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25. 如图，$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$. 动点$M$从点$C$出发，沿$CA$边以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$匀速运动；同时动点$P$从点$A$出发，沿$AB$边以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$匀速运动，连接$PM$.
（1）是否存在某一时刻$t(0＜t＜5)$，使$△ AMP$的面积是$△ ABC$面积的$\dfrac{3}{10}$？若存在，求出相应的$t$值；若不存在，请说明理由.
（2）是否存在某一时刻$t$，使$△ AMP$是等腰三角形？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由.
（1）是否存在某一时刻$t(0＜t＜5)$，使$△ AMP$的面积是$△ ABC$面积的$\dfrac{3}{10}$？若存在，求出相应的$t$值；若不存在，请说明理由.
（2）是否存在某一时刻$t$，使$△ AMP$是等腰三角形？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由.
答案
25. (1) 存在；$t=2$. 提示：过点 P 作 $PH ⊥ AC$，则 $PH // BC$. 因为 $△ APH ∽ △ ABC$，所以 $\frac{PH}{BC}=\frac{PA}{AB}$. 又因为 $BC=6$，$PA=2t$，$AB=10$，所以 $PH=6 × \frac{2t}{10}=\frac{6}{5}t$. 所以 $S_{△ AMP}=\frac{1}{2} × MA · PH=\frac{1}{2}(8-t) · \frac{6}{5}t=\frac{3}{5}t(8-t)$. 又 $S_{△ ABC}=\frac{AC · BC}{2}=\frac{8 × 6}{2}=24$. 若存在某一时刻 t，使 $S_{△ AMP}=\frac{3}{10}S_{△ ABC}$，则 $\frac{3}{5}t(8-t)=\frac{3}{10} × 24$. 解得 $t=2$ 或 $t=6$（舍去）.
(2) 存在；$t=\frac{8}{3}$，$\frac{40}{21}$或$\frac{32}{9}$. 提示：要使$△ AMP$是等腰三角形，可分三种情况讨论. ① 当 $AP=AM$ 时，$2t=8-t$. 解得 $t=\frac{8}{3}$. ② 当 $PM=AP$ 时，如图(1)过 P 作 $PH ⊥ AM$，垂足为点 H，则 $AH=\frac{1}{2}AM=\frac{8-t}{2}$，由 $△ APH ∽ △ ABC$ 知，$\frac{AH}{AC}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{\frac{8-t}{2}}{8}=\frac{2t}{10}$. 解得 $t=\frac{40}{21}$. ③ 当 $PM=MA$ 时，如图(2)，自点 M 作 $MN ⊥ AB$，则 $AN=\frac{1}{2}AP=t$. 由 $∠ A=∠ A$，$∠ ANM=∠ ACB=90°$，得 $△ ANM ∽ △ ACB$. 所以 $\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$，即$\frac{t}{8}=\frac{8-t}{10}$. 解得 $t=\frac{32}{9}$.
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出AB的长度为10cm，得动点路程表达式：$AM=(8-t)\mathrm{cm}$，$AP=2t\mathrm{cm}$，$0＜t＜5$。
（1）求$△ AMP$的面积需先求底边AM对应的高：过P作$PH⊥ AC$，由$PH// BC$得$△ APH∽△ ABC$，利用相似比求出PH，再根据面积关系列方程求解，最后结合t的取值范围验证解的合理性。
（2）$△ AMP$为等腰三角形分三种情况讨论：①$AP=AM$；②$PM=AP$；③$PM=MA$。每种情况结合等腰三角形三线合一性质构造相似三角形，利用相似对应边成比例列方程求解，再验证解是否符合t的取值范围。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8\mathrm{cm}$，$BC=6\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\mathrm{cm}$，
由题意得：$CM=t\mathrm{cm}$，$AM=(8-t)\mathrm{cm}$，$AP=2t\mathrm{cm}$，$0＜t＜5$。
（1）求解面积符合条件的t值
过点P作$PH⊥ AC$于H，则$PH// BC$，$\therefore△ APH∽△ ABC$，
$\therefore\frac{PH}{BC}=\frac{PA}{AB}$，代入$BC=6$，$PA=2t$，$AB=10$，得：
$PH=\frac{6×2t}{10}=\frac{6}{5}t$，
$\therefore S_{△ AMP}=\frac{1}{2}× AM· PH=\frac{1}{2}(8-t)·\frac{6}{5}t=\frac{3}{5}t(8-t)$，
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×6=24$，
若$S_{△ AMP}=\frac{3}{10}S_{△ ABC}$，则$\frac{3}{5}t(8-t)=\frac{3}{10}×24$，
整理得$t^2-8t+12=0$，解得$t_1=2$，$t_2=6$，
$\because0＜t＜5$，$\therefore t=6$舍去，得$t=2$。
（2）求解$△ AMP$为等腰三角形的t值
分三种情况讨论：
① 当$AP=AM$时：$2t=8-t$，解得$t=\frac{8}{3}$，符合$0＜t＜5$；
② 当$PM=AP$时：过P作$PH⊥ AM$于H，由等腰三线合一得$AH=\frac{1}{2}AM=\frac{8-t}{2}$，
$\because∠ A=∠ A$，$∠ AHP=∠ ACB=90°$，$\therefore△ APH∽△ ABC$，
$\therefore\frac{AH}{AC}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{\frac{8-t}{2}}{8}=\frac{2t}{10}$，解得$t=\frac{40}{21}$，符合$0＜t＜5$；
③ 当$PM=MA$时：过M作$MN⊥ AB$于N，由等腰三线合一得$AN=\frac{1}{2}AP=t$，
$\because∠ A=∠ A$，$∠ ANM=∠ ACB=90°$，$\therefore△ ANM∽△ ACB$，
$\therefore\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$，即$\frac{t}{8}=\frac{8-t}{10}$，解得$t=\frac{32}{9}$，符合$0＜t＜5$。
【答案】
(1) 存在，相应的$t$值为$\boldsymbol{2}$；
(2) 存在，$t$的值为$\boldsymbol{\frac{8}{3}}$、$\boldsymbol{\frac{40}{21}}$或$\boldsymbol{\frac{32}{9}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形分类讨论，一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何动点综合题，结合了相似三角形、等腰三角形性质与方程思想，解题时需注意分类讨论等腰三角形的腰的三种情况，同时要结合动点的运动范围对解进行取舍，能有效考查综合分析与计算能力。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理求出AB的长度为10cm，得动点路程表达式：$AM=(8-t)\mathrm{cm}$，$AP=2t\mathrm{cm}$，$0＜t＜5$。
（1）求$△ AMP$的面积需先求底边AM对应的高：过P作$PH⊥ AC$，由$PH// BC$得$△ APH∽△ ABC$，利用相似比求出PH，再根据面积关系列方程求解，最后结合t的取值范围验证解的合理性。
（2）$△ AMP$为等腰三角形分三种情况讨论：①$AP=AM$；②$PM=AP$；③$PM=MA$。每种情况结合等腰三角形三线合一性质构造相似三角形，利用相似对应边成比例列方程求解，再验证解是否符合t的取值范围。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8\mathrm{cm}$，$BC=6\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\mathrm{cm}$，
由题意得：$CM=t\mathrm{cm}$，$AM=(8-t)\mathrm{cm}$，$AP=2t\mathrm{cm}$，$0＜t＜5$。
（1）求解面积符合条件的t值
过点P作$PH⊥ AC$于H，则$PH// BC$，$\therefore△ APH∽△ ABC$，
$\therefore\frac{PH}{BC}=\frac{PA}{AB}$，代入$BC=6$，$PA=2t$，$AB=10$，得：
$PH=\frac{6×2t}{10}=\frac{6}{5}t$，
$\therefore S_{△ AMP}=\frac{1}{2}× AM· PH=\frac{1}{2}(8-t)·\frac{6}{5}t=\frac{3}{5}t(8-t)$，
又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×6=24$，
若$S_{△ AMP}=\frac{3}{10}S_{△ ABC}$，则$\frac{3}{5}t(8-t)=\frac{3}{10}×24$，
整理得$t^2-8t+12=0$，解得$t_1=2$，$t_2=6$，
$\because0＜t＜5$，$\therefore t=6$舍去，得$t=2$。
（2）求解$△ AMP$为等腰三角形的t值
分三种情况讨论：
① 当$AP=AM$时：$2t=8-t$，解得$t=\frac{8}{3}$，符合$0＜t＜5$；
② 当$PM=AP$时：过P作$PH⊥ AM$于H，由等腰三线合一得$AH=\frac{1}{2}AM=\frac{8-t}{2}$，
$\because∠ A=∠ A$，$∠ AHP=∠ ACB=90°$，$\therefore△ APH∽△ ABC$，
$\therefore\frac{AH}{AC}=\frac{AP}{AB}$，即$\frac{\frac{8-t}{2}}{8}=\frac{2t}{10}$，解得$t=\frac{40}{21}$，符合$0＜t＜5$；
③ 当$PM=MA$时：过M作$MN⊥ AB$于N，由等腰三线合一得$AN=\frac{1}{2}AP=t$，
$\because∠ A=∠ A$，$∠ ANM=∠ ACB=90°$，$\therefore△ ANM∽△ ACB$，
$\therefore\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$，即$\frac{t}{8}=\frac{8-t}{10}$，解得$t=\frac{32}{9}$，符合$0＜t＜5$。
【答案】
(1) 存在，相应的$t$值为$\boldsymbol{2}$；
(2) 存在，$t$的值为$\boldsymbol{\frac{8}{3}}$、$\boldsymbol{\frac{40}{21}}$或$\boldsymbol{\frac{32}{9}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形分类讨论，一元二次方程的应用
【点评】
本题是几何动点综合题，结合了相似三角形、等腰三角形性质与方程思想，解题时需注意分类讨论等腰三角形的腰的三种情况，同时要结合动点的运动范围对解进行取舍，能有效考查综合分析与计算能力。
【难度系数】
0.6
