧中点的性质拆分目标弧：已知D是$\overset{\frown}{CE}$的中点，可得$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{DE}$，此时只需证$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{AB}$即可完成推导。根据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，观察到直径AE、BD相交形成的对顶角∠AOB与∠DOE相等，可推出二者对应的弧$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{DE}$相等，最后通过等量代换即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ D为$\overset{\frown}{CE}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
∴ $\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{DE}$。
∵ AE、BD是$\odot O$的直径，
∴ ∠AOB和∠DOE是对顶角，
∴ ∠AOB=∠DOE。
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{DE}$，
∴ $\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{AB}$。
【答案】
证明过程如上所示，$\overset{\frown}{CE}=2\overset{\frown}{AB}$得证。
【知识点】
弧中点的定义，圆心角与弧的关系，对顶角的性质
【点评】
本题属于圆基本性质的基础应用题，核心是通过弧中点的性质将两倍弧的证明转化为等弧证明，结合对顶角相等和圆心角与弧的对应关系即可推导，能帮助学生巩固圆中弧、圆心角的等量转换方法。
【难度系数】
0.8

8. 如图，点A，M，B在$\odot O$上，$OD ⊥ AM$于点D，$OE ⊥ BM$于点E，$OD = OE$. 求证：$∠ A = ∠ B$.

证明：
连接OA，OB。
∵ $OD ⊥ AM$，$OE ⊥ BM$，
∴ $∠ ADO = ∠ BEO = 90°$。
∵ OA，OB是$\odot O$的半径，
∴ $OA = OB$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$和$\mathrm{Rt}△ BOE$中，
$\begin{cases}OA = OB \\OD = OE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AOD ≌ \mathrm{Rt}△ BOE$（HL）。
∴ $∠ OAD = ∠ OBE$，即$∠ A = ∠ B$。

【分析】
要证明∠A=∠B，可通过证明两角所在的三角形全等实现。首先观察图形，已知OD⊥AM、OE⊥BM，可得△AOD和△BOE均为直角三角形，题目已给出OD=OE，再结合圆的基本性质可知同圆的半径相等，即OA=OB，因此可利用HL判定两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应角相等即可推出结论。
【解析】
证明：
连接OA，OB。
∵ $OD ⊥ AM$，$OE ⊥ BM$，
∴ $∠ ADO = ∠ BEO = 90°$。
∵ OA，OB是$\odot O$的半径，
∴ $OA = OB$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$和$\mathrm{Rt}△ BOE$中，
$\begin{cases}OA = OB \\OD = OE\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AOD ≌ \mathrm{Rt}△ BOE$（HL）。
∴ $∠ OAD = ∠ OBE$，即$∠ A = ∠ B$。
【答案】
见上述证明过程。
【知识点】
圆的半径相等；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形全等结合的基础题，解题的关键是通过连接半径构造全等三角形，结合已知的垂直、边相等条件证明三角形全等，进而得到角相等，解题思路清晰直观。
【难度系数】
0.8

9. 如图，在$\odot O$中，点$D$，$C$将$AB$三等分，$∠ AOB=90°$，弦$AB$与半径$OC$，$OD$分别交于点$E$，$F$.求证：$AE=DC=BF$.

证明：
连接AC。
∵ 点C，D将$\overset{\frown}{AB}$三等分，$∠ AOB=90°$，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=30°$，
∴ $AC=CD=DB$，即 $DC=AC$。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=90°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=45°$。
∴ $∠ AEC=∠ OAE + ∠ AOC=45°+30°=75°$。
又∵ $OA=OC$，$∠ AOC=30°$，
∴ $∠ ACE=\frac{180° - 30°}{2}=75°$，
∴ $∠ AEC=∠ ACE$，
∴ $AE=AC$，即 $AE=DC$。
同理可证：$BF=BD=DC$，
∴ $AE=DC=BF$。

【分析】
要证明$AE=DC=BF$，可分步推导：首先利用弧三等分的性质，得到对应圆心角相等、弦相等，即$DC=AC=BD$，接下来只需证明$AE=AC$、$BF=BD$即可。我们可以连接辅助线$AC$，结合等腰三角形的角度计算和三角形外角性质，证明角相等后利用等角对等边得到$AE=AC$，同理推导$BF=BD$，最终得到三条线段相等的结论。
【解析】
证明：
连接$AC$。
∵ 点$C$，$D$将$\overset{\frown}{AB}$三等分，$∠ AOB=90°$，
∴ $∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=30°$，
∴ $AC=CD=DB$，即 $DC=AC$。
∵ $OA=OB$，$∠ AOB=90°$，
∴ $∠ OAB=∠ OBA=45°$。
∴ $∠ AEC=∠ OAE + ∠ AOC=45°+30°=75°$。
又
∵ $OA=OC$，$∠ AOC=30°$，
∴ $∠ ACE=\frac{180° - 30°}{2}=75°$，
∴ $∠ AEC=∠ ACE$，
∴ $AE=AC$，即 $AE=DC$。
同理可证：$BF=BD=DC$，
∴ $AE=DC=BF$。
【答案】
$AE=DC=BF$，得证
【知识点】
1. 弧弦圆心角的关系
2. 等腰三角形的性质与判定
3. 三角形外角的性质
【点评】
这道题是圆的基本性质的典型应用题目，解题的关键是合理添加辅助线，将待证的线段相等关系转化为等腰三角形的边相等关系，通过角度计算即可完成推导，能有效考查圆和三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6