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19.「2025广西钦州浦北期中，★☆」(8分)如图，一艘船由A港沿北偏东$60°$方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西$30°$方向航行10 km至C港。
(1)求A,C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：$\sqrt{200} \approx 14.14$，$\sqrt{300} \approx 17.32$)。
(2)确定C港在A港的什么方向。
(1)求A,C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：$\sqrt{200} \approx 14.14$，$\sqrt{300} \approx 17.32$)。
(2)确定C港在A港的什么方向。
答案
19.解析 (1)由题意可得，$AB=BC=10\ \mathrm{km}$，$∠ PBC=30°$，$∠ MAB=60°$，$\therefore ∠ CBQ=60°$，$∠ BAN=30°$，
$\therefore ∠ ABQ=30°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ABQ+∠ CBQ=90°$， …………（3分）
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{200}\approx14.1(\mathrm{km})$. …………（5分）
(2)$\because AB=BC,∠ ABC=90°$，
$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形，$\therefore ∠ BAC=45°$， ……（6分）
$\therefore ∠ CAM=∠ MAB-∠ BAC=15°$，
$\therefore C$港在$A$港的北偏东$15°$方向上. …………（8分）
$\therefore ∠ ABQ=30°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ABQ+∠ CBQ=90°$， …………（3分）
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{200}\approx14.1(\mathrm{km})$. …………（5分）
(2)$\because AB=BC,∠ ABC=90°$，
$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形，$\therefore ∠ BAC=45°$， ……（6分）
$\therefore ∠ CAM=∠ MAB-∠ BAC=15°$，
$\therefore C$港在$A$港的北偏东$15°$方向上. …………（8分）
