5. 在平面直角坐标系中画一条直线,使直线上每一个点的坐标都是二元一次方程$2x - 3y = 6$的解.

答案
解:
将二元一次方程$2x-3y=6$变形为一次函数形式:
移项得 $3y=2x-6$,
整理得 $y=\frac{2}{3}x - 2$。
取两组满足方程的解,确定两个点:
令$x=0$,解得$y=-2$,得到点$(0,-2)$;
令$y=0$,解得$x=3$,得到点$(3,0)$。
在平面直角坐标系内描出点$(0,-2)$和点$(3,0)$,过这两点画直线,所得直线即为符合要求的直线,该直线上所有点的坐标都是二元一次方程$2x-3y=6$的解。
将二元一次方程$2x-3y=6$变形为一次函数形式:
移项得 $3y=2x-6$,
整理得 $y=\frac{2}{3}x - 2$。
取两组满足方程的解,确定两个点:
令$x=0$,解得$y=-2$,得到点$(0,-2)$;
令$y=0$,解得$x=3$,得到点$(3,0)$。
在平面直角坐标系内描出点$(0,-2)$和点$(3,0)$,过这两点画直线,所得直线即为符合要求的直线,该直线上所有点的坐标都是二元一次方程$2x-3y=6$的解。
6. 已知函数 $ y=3x+1 $ 的图象与函数 $ y=mx+n $ 的图象交于点 $ P(-2,a) $,且关于 $ x $ 的不等式 $ mx+n>0 $ 的解集是 $ x>3 $,根据以上信息解答下列问题:
(1)求 $ a $ 的值;
(2)直接写出关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} y=3x+1, \\ y=mx+n \end{cases} $ 的解;
(3)在同一平面直角坐标系中画出两个函数的大致图象,并求 $ m,n $ 的值.

(1)求 $ a $ 的值;
(2)直接写出关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases} y=3x+1, \\ y=mx+n \end{cases} $ 的解;
(3)在同一平面直角坐标系中画出两个函数的大致图象,并求 $ m,n $ 的值.
答案
解:
(1) 把点$P(-2,a)$代入$y=3x+1$,得
$a=3×(-2)+1=-5$。
(2) 方程组$\begin{cases} y=3x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=-2, \\ y=-5 \end{cases}$。
(3) 大致图象绘制:
1. 函数$y=3x+1$过点$(0,1)$和$(-2,-5)$,连接两点画出对应直线;
2. 由不等式$mx+n>0$的解集是$x>3$,可知函数$y=mx+n$的图象与$x$轴交于点$(3,0)$,又该直线过点$P(-2,-5)$,连接点$(3,0)$和$(-2,-5)$画出对应直线,即得到两个函数的大致图象。
将点$(3,0)$和$(-2,-5)$代入$y=mx+n$,得
$\begin{cases} 3m + n = 0 \\ -2m + n = -5 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程,得$5m=5$,解得$m=1$,
把$m=1$代入$3m+n=0$,得$3×1 +n=0$,解得$n=-3$。
综上,$m=1$,$n=-3$。
(1) 把点$P(-2,a)$代入$y=3x+1$,得
$a=3×(-2)+1=-5$。
(2) 方程组$\begin{cases} y=3x+1, \\ y=mx+n \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=-2, \\ y=-5 \end{cases}$。
(3) 大致图象绘制:
1. 函数$y=3x+1$过点$(0,1)$和$(-2,-5)$,连接两点画出对应直线;
2. 由不等式$mx+n>0$的解集是$x>3$,可知函数$y=mx+n$的图象与$x$轴交于点$(3,0)$,又该直线过点$P(-2,-5)$,连接点$(3,0)$和$(-2,-5)$画出对应直线,即得到两个函数的大致图象。
将点$(3,0)$和$(-2,-5)$代入$y=mx+n$,得
$\begin{cases} 3m + n = 0 \\ -2m + n = -5 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程,得$5m=5$,解得$m=1$,
把$m=1$代入$3m+n=0$,得$3×1 +n=0$,解得$n=-3$。
综上,$m=1$,$n=-3$。
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