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21. 如图，已知四边形ABCD对角线AC、BD交于点E. F是线段BD上一点，连接AF，∠BAC=∠FAD=∠CDB.
（1）求证：$△ ABF ∽ △ ACD$.
（2）已知$BC=12$，$AD=27$，$DF=18$，求AC的长.
（1）求证：$△ ABF ∽ △ ACD$.
（2）已知$BC=12$，$AD=27$，$DF=18$，求AC的长.
答案
21. (1) 已知四边形 ABCD 对角线 AC、BD 交于点 E，$∠ BAC=∠ FAD=∠ CDB$，因此$∠ BAC+∠ CAF=∠ FAD+∠ CAF$，即$∠ BAF=∠ CAD$。因为$∠ DAF+∠ ADB=∠ AFB$，$∠ ADC=∠ ADF+∠ CDB$，且$∠ DAF=∠ CDB$，所以$∠ AFB=∠ ADC$。所以$△ ABF∽△ ACD$.
(2) 因为$△ ABF ∽ △ ACD$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AD}$。因为$∠ BAC=∠ FAD$，所以$△ BAC∽△ FAD$。所以$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{FD}$。因为 $BC=12$，$AD=27$，$DF=18$，所以$\frac{AC}{27}=\frac{12}{18}$. $AC=18$.
(2) 因为$△ ABF ∽ △ ACD$，所以$\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AD}$。因为$∠ BAC=∠ FAD$，所以$△ BAC∽△ FAD$。所以$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{FD}$。因为 $BC=12$，$AD=27$，$DF=18$，所以$\frac{AC}{27}=\frac{12}{18}$. $AC=18$.
解析
【分析】
（1）要证明△ABF∽△ACD，需找到两组对应角相等。首先利用已知∠BAC=∠FAD，两角同时加公共角∠CAF可得到∠BAF=∠CAD；再结合∠FAD=∠CDB，通过三角形外角性质和角的和差关系推导∠AFB=∠ADC，即可通过“两角对应相等，两三角形相似”完成证明。
（2）由（1）的相似结论可得对应边成比例，结合已知∠BAC=∠FAD，可证明△BAC∽△FAD，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度即可求出AC的长。
【解析】
（1）证明：
∵ $∠ BAC=∠ FAD$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAF = ∠ FAD + ∠ CAF$，即$∠ BAF=∠ CAD$。
∵ $∠ AFB$是$△ AFD$的外角，
∴ $∠ AFB = ∠ FAD + ∠ ADB$，
又
∵ $∠ ADC = ∠ ADB + ∠ CDB$，且已知$∠ FAD=∠ CDB$，
∴ $∠ AFB = ∠ ADC$。
在$△ ABF$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ BAF=∠ CAD \\∠ AFB=∠ ADC\end{cases}$
∴ $△ ABF ∽ △ ACD$（两角对应相等，两三角形相似）。
（2）解：
由（1）知$△ ABF ∽ △ ACD$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AD}$，变形得$\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AD}$。
又
∵ $∠ BAC=∠ FAD$，
∴ $△ BAC ∽ △ FAD$（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）。
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DF}$。
将$BC=12$，$AD=27$，$DF=18$代入比例式得：
$\frac{AC}{27}=\frac{12}{18}$
解得$AC=\frac{12 × 27}{18}=18$。
【答案】
（1）证明成立，见解析；
（2）$\boldsymbol{AC=18}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题核心是利用已知等角推导相似所需的对应角相等，再结合相似的性质建立比例关系求解线段长度，解题时需注意准确匹配相似三角形的对应边、对应角，避免混淆出错。
【难度系数】
0.65
（1）要证明△ABF∽△ACD，需找到两组对应角相等。首先利用已知∠BAC=∠FAD，两角同时加公共角∠CAF可得到∠BAF=∠CAD；再结合∠FAD=∠CDB，通过三角形外角性质和角的和差关系推导∠AFB=∠ADC，即可通过“两角对应相等，两三角形相似”完成证明。
（2）由（1）的相似结论可得对应边成比例，结合已知∠BAC=∠FAD，可证明△BAC∽△FAD，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度即可求出AC的长。
【解析】
（1）证明：
∵ $∠ BAC=∠ FAD$，
∴ $∠ BAC + ∠ CAF = ∠ FAD + ∠ CAF$，即$∠ BAF=∠ CAD$。
∵ $∠ AFB$是$△ AFD$的外角，
∴ $∠ AFB = ∠ FAD + ∠ ADB$，
又
∵ $∠ ADC = ∠ ADB + ∠ CDB$，且已知$∠ FAD=∠ CDB$，
∴ $∠ AFB = ∠ ADC$。
在$△ ABF$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ BAF=∠ CAD \\∠ AFB=∠ ADC\end{cases}$
∴ $△ ABF ∽ △ ACD$（两角对应相等，两三角形相似）。
（2）解：
由（1）知$△ ABF ∽ △ ACD$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AD}$，变形得$\frac{AB}{AF}=\frac{AC}{AD}$。
又
∵ $∠ BAC=∠ FAD$，
∴ $△ BAC ∽ △ FAD$（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）。
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{DF}$。
将$BC=12$，$AD=27$，$DF=18$代入比例式得：
$\frac{AC}{27}=\frac{12}{18}$
解得$AC=\frac{12 × 27}{18}=18$。
【答案】
（1）证明成立，见解析；
（2）$\boldsymbol{AC=18}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题核心是利用已知等角推导相似所需的对应角相等，再结合相似的性质建立比例关系求解线段长度，解题时需注意准确匹配相似三角形的对应边、对应角，避免混淆出错。
【难度系数】
0.65
22. 如图，为测量电视塔的高度，某兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔尖处的仰角为$45°$，塔底B处的俯角为$21.8°$. 已知建筑物的高CD为68 m，求电视塔AB的高度.（结果精确到1 m，参考数据：$\sin 21.8° \approx 0.37$，$\cos 21.8° \approx 0.928$，$\tan 21.8° \approx 0.400$）
答案
22. 238 m.
解析
【分析】
遇到仰角、俯角的测量高度问题，通常通过作垂线构造直角三角形和矩形，将未知量拆分到两个直角三角形中求解。首先过D作DE垂直AB于E，可得四边形DCBE是矩形，因此BE=CD=68m；先在含21.8°俯角的Rt△DEB中，利用正切函数求出DE的长度，再根据45°仰角可得Rt△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，最后AB=AE+BE即可算出结果。
【解析】
过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E。
$\because DC ⊥ CB$，$AB ⊥ CB$，$DE ⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形DCBE是矩形，
$\therefore BE=CD=68\ \mathrm{m}$，$DE=BC$。
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，$∠ EDB=21.8°$，
$\tan∠ EDB=\frac{BE}{DE}$，
$\therefore DE=\frac{BE}{\tan21.8°}\approx\frac{68}{0.400}=170\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=45°$，$∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ DAE=45°$，即$\mathrm{Rt}△ ADE$为等腰直角三角形，
$\therefore AE=DE=170\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB=AE+BE=170+68=238\ \mathrm{m}$。
【答案】
238 m
【知识点】
1. 仰角俯角应用 2. 矩形的性质 3. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际问题中的角度、长度条件转化为直角三角形的边角关系进行计算，解题思路清晰，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
遇到仰角、俯角的测量高度问题，通常通过作垂线构造直角三角形和矩形，将未知量拆分到两个直角三角形中求解。首先过D作DE垂直AB于E，可得四边形DCBE是矩形，因此BE=CD=68m；先在含21.8°俯角的Rt△DEB中，利用正切函数求出DE的长度，再根据45°仰角可得Rt△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，最后AB=AE+BE即可算出结果。
【解析】
过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E。
$\because DC ⊥ CB$，$AB ⊥ CB$，$DE ⊥ AB$，
$\therefore$ 四边形DCBE是矩形，
$\therefore BE=CD=68\ \mathrm{m}$，$DE=BC$。
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，$∠ EDB=21.8°$，
$\tan∠ EDB=\frac{BE}{DE}$，
$\therefore DE=\frac{BE}{\tan21.8°}\approx\frac{68}{0.400}=170\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ ADE=45°$，$∠ AED=90°$，
$\therefore ∠ DAE=45°$，即$\mathrm{Rt}△ ADE$为等腰直角三角形，
$\therefore AE=DE=170\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB=AE+BE=170+68=238\ \mathrm{m}$。
【答案】
238 m
【知识点】
1. 仰角俯角应用 2. 矩形的性质 3. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形与矩形，将实际问题中的角度、长度条件转化为直角三角形的边角关系进行计算，解题思路清晰，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
