三、解答题
19. 计算：$\cos 60° + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin 45° + \tan 30° · \cos 30°$

19. $\frac{3}{2}$.

【分析】
本题考查特殊角三角函数值的混合运算，解题思路分为三步：第一步，准确回忆30°、45°、60°这三个常用特殊角的三角函数值；第二步，将各个三角函数值代入原式，按照先乘除后加减的运算顺序，结合二次根式的乘法规则分别计算每一项的结果；第三步，将各项计算结果相加得到最终答案，计算过程中注意核对数值，避免记错三角函数值或者算错二次根式。
【解析】
首先写出各特殊角对应的三角函数值：
$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{1}{2} + \frac{(\sqrt{2})^2}{4} + \frac{(\sqrt{3})^2}{6}\\&=\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{6}\\&=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式运算；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对特殊角三角函数值的记忆熟练度，以及基础的运算能力，只要准确识记特殊角的三角函数值，遵循实数运算顺序计算即可得分，属于易得分题型。
【难度系数】
0.85

20. 如图，O是△ABC的边BC上一点，连接AO，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，分别连接DE和DF。求证：△ABC∽△DEF。

20. 因为 D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，所以 $DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=2$。所以$△ ABC∽△ DEF$.

【分析】
要证明△ABC∽△DEF，首先结合已知条件分析：题目给出多组线段中点，可优先联想到三角形中位线定理，通过中位线性质得到两个三角形对应边的数量关系，再验证三组对应边的比值相等，即可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理完成证明。
【解析】
证明：
1. 推导对应边的数量关系
因为D、E分别是OA、OB的中点，所以DE是△OAB的中位线，可得$DE=\frac{1}{2}AB$；
同理，E、F分别是OB、OC的中点，EF是△OBC的中位线，可得$EF=\frac{1}{2}BC$；
D、F分别是OA、OC的中点，DF是△OAC的中位线，可得$DF=\frac{1}{2}AC$。
2. 验证对应边成比例
由上述结论可得三组对应边的比值相等：$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=2$。
3. 判定三角形相似
根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可证得△ABC∽△DEF。
【答案】
因为 D、E、F 分别是 OA、OB、OC 的中点，所以 $DE=\frac{1}{2}AB$，$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=2$。所以$△ ABC∽△ DEF$.
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是熟练运用三角形中位线定理得到边的比例关系，再结合相似三角形的判定定理即可求解，侧重考查基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.85