23. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E是BC边上的一点，且OA·BE=OE·CE.
（1）求证：四边形AECD是平行四边形.
（2）已知∠BDE=∠DAE，求证：OB·CD=BE·DE.

23. (1) 因为 $AD // BC$，所以 $∠ ADO=∠ EBO$，$∠ DAO=∠ BEO$. 所以 $△ ADO∽△ EBO$. $\frac{OA}{OE}=\frac{OD}{OB}$. 因为 $OA · BE = OE · CE$，所以 $\frac{OA}{OE}=\frac{CE}{BE}$. 所以 $\frac{OD}{OB}=\frac{CE}{BE}$，$\frac{OD+OB}{OB}=\frac{CE+BE}{BE}$，即$\frac{BD}{BO}=\frac{BC}{BE}$. 又因为 $∠ OBE=∠ DBC$，所以 $△ OBE∽△ DBC$. 所以 $∠ BOE=∠ BDC$. 所以 $OE // CD$，即 $AE // CD$.
(2) 因为$∠ BDE=∠ DAE$，$∠ OED=∠ DEA$，所以$△ DOE∽△ ADE$，所以$\frac{DE}{AE}=\frac{OD}{AD}$. 因为 $AD // BC$，所以 $∠ ADO=∠ EBO$，$∠ DAO=∠ BEO$，所以 $△ ADO∽△ EBO$. 所以 $\frac{OD}{AD}=\frac{OB}{BE}$. 所以 $\frac{DE}{AE}=\frac{OB}{BE}$. 因为 AECD 是平行四边形，所以 $AE=CD$. 所以 $\frac{DE}{CD}=\frac{OB}{BE}$，即 $OB · CD=BE · DE$.

【分析】
（1）要证明四边形AECD是平行四边形，已知$AD// BC$，因此只需再证明$AE// CD$即可。首先由$AD// BC$可推出$△ ADO∽△ EBO$，得到对应边成比例；再将已知的乘积式$OA· BE=OE· CE$转化为比例式，结合前序比例关系推导新的比例，证明$△ OBE∽△ DBC$，得到同位角相等即可推出$AE// CD$，进而证得平行四边形。
（2）要证明$OB· CD=BE· DE$，可先将乘积式转化为比例式，通过相似三角形得到对应比例关系。首先利用已知角相等$∠ BDE=∠ DAE$和公共角证明$△ DOE∽△ ADE$，得到一组比例；再结合$△ ADO∽△ EBO$的比例关系，最后利用平行四边形对边相等的性质做等量代换，整理即可得到要证的结论。
【解析】
（1）证明：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ ADO=∠ EBO$，$∠ DAO=∠ BEO$，
$\therefore △ ADO∽△ EBO$，可得$\frac{OA}{OE}=\frac{OD}{OB}$。
$\because OA· BE=OE· CE$，变形得$\frac{OA}{OE}=\frac{CE}{BE}$，
$\therefore \frac{OD}{OB}=\frac{CE}{BE}$，由合比性质得$\frac{OD+OB}{OB}=\frac{CE+BE}{BE}$，即$\frac{BD}{BO}=\frac{BC}{BE}$。
又$\because ∠ OBE=∠ DBC$，
$\therefore △ OBE∽△ DBC$，
$\therefore ∠ BOE=∠ BDC$，可得$OE// CD$，即$AE// CD$。
$\because AD// BC$且$AE// CD$，
$\therefore$ 四边形AECD是平行四边形。
（2）证明：
$\because ∠ BDE=∠ DAE$，$∠ OED=∠ DEA$，
$\therefore △ DOE∽△ ADE$，可得$\frac{DE}{AE}=\frac{OD}{AD}$。
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ ADO=∠ EBO$，$∠ DAO=∠ BEO$，
$\therefore △ ADO∽△ EBO$，可得$\frac{OD}{AD}=\frac{OB}{BE}$，
$\therefore \frac{DE}{AE}=\frac{OB}{BE}$。
$\because$ 四边形AECD是平行四边形，
$\therefore AE=CD$，代入比例得$\frac{DE}{CD}=\frac{OB}{BE}$，
交叉相乘得$OB· CD=BE· DE$。
【答案】
（1）四边形AECD是平行四边形，得证；
（2）$OB· CD=BE· DE$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、比例的基本性质
【点评】
本题综合考查了三角形相似和平行四边形的相关知识，解题核心是合理利用已知的角相等关系、比例关系证明三角形相似，通过比例转化和等量代换推导结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

24. 如图，直线$y=x-3$与$x$轴、$y$轴分别交于点$B$、$C$. 经过$B$、$C$两点的抛物线$y=-x^2+mx+n$与$x$轴的另一个交点为$A$，顶点为$P$.
（1）求该抛物线的表达式以及顶点$P$的坐标.
（2）已知当$0＜x＜3$时，在抛物线上存在点$E$，使$△ CBE$的面积有最大值，求点$E$的坐标.
（3）连接$AC$，点$N$在$x$轴上，是否存在以$B$、$P$、$N$为顶点的三角形与$△ ABC$相似？若存在，求出点$N$的坐标；若不存在，说明理由.

24. (1) $y=-x^2+4x-3$；$P(2,1)$.
(2) $( \frac{3}{2},\frac{3}{4} )$. 提示：如图，在抛物线上取点 E，连接 CE、BE，过点 E 作 x 轴的垂线，交 BC 于点 F. 设点 F 坐标为 $(x,x-3)$，则点 E 坐标为 $(x,-x^2+4x-3)$，EF 长$-x^2+3x$. 因此，$S_{△ CBE}=S_{△ CEF}+S_{△ BEF}=\frac{1}{2}EF · OB=-\frac{3}{2}x^2+\frac{9}{2}x=-\frac{3}{2}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$. 所以当 $x=\frac{3}{2}$ 时，$△ CBE$ 的面积最大，此时点 E 的坐标为$( \frac{3}{2},\frac{3}{4} )$.

(3) $(0,0)$或$( \frac{7}{3},0 )$. 提示：存在，理由如下. 连接 BP，设点 N 坐标为 $(n,0)$. 当 $y=0$ 时，$-x^2+4x-3=0$. 解得 $x_1=1$，$x_2=3$. 由坐标$A(1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,-3)$、$P(2,1)$，得$∠ CBA=∠ ABP=45°$且$△ ABC$不是等腰三角形. 若以 B、P、N 为顶点的三角形与$△ ABC$相似，则点 $N(n,0)$ 在点 B 的左侧，且 $AB=2$，$BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$BP=\sqrt{(3-2)^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BN=3-n$. 分类讨论，① 当$\frac{BN}{BP}=\frac{BC}{BA}$时，$△ ABC∽△ PBN$，$\frac{3-n}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. 解得 $n=0$，即点 N 的坐标为 $N_1(0,0)$. ② 当$\frac{BN}{BP}=\frac{BA}{BC}$时，$△ ABC∽△ NBP$，$\frac{3-n}{\sqrt{2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}$. 解得 $n=\frac{7}{3}$，即点 N 的坐标为 $N_2( \frac{7}{3},0 )$.

【分析】
（1）首先根据直线$y=x-3$与坐标轴交点的特征求出B、C两点坐标，再将两点坐标代入抛物线解析式，解二元一次方程组得到$m$、$n$的值，即可得到抛物线表达式，最后通过配方或顶点坐标公式求出顶点$P$的坐标。
（2）求$△ CBE$的最大面积采用“铅垂高、水平宽”的方法：过$E$作$x$轴垂线交$BC$于点$F$，设$E$的横坐标为$x$，分别表示出$E$、$F$的纵坐标，得到$EF$的长度表达式，再根据$△ CBE$的面积等于$△ CEF$和$△ BEF$的面积和，得到面积关于$x$的二次函数，利用二次函数的最值性质求出对应$x$的值，代入抛物线即可得到$E$的坐标。
（3）先求出$A$点坐标，计算$△ ABC$各边长，结合直线斜率可得$∠ CBA=∠ PBN=45°$，即两个三角形有一组公共的等角，再分两种相似的边对应比例情况列方程求解，即可得到$x$轴上点$N$的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$y=x-3$：
令$y=0$，解得$x=3$，即$B(3,0)$；令$x=0$，解得$y=-3$，即$C(0,-3)$。
将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入抛物线$y=-x^2+mx+n$，得方程组：
$\begin{cases} -9 + 3m + n = 0 \\ n = -3 \end{cases}$
将$n=-3$代入第一个方程，解得$m=4$，因此抛物线的表达式为$y=-x^2+4x-3$。
对抛物线配方得$y=-(x-2)^2+1$，因此顶点$P$的坐标为$(2,1)$。
(2) 过点$E$作$x$轴的垂线，交$BC$于点$F$，设$E$的横坐标为$x$（$0＜x＜3$），则$E(x,-x^2+4x-3)$，$F$在直线$BC$上，坐标为$(x,x-3)$。
因此$EF$的长度为：$(-x^2+4x-3)-(x-3)=-x^2+3x$。
$△ CBE$的面积为两个同底$EF$的三角形面积和，高的和为$OB=3$，因此：
$S_{△ CBE}=\frac{1}{2} × EF × OB=\frac{1}{2}(-x^2+3x) × 3=-\frac{3}{2}(x-\frac{3}{2})^2+\frac{27}{8}$
由于二次项系数为负，因此当$x=\frac{3}{2}$时，$△ CBE$的面积最大，将$x=\frac{3}{2}$代入抛物线解析式，得$y=\frac{3}{4}$，即$E$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$。
(3) 存在，理由如下：
令$y=-x^2+4x-3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，因此$A(1,0)$。
计算得$AB=2$，$BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$BP=\sqrt{(3-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}$，且$∠ CBA=∠ PBN=45°$。
设$N(n,0)$（$N$在$B$左侧，故$n＜3$），$BN=3-n$，分两种相似情况讨论：
① 当$△ ABC ∽ △ PBN$时，对应边成比例$\frac{BN}{BP}=\frac{BC}{BA}$，代入得$\frac{3-n}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得$n=0$，即$N(0,0)$；
② 当$△ ABC ∽ △ NBP$时，对应边成比例$\frac{BN}{BP}=\frac{BA}{BC}$，代入得$\frac{3-n}{\sqrt{2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}$，解得$n=\frac{7}{3}$，即$N(\frac{7}{3},0)$。
【答案】
(1) 抛物线表达式为$\boldsymbol{y=-x^2+4x-3}$，顶点$P$的坐标为$\boldsymbol{(2,1)}$；
(2) 点$E$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{3}{2},\frac{3}{4})}$，提示图：
(3) 存在，点$N$的坐标为$\boldsymbol{(0,0)}$或$\boldsymbol{(\frac{7}{3},0)}$。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数综合题型，融合了一次函数性质、三角形面积计算、相似三角形判定等知识点，考查了数形结合思想和分类讨论思想，解题时需注意相似三角形对应边的比例关系，避免漏解。
【难度系数】
0.4