12.如图，抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于$A(-1,0),B(2,0)$两点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求此抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)若点$C(m,y_1),D(n,y_2)$在该抛物线上，且$m＜n＜\frac{1}{2}$，请直接写出$y_1,y_2$的大小关系.

12.【解】(1)
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$与 x 轴交于$A(-1,0)$，$B(2,0)$两点，
∴抛物线的解析式为$y=-(x+1)(x-2)$，即$y=-x^2+x+2$.
(2)
∵抛物线$y=-x^2+x+2=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}$，
∴此抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$.
(3)$y_2＞y_1$.

【分析】
(1) 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，且二次项系数为-1，可直接用交点式写解析式再整理为一般式，也可将两点坐标代入一般式列方程组求解b、c，两种方法均符合所学知识，交点式更简便。
(2) 求对称轴和顶点坐标，可将第一问得到的一般式配方转化为顶点式，直接读取结果；也可用对称轴、顶点坐标公式计算得到，两种方法都可行。
(3) 先根据二次项系数判断开口方向，结合对称轴分析x＜$\frac{1}{2}$时函数的增减性，再根据m、n的大小关系即可比较y₁、y₂的大小。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=-x^2+bx+c$与x轴交于$A(-1,0)$、$B(2,0)$两点，
∴抛物线的解析式可写为$y=-(x+1)(x-2)$，
展开整理得：$y=-x^2+x+2$。
(2) 将$y=-x^2+x+2$配方：
$y=-(x^2-x)+2=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}+2=-(x-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}$，
∴此抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$。
(3)
∵抛物线二次项系数$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，
∴当$x＜\frac{1}{2}$时，y随x的增大而增大，
又
∵$m＜n＜\frac{1}{2}$，
∴$y_1＜y_2$，即$y_2＞y_1$。
【答案】
(1) $y=-x^2+x+2$
(2) 对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{9}{4})$
(3) $y_2＞y_1$
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数顶点式，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，核心考查二次函数的基础性质应用，熟练掌握解析式求法、顶点式转化和增减性规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

1.已知二次函数$y=-x^2+2x+3$，则下列关于这个函数的图象和性质的说法，正确的是().

A.图象开口向上
B.图象的顶点坐标是$(1,2)$
C.当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.函数$y$有最大值4

1.D

【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的核心性质：首先由二次项系数$a$的正负判断开口方向，开口方向决定函数有最大值还是最小值；再通过配方法将一般式转化为顶点式，得到顶点坐标、对称轴，结合开口方向即可判断函数的增减性，最后逐一核对四个选项即可选出正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=-x^2+2x+3$：
1. 判断开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此图象开口向下，故A选项错误；
2. 化为顶点式求顶点坐标：利用配方法变形可得
$y=-x^2+2x+3=-(x^2-2x)+3=-(x^2-2x+1-1)+3=-(x-1)^2+4$，
因此图象的顶点坐标为$(1,4)$，故B选项错误；
3. 判断增减性：函数对称轴为直线$x=1$，且图象开口向下，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，故C选项错误；
4. 判断最值：由于图象开口向下，函数在顶点处取得最大值，最大值为顶点的纵坐标4，故D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数开口方向判断；二次函数顶点与最值；二次函数增减性
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握二次函数一般式化顶点式的方法，以及开口方向、增减性、最值的判断规则，就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8

2.在平面直角坐标系中，二次函数$y=-x^2 -2x +3$的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是().

A.$(-1,4)$
B.$(1,2)$
C.$(-1,1)$
D.$(0,2)$

2.D

【分析】
要解决本题，可先将原二次函数化为顶点式得到原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则对顶点坐标进行平移计算：点向右平移时横坐标加对应平移单位，向下平移时纵坐标减对应平移单位，即可得到平移后抛物线的顶点坐标。
【解析】
步骤1：将原二次函数化为顶点式，求原顶点坐标
对$y=-x^2 -2x +3$配方：
$\begin{aligned}y&=-(x^2+2x)+3\\&=-(x^2+2x+1-1)+3\\&=-(x+1)^2 +1 +3\\&=-(x+1)^2 +4\end{aligned}$
因此原抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$。
步骤2：根据平移规则计算平移后的顶点坐标
图象先向右平移1个单位长度，顶点横坐标变为：$-1+1=0$；
再向下平移2个单位长度，顶点纵坐标变为：$4-2=2$。
所以平移后抛物线的顶点坐标是$(0,2)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数配方，函数图象平移规律，顶点坐标计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次函数图象平移的性质，既可以通过平移顶点坐标求解，也可以先写出平移后的函数解析式再提取顶点坐标，解题核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则。
【难度系数】
0.8

3.将抛物线$y=x^2 -8x +3$先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是。

3.(2,-9)

【分析】
要解决抛物线平移后求顶点坐标的问题，首先明确：抛物线平移时仅位置改变，形状、开口方向不变，顶点同步平移。因此解题思路为：①先用配方法将原二次函数的一般式转化为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标；②根据“左加右减（针对横坐标）、上加下减（针对纵坐标）”的平移规则，对原顶点坐标进行变换，即可得到平移后新抛物线的顶点坐标。
【解析】
第一步：将原抛物线解析式化为顶点式，求原顶点坐标：
对$y=x^2 -8x +3$配方：
$y=x^2 -8x + 16 - 16 + 3$
$y=(x-4)^2 - 13$
因此原抛物线的顶点坐标为$(4,-13)$。
第二步：根据平移规则计算新顶点坐标：
向左平移2个单位长度，横坐标减2：$4-2=2$；
向上平移4个单位长度，纵坐标加4：$-13 + 4 = -9$。
因此平移后抛物线的顶点坐标为$(2,-9)$。
【答案】
$(2,-9)$
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数图象的平移规律
【点评】
本题属于基础题型，重点考查配方法求二次函数顶点坐标以及二次函数图象平移的性质，解题关键是熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则，避免平移方向搞混导致出错。
【难度系数】
0.8

4.已知二次函数$y=ax^2-2ax$的图象开口向上，点A(-2，$y_1$)和点B(0，$y_2$)是该抛物线上的两点，那么$y_1$$y_2$(填“＞”“=”或“＜”).

4.＞

【分析】
要比较抛物线上两点的函数值大小，有两种常规思路：一是利用二次函数的增减性，先求出抛物线的对称轴，结合开口向上的性质，判断两点到对称轴的距离，距离越远函数值越大；二是直接将两点坐标代入函数表达式，结合a＞0的条件计算$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
方法1：利用对称轴和开口方向判断
对于二次函数$y=ax^2-2ax$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$b=-2a$，代入得对称轴为：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$
$\because$ 抛物线开口向上，$\therefore$ 抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。
点A(-2,$y_1$)到对称轴$x=1$的距离为$|-2-1|=3$，点B(0,$y_2$)到对称轴$x=1$的距离为$|0-1|=1$。
$\because 3＞1$，$\therefore y_1＞y_2$。
方法2：代入计算法
将点A(-2,$y_1$)代入$y=ax^2-2ax$得：
$y_1=a×(-2)^2 -2a×(-2)=4a+4a=8a$
将点B(0,$y_2$)代入$y=ax^2-2ax$得：
$y_2=a×0^2 -2a×0=0$
$\because$ 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$，则$8a＞0$，即$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
二次函数的性质；二次函数对称轴求法；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都属于常规考法，解题的关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值变化的关系，也可通过直接代入坐标计算快速得到结果。
【难度系数】
0.8

5.如图,抛物线$y=ax^2+bx+3$交$x$轴于点$A,B$,与$y$轴交于点$C$,点$A$的坐标为$(-1,0)$,对称轴交$x$轴于点$E(m,0)$(且$m＞0$),过点$C$作$CD// x$轴,交对称轴于点$D$,连接$BD$.
(1)当$m=1$时,求点$B$的坐标和抛物线的解析式;
(2)若$CD+BD=5$,求$m$的值.

5.【解】(1)当$m=1$时,点 E 坐标为$(1,0)$,
∴抛物线的对称轴为直线$x=1$.
∵点$A(-1,0)$与点 B 关于直线$x=1$对称,
∴点$B(3,0)$.
∴抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-3)$,
即$y=ax^2-2ax-3a$.
∵$-3a=3$,解得$a=-1$.
∴抛物线的解析式为$y=-x^2+2x+3$.
(2)当$x=0$时,$y=ax^2+bx+3=3$,则点$C(0,3)$.
∴$DE=3$.
∴点$D(m,3)$.
∵$BE=AE=m+1$,
∴$BD=\sqrt{3^2+(m+1)^2}$.
而$CD+BD=5$,
∴$m+\sqrt{3^2+(m+1)^2}=5$,解得$m=\frac{5}{4}$.

【分析】
(1) 已知抛物线对称轴为直线$x=m$，当$m=1$时先确定对称轴，再利用二次函数与x轴交点关于对称轴对称的性质，结合已知A点坐标求出B点坐标；之后用交点式设抛物线解析式，代入抛物线与y轴交点的纵坐标即可求出参数$a$，得到解析式。
(2) 先求抛物线与y轴交点C的坐标，结合$CD// x$轴、D在对称轴上，确定D点坐标可得$CD$的长度；再由对称性得到B点坐标，用勾股定理表示出$BD$的长度，结合$CD+BD=5$列方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
(1) 当$m=1$时，点$E$坐标为$(1,0)$，因此抛物线的对称轴为直线$x=1$。
∵点$A(-1,0)$与点$B$关于直线$x=1$对称，设$B(x,0)$，则$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$，即点$B$坐标为$(3,0)$。
设抛物线解析式为$y=a(x+1)(x-3)$，展开得$y=ax^2-2ax-3a$。
当$x=0$时，$y=3$，代入得$-3a=3$，解得$a=-1$。
∴抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 当$x=0$时，代入$y=ax^2+bx+3$得$y=3$，
∴点$C$坐标为$(0,3)$。
∵$CD// x$轴，$D$在对称轴$x=m$上，
∴$D$点坐标为$(m,3)$，则$CD=m$。
由对称性可知，点$B$坐标为$(2m+1,0)$，则$BE=(2m+1)-m=m+1$。
在$Rt△ BED$中，由勾股定理得$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{(m+1)^2+3^2}$。
∵$CD+BD=5$，代入得$m+\sqrt{(m+1)^2+9}=5$，
移项平方得$(m+1)^2+9=(5-m)^2$，
展开整理得$12m=15$，解得$m=\frac{5}{4}$，经检验符合题意。
【答案】
(1) 点$B$的坐标为$\boldsymbol{(3,0)}$，抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-x^2+2x+3}$；
(2) $\boldsymbol{m=\frac{5}{4}}$
【知识点】
二次函数的对称性，待定系数法求解析式，勾股定理应用
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，将二次函数图象性质与线段长度计算结合，解题核心是利用二次函数的对称性完成点坐标的转化，再结合几何关系列方程求解，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7