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1.抛物线$y=x^2 + x - c$与$x$轴只有一个公共点，则$c$的值为(
A.$-\dfrac{1}{4}$
B.$-4$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$4$
A
).A.$-\dfrac{1}{4}$
B.$-4$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$4$
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次函数图像与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系：当抛物线与x轴只有一个公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。我们先写出抛物线对应的一元二次方程，再代入判别式公式列方程求解即可，计算时要注意常数项的符号，避免出错。
【解析】
已知抛物线$y=x^2 + x - c$与$x$轴只有一个公共点，说明对应的一元二次方程$x^2 + x - c = 0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，本题中$a=1$，$b=1$，常数项为$-c$，代入得：
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-c) = 0$
化简得：$1 + 4c = 0$
解得：$c = -\dfrac{1}{4}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式的应用
【点评】
本题是二次函数相关的基础考点，核心是熟记抛物线与x轴交点个数和判别式的对应关系：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时无交点，解题时需注意区分方程中各项的系数和符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二次函数图像与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的关系：当抛物线与x轴只有一个公共点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。我们先写出抛物线对应的一元二次方程，再代入判别式公式列方程求解即可，计算时要注意常数项的符号，避免出错。
【解析】
已知抛物线$y=x^2 + x - c$与$x$轴只有一个公共点，说明对应的一元二次方程$x^2 + x - c = 0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta = 0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，本题中$a=1$，$b=1$，常数项为$-c$，代入得：
$\Delta = 1^2 - 4×1×(-c) = 0$
化简得：$1 + 4c = 0$
解得：$c = -\dfrac{1}{4}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；根的判别式的应用
【点评】
本题是二次函数相关的基础考点，核心是熟记抛物线与x轴交点个数和判别式的对应关系：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时无交点，解题时需注意区分方程中各项的系数和符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
2.抛物线$y=x^2 -3x +3$与x轴的交点的个数是(
A.有两个交点
B.没有交点
C.无法确定
D.有一个交点
B
).A.有两个交点
B.没有交点
C.无法确定
D.有一个交点
答案
2.B
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，交点个数由方程根的个数决定，可通过一元二次方程根的判别式Δ的符号判断：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时没有交点。本题只需令y=0得到对应一元二次方程，计算判别式符号即可得出结论。
【解析】
令y=0，可得一元二次方程：
$x^2 -3x +3 = 0$
其中二次项系数a=1，一次项系数b=-3，常数项c=3
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 - 4×1×3 = 9 - 12 = -3$
因为$\Delta=-3＜0$，所以该一元二次方程没有实数根，即抛物线与x轴没有交点。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数相关基础题，解题核心是掌握判别式符号与抛物线x轴交点个数的对应关系，熟练计算判别式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的实数根，交点个数由方程根的个数决定，可通过一元二次方程根的判别式Δ的符号判断：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时没有交点。本题只需令y=0得到对应一元二次方程，计算判别式符号即可得出结论。
【解析】
令y=0，可得一元二次方程：
$x^2 -3x +3 = 0$
其中二次项系数a=1，一次项系数b=-3，常数项c=3
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 - 4×1×3 = 9 - 12 = -3$
因为$\Delta=-3＜0$，所以该一元二次方程没有实数根，即抛物线与x轴没有交点。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数相关基础题，解题核心是掌握判别式符号与抛物线x轴交点个数的对应关系，熟练计算判别式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.二次函数$y=x^2-2x-3$的图象与$x$轴交点的横坐标是(
A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=3$
C.$x_1=-1,x_2=-3$
D.$x_1=1,x_2=-3$
B
).A.$x_1=1,x_2=3$
B.$x_1=-1,x_2=3$
C.$x_1=-1,x_2=-3$
D.$x_1=1,x_2=-3$
答案
3.B
解析
【分析】
要求二次函数图象与x轴交点的横坐标，根据二次函数与一元二次方程的关系，x轴上的点纵坐标为0，因此只需令函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，解这个方程得到的根就是交点的横坐标，解一元二次方程即可得出结果。
【解析】
解：令$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
对左边因式分解，得：
$(x - 3)(x + 1) = 0$
所以$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$
即二次函数图象与x轴交点的横坐标是$x_1=-1,x_2=3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握二次函数与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程的根的对应关系，熟练运用一元二次方程的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要求二次函数图象与x轴交点的横坐标，根据二次函数与一元二次方程的关系，x轴上的点纵坐标为0，因此只需令函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，解这个方程得到的根就是交点的横坐标，解一元二次方程即可得出结果。
【解析】
解：令$y=0$，可得一元二次方程：
$x^2 - 2x - 3 = 0$
对左边因式分解，得：
$(x - 3)(x + 1) = 0$
所以$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = -1$
即二次函数图象与x轴交点的横坐标是$x_1=-1,x_2=3$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握二次函数与x轴交点的横坐标和对应一元二次方程的根的对应关系，熟练运用一元二次方程的解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.抛物线$y=-(x-2)(x+4)$的对称轴为(
A.直线$x=1$
B.直线$x=-1$
C.直线$x=2$
D.直线$x=-2$
B
).A.直线$x=1$
B.直线$x=-1$
C.直线$x=2$
D.直线$x=-2$
答案
4.B
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一，已知抛物线的交点式，可先找到抛物线与x轴的两个交点横坐标，由于抛物线关于对称轴对称，两个交点也关于对称轴对称，因此对称轴为两个交点横坐标的平均值；思路二，将交点式展开为一般式，再利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
方法一：利用交点式的对称性求解
对于抛物线$y=-(x-2)(x+4)$，令$y=0$，解得与x轴的交点横坐标为$x_1=2$，$x_2=-4$。
因为抛物线的对称轴是两个交点横坐标的中点对应的直线，所以对称轴为：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{2+(-4)}{2}=-1$
即对称轴为直线$x=-1$。
方法二：转化为一般式用公式求解
先展开解析式：
$y=-(x-2)(x+4)=-(x^2+2x-8)=-x^2-2x+8$
其中$a=-1$，$b=-2$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$
即对称轴为直线$x=-1$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数交点式、二次函数对称轴计算、二次函数对称性
【点评】
本题属于基础题，考查二次函数对称轴的求解方法，两种解题思路各有优势，利用交点式的对称性求解更快捷，转化为一般式用公式计算适用范围更广，熟练掌握两种方法可灵活应对不同形式的二次函数解析式相关问题。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一，已知抛物线的交点式，可先找到抛物线与x轴的两个交点横坐标，由于抛物线关于对称轴对称，两个交点也关于对称轴对称，因此对称轴为两个交点横坐标的平均值；思路二，将交点式展开为一般式，再利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算即可。
【解析】
方法一：利用交点式的对称性求解
对于抛物线$y=-(x-2)(x+4)$，令$y=0$，解得与x轴的交点横坐标为$x_1=2$，$x_2=-4$。
因为抛物线的对称轴是两个交点横坐标的中点对应的直线，所以对称轴为：
$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{2+(-4)}{2}=-1$
即对称轴为直线$x=-1$。
方法二：转化为一般式用公式求解
先展开解析式：
$y=-(x-2)(x+4)=-(x^2+2x-8)=-x^2-2x+8$
其中$a=-1$，$b=-2$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$x=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$
即对称轴为直线$x=-1$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数交点式、二次函数对称轴计算、二次函数对称性
【点评】
本题属于基础题，考查二次函数对称轴的求解方法，两种解题思路各有优势，利用交点式的对称性求解更快捷，转化为一般式用公式计算适用范围更广，熟练掌握两种方法可灵活应对不同形式的二次函数解析式相关问题。
【难度系数】
0.8
