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14. 在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$BC=3AD$，$E$是$AB$中点. 如果点$F$在边$DC$上，使得线段$EF$把梯形分成面积相等的两个部分，那么$\frac{DF}{DC}=$
$\frac{3}{4}$
.答案
14. $\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
我们可以先通过设参数表示梯形的上下底和高，算出梯形总面积，进而得到平分后每部分的面积；接着连接辅助线DE、CE，利用E是AB中点的性质，分别算出△ADE和△BCE的面积，得到△CDE的面积；再将四边形AEFD的面积拆分为△ADE和△DEF的面积和，求出△DEF的面积；最后根据△DEF和△CEF同高，面积比等于底边长之比，即可求出DF与DC的比值。
【解析】
设AD=a，则BC=3a，梯形ABCD的高为h。
1. 计算梯形总面积：
$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· h=\frac{1}{2}(a+3a)h=2ah$
由EF平分梯形面积，得$S_{四边形AEFD}=\frac{1}{2}S_{梯形ABCD}=ah$。
2. 计算△ADE、△BCE的面积：
∵E是AB中点，
∴E到AD、BC的距离均为$\frac{h}{2}$。
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}· AD· \frac{h}{2}=\frac{1}{2}· a· \frac{h}{2}=\frac{ah}{4}$
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}· BC· \frac{h}{2}=\frac{1}{2}· 3a· \frac{h}{2}=\frac{3ah}{4}$
3. 计算△CDE的面积：
$S_{△ CDE}=S_{梯形ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BCE}=2ah-\frac{ah}{4}-\frac{3ah}{4}=ah$
4. 求△DEF的面积：
$S_{△ DEF}=S_{四边形AEFD}-S_{△ ADE}=ah-\frac{ah}{4}=\frac{3ah}{4}$
$S_{△ CEF}=S_{△ CDE}-S_{△ DEF}=ah-\frac{3ah}{4}=\frac{ah}{4}$
5. 求比值：
∵△DEF和△CEF同高（以E到DC的垂线段为公共高），
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ CEF}}=\frac{DF}{FC}=\frac{\frac{3ah}{4}}{\frac{ah}{4}}=\frac{3}{1}$
∴$\frac{DF}{DC}=\frac{DF}{DF+FC}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
梯形面积计算，同高三角形面积比性质，线段中点性质
【点评】
本题主要考察面积转化的技巧，解题关键是通过连接辅助线将不规则四边形的面积拆分为规则三角形的面积和，结合三角形面积与底边的正比关系求解，对图形拆分能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
我们可以先通过设参数表示梯形的上下底和高，算出梯形总面积，进而得到平分后每部分的面积；接着连接辅助线DE、CE，利用E是AB中点的性质，分别算出△ADE和△BCE的面积，得到△CDE的面积；再将四边形AEFD的面积拆分为△ADE和△DEF的面积和，求出△DEF的面积；最后根据△DEF和△CEF同高，面积比等于底边长之比，即可求出DF与DC的比值。
【解析】
设AD=a，则BC=3a，梯形ABCD的高为h。
1. 计算梯形总面积：
$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)· h=\frac{1}{2}(a+3a)h=2ah$
由EF平分梯形面积，得$S_{四边形AEFD}=\frac{1}{2}S_{梯形ABCD}=ah$。
2. 计算△ADE、△BCE的面积：
∵E是AB中点，
∴E到AD、BC的距离均为$\frac{h}{2}$。
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}· AD· \frac{h}{2}=\frac{1}{2}· a· \frac{h}{2}=\frac{ah}{4}$
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}· BC· \frac{h}{2}=\frac{1}{2}· 3a· \frac{h}{2}=\frac{3ah}{4}$
3. 计算△CDE的面积：
$S_{△ CDE}=S_{梯形ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BCE}=2ah-\frac{ah}{4}-\frac{3ah}{4}=ah$
4. 求△DEF的面积：
$S_{△ DEF}=S_{四边形AEFD}-S_{△ ADE}=ah-\frac{ah}{4}=\frac{3ah}{4}$
$S_{△ CEF}=S_{△ CDE}-S_{△ DEF}=ah-\frac{3ah}{4}=\frac{ah}{4}$
5. 求比值：
∵△DEF和△CEF同高（以E到DC的垂线段为公共高），
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ CEF}}=\frac{DF}{FC}=\frac{\frac{3ah}{4}}{\frac{ah}{4}}=\frac{3}{1}$
∴$\frac{DF}{DC}=\frac{DF}{DF+FC}=\frac{3}{3+1}=\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
梯形面积计算，同高三角形面积比性质，线段中点性质
【点评】
本题主要考察面积转化的技巧，解题关键是通过连接辅助线将不规则四边形的面积拆分为规则三角形的面积和，结合三角形面积与底边的正比关系求解，对图形拆分能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
15. 校动会期间，某学校在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状. 如图，数学小组想了解拱门的高度，先测量得拱门两端距离$AB=8\ \mathrm{m}$，再立两根长度为$2\ \mathrm{m}$的标杆$CE$、$DF$垂直于地面并让其顶端点$C$、$D$碰触到拱门. 若测量出两标杆间的距离$EF=6\ \mathrm{m}$，则此拱门(不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为
$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
.答案
15. $\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
要解决抛物线形拱门的高度问题，可通过建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数求解问题。为简化计算，选择以AB所在直线为x轴、AB中点为坐标原点建系，此时抛物线对称轴为y轴，可设解析式为$y=ax^2+k$（$a≠0$），再将已知点坐标代入解析式，解方程组求出$k$的值，$k$就是拱门的最大高度（顶点纵坐标）。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系。
由$AB=8\ \mathrm{m}$，得点B坐标为$(4,0)$；
由$EF=6\ \mathrm{m}$，$CE=DF=2\ \mathrm{m}$，得点D坐标为$(3,2)$。
∵抛物线对称轴为y轴，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2+k$（$a≠0$），
将$B(4,0)$、$D(3,2)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a + k = 0 \\9a + k = 2 \end{cases}$
两式相减得$7a=-2$，解得$a=-\frac{2}{7}$，
将$a=-\frac{2}{7}$代入$16a + k = 0$，得$k=-16×(-\frac{2}{7})=\frac{32}{7}$。
抛物线顶点坐标为$(0,\frac{32}{7})$，即拱门高度为$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用题型，解题的核心是合理建立平面直角坐标系简化运算，掌握待定系数法求二次函数解析式即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
要解决抛物线形拱门的高度问题，可通过建立平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数求解问题。为简化计算，选择以AB所在直线为x轴、AB中点为坐标原点建系，此时抛物线对称轴为y轴，可设解析式为$y=ax^2+k$（$a≠0$），再将已知点坐标代入解析式，解方程组求出$k$的值，$k$就是拱门的最大高度（顶点纵坐标）。
【解析】
解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系。
由$AB=8\ \mathrm{m}$，得点B坐标为$(4,0)$；
由$EF=6\ \mathrm{m}$，$CE=DF=2\ \mathrm{m}$，得点D坐标为$(3,2)$。
∵抛物线对称轴为y轴，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2+k$（$a≠0$），
将$B(4,0)$、$D(3,2)$代入解析式得：
$\begin{cases}16a + k = 0 \\9a + k = 2 \end{cases}$
两式相减得$7a=-2$，解得$a=-\frac{2}{7}$，
将$a=-\frac{2}{7}$代入$16a + k = 0$，得$k=-16×(-\frac{2}{7})=\frac{32}{7}$。
抛物线顶点坐标为$(0,\frac{32}{7})$，即拱门高度为$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\frac{32}{7}\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用题型，解题的核心是合理建立平面直角坐标系简化运算，掌握待定系数法求二次函数解析式即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
16. 如图，已知点A(2,0)、B(6,0)和C(4,2). 平移△ABC得到△A'B'C'，使得点A'、B'都在抛物线y=$\frac{1}{2}x^2$上，那么点C到点C'的距离是
$2\sqrt{5}$
. 答案
16. $2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
解题时首先利用平移的性质：平移前后对应点的水平位移、竖直位移均相同，可知平移后点A'、B'的纵坐标相等，且横坐标之差等于原A、B的横坐标之差4。再结合抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$关于y轴对称的性质，纵坐标相等的两个点横坐标互为相反数，据此可求出A'、B'的坐标，得到平移向量后即可求出点C'的坐标，最后用两点间距离公式计算C到C'的距离即可。
【解析】
1. 由平移性质可知：平移后A'、B'的纵坐标相等，且横坐标差为$6-2=4$。
设$A'(x_1,y_0)$，$B'(x_2,y_0)$，则$x_2 - x_1 = 4$。
2. 因为A'、B'在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$上，所以$y_0=\frac{1}{2}x_1^2=\frac{1}{2}x_2^2$，即$x_1^2=x_2^2$。
由于$x_2＞x_1$，故$x_2=-x_1$，代入$x_2 - x_1=4$得：$-x_1 -x_1=4$，解得$x_1=-2$，$x_2=2$。
3. 代入抛物线解析式得$y_0=\frac{1}{2}×(-2)^2=2$，即$A'(-2,2)$。
4. 计算平移量：水平平移量为$-2-2=-4$（向左平移4个单位），竖直平移量为$2-0=2$（向上平移2个单位）。
5. 求点C平移后的坐标$C'$：$C(4,2)$平移后为$(4-4,2+2)=(0,4)$。
6. 由两点间距离公式，$CC'=\sqrt{(4-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
平移的性质；二次函数的对称性；两点间距离公式
【点评】
本题综合考查了平移性质和二次函数图像性质的应用，解题的突破口是抓住平移后A'、B'纵坐标相等的特点，结合二次函数对称性快速确定两点坐标，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用平移的性质：平移前后对应点的水平位移、竖直位移均相同，可知平移后点A'、B'的纵坐标相等，且横坐标之差等于原A、B的横坐标之差4。再结合抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$关于y轴对称的性质，纵坐标相等的两个点横坐标互为相反数，据此可求出A'、B'的坐标，得到平移向量后即可求出点C'的坐标，最后用两点间距离公式计算C到C'的距离即可。
【解析】
1. 由平移性质可知：平移后A'、B'的纵坐标相等，且横坐标差为$6-2=4$。
设$A'(x_1,y_0)$，$B'(x_2,y_0)$，则$x_2 - x_1 = 4$。
2. 因为A'、B'在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$上，所以$y_0=\frac{1}{2}x_1^2=\frac{1}{2}x_2^2$，即$x_1^2=x_2^2$。
由于$x_2＞x_1$，故$x_2=-x_1$，代入$x_2 - x_1=4$得：$-x_1 -x_1=4$，解得$x_1=-2$，$x_2=2$。
3. 代入抛物线解析式得$y_0=\frac{1}{2}×(-2)^2=2$，即$A'(-2,2)$。
4. 计算平移量：水平平移量为$-2-2=-4$（向左平移4个单位），竖直平移量为$2-0=2$（向上平移2个单位）。
5. 求点C平移后的坐标$C'$：$C(4,2)$平移后为$(4-4,2+2)=(0,4)$。
6. 由两点间距离公式，$CC'=\sqrt{(4-0)^2+(2-4)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
平移的性质；二次函数的对称性；两点间距离公式
【点评】
本题综合考查了平移性质和二次函数图像性质的应用，解题的突破口是抓住平移后A'、B'纵坐标相等的特点，结合二次函数对称性快速确定两点坐标，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
17. 若抛物线$ C_1 $的顶点在抛物线$ C_2 $上，且抛物线$ C_2 $的顶点也在抛物线$ C_1 $上，则称抛物线$ C_1 $与$ C_2 $是“互为关联”的抛物线. 与抛物线$ y=2x^2 -1 $互为关联且顶点不同的抛物线是________.（只需写出一个）
答案
17. $y=-2x^2+4x-1$.（答案不唯一）
解析
【分析】
首先要理解“互为关联”抛物线的定义：两条抛物线的顶点分别在对方的抛物线上，且顶点不同。解题思路分三步：1. 先求出已知抛物线$y=2x^2 -1$的顶点坐标；2. 在已知抛物线上任取一个与它顶点不同的点，作为待求抛物线的顶点；3. 设待求抛物线的顶点式，将已知抛物线的顶点代入解析式求出未知参数，即可得到满足条件的抛物线。
【解析】
步骤1：求已知抛物线的顶点坐标
对于抛物线$y=2x^2 -1$，属于$y=ax^2+k$的形式，其顶点坐标为$(0,-1)$。
步骤2：确定待求抛物线的顶点
在$y=2x^2 -1$上选取一个与$(0,-1)$不同的点，例如令$x=1$，代入得$y=2×1^2 -1=1$，即取待求抛物线的顶点为$(1,1)$。
步骤3：设顶点式求解析式
设待求抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2 +1$，根据“互为关联”的要求，已知抛物线的顶点$(0,-1)$需在待求抛物线上，将$x=0,y=-1$代入解析式：
$-1=a(0-1)^2 +1$
解得$a=-2$
因此待求抛物线解析式为$y=-2(x-1)^2 +1$，展开得$y=-2x^2 +4x -1$。
（注：答案不唯一，只要满足两个顶点互在对方抛物线上且顶点不同即可）
【答案】
$y=-2x^2+4x-1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的顶点坐标；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是新定义类开放题型，解题核心是把新定义转化为二次函数的性质应用，只要抓住“两个顶点分别在对方抛物线上”的条件，灵活运用顶点式求解即可，解题时可以灵活选择待求抛物线的顶点，得到不同的正确答案。
【难度系数】
0.7
首先要理解“互为关联”抛物线的定义：两条抛物线的顶点分别在对方的抛物线上，且顶点不同。解题思路分三步：1. 先求出已知抛物线$y=2x^2 -1$的顶点坐标；2. 在已知抛物线上任取一个与它顶点不同的点，作为待求抛物线的顶点；3. 设待求抛物线的顶点式，将已知抛物线的顶点代入解析式求出未知参数，即可得到满足条件的抛物线。
【解析】
步骤1：求已知抛物线的顶点坐标
对于抛物线$y=2x^2 -1$，属于$y=ax^2+k$的形式，其顶点坐标为$(0,-1)$。
步骤2：确定待求抛物线的顶点
在$y=2x^2 -1$上选取一个与$(0,-1)$不同的点，例如令$x=1$，代入得$y=2×1^2 -1=1$，即取待求抛物线的顶点为$(1,1)$。
步骤3：设顶点式求解析式
设待求抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2 +1$，根据“互为关联”的要求，已知抛物线的顶点$(0,-1)$需在待求抛物线上，将$x=0,y=-1$代入解析式：
$-1=a(0-1)^2 +1$
解得$a=-2$
因此待求抛物线解析式为$y=-2(x-1)^2 +1$，展开得$y=-2x^2 +4x -1$。
（注：答案不唯一，只要满足两个顶点互在对方抛物线上且顶点不同即可）
【答案】
$y=-2x^2+4x-1$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的顶点式；二次函数的顶点坐标；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是新定义类开放题型，解题核心是把新定义转化为二次函数的性质应用，只要抓住“两个顶点分别在对方抛物线上”的条件，灵活运用顶点式求解即可，解题时可以灵活选择待求抛物线的顶点，得到不同的正确答案。
【难度系数】
0.7
18. 某同学想要测量校园内文化长廊〔如图(1)〕最高点到地面的高度. 图(2)是其测量示意图. 点A、B、C、D、E在同一竖直平面内，线段EF垂直平分线段AB，垂足为F. 线段EF垂直平分线段CD，且与CD交于点G. 若经测量，AB=3.0 m，CD=5.0 m，∠ABD=135°，∠BDE=92°，则文化长廊的最高点到地面的高度EF约为
3.7
m.（结果保留一位小数，参考数据：$\sin 47° \approx 0.73$，$\cos 47° \approx 0.68$，$\tan 47° \approx 1.07$，$\sqrt{2} \approx 1.41$）答案
18. 3.7.
解析
【分析】解题时首先根据线段垂直平分线的性质得到AB、CD一半的长度，由EF同时垂直AB和CD可推出CD与AB平行，结合已知∠ABD的度数求出∠CDB的度数；作辅助线构造含45°角的直角三角形，求出GF的长度，再根据∠BDE的度数算出Rt△EGD中锐角∠EDG的度数，最后利用正切函数求出EG的长度，EG与GF相加就是EF的高度。
【解析】
解：
∵EF垂直平分AB，EF垂直平分CD，
∴$FB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3.0=1.5\ \mathrm{m}$，$GD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×5.0=2.5\ \mathrm{m}$，$CD// AB$，$∠ EGD=90°$。
过点D作$DH⊥ AB$，交AB的延长线于点H，
则四边形DGFH为矩形，因此$DH=GF$，$FH=GD=2.5\ \mathrm{m}$，
∴$BH=FH-FB=2.5-1.5=1\ \mathrm{m}$。
∵$∠ ABD=135°$，
∴$∠ DBH=180°-135°=45°$，
在$Rt△ DHB$中，$∠ DBH=45°$，故$DH=BH=1\ \mathrm{m}$，即$GF=1\ \mathrm{m}$。
∵$∠ BDE=92°$，$∠ CDB=45°$，
∴$∠ EDG=∠ BDE-∠ CDB=92°-45°=47°$。
在$Rt△ EGD$中，$\tan∠ EDG=\frac{EG}{GD}$，
∴$EG=GD·\tan47°\approx2.5×1.07=2.675\ \mathrm{m}$。
因此$EF=EG+GF\approx2.675+1\approx3.7\ \mathrm{m}$。
【答案】3.7
【知识点】垂直平分线性质，平行线性质，解直角三角形
【点评】本题结合实际测量场景，考查了几何基本性质与锐角三角函数的综合应用，解题的关键是梳理图形中的角度和线段关系，合理构造直角三角形逐步求解。
【难度系数】0.6
【解析】
解：
∵EF垂直平分AB，EF垂直平分CD，
∴$FB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×3.0=1.5\ \mathrm{m}$，$GD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×5.0=2.5\ \mathrm{m}$，$CD// AB$，$∠ EGD=90°$。
过点D作$DH⊥ AB$，交AB的延长线于点H，
则四边形DGFH为矩形，因此$DH=GF$，$FH=GD=2.5\ \mathrm{m}$，
∴$BH=FH-FB=2.5-1.5=1\ \mathrm{m}$。
∵$∠ ABD=135°$，
∴$∠ DBH=180°-135°=45°$，
在$Rt△ DHB$中，$∠ DBH=45°$，故$DH=BH=1\ \mathrm{m}$，即$GF=1\ \mathrm{m}$。
∵$∠ BDE=92°$，$∠ CDB=45°$，
∴$∠ EDG=∠ BDE-∠ CDB=92°-45°=47°$。
在$Rt△ EGD$中，$\tan∠ EDG=\frac{EG}{GD}$，
∴$EG=GD·\tan47°\approx2.5×1.07=2.675\ \mathrm{m}$。
因此$EF=EG+GF\approx2.675+1\approx3.7\ \mathrm{m}$。
【答案】3.7
【知识点】垂直平分线性质，平行线性质，解直角三角形
【点评】本题结合实际测量场景，考查了几何基本性质与锐角三角函数的综合应用，解题的关键是梳理图形中的角度和线段关系，合理构造直角三角形逐步求解。
【难度系数】0.6
