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18.「★★☆」(8分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$.
(1)求证:该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两个根$x_1,x_2$是一个矩形的一边长和其对角线的长,且该边的邻边长为5,试求$k$的值.
(1)求证:该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两个根$x_1,x_2$是一个矩形的一边长和其对角线的长,且该边的邻边长为5,试求$k$的值.
答案
18.解析 (1)
∵ $\Delta=b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+k)=1＞0$,
∴ 该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
(2)解方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,得 $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2k+1±1}{2}$,
∴ $x_1=k$,$x_2=k+1$,
∵ 矩形的对角线的长大于矩形的各边的长,且 $k+1＞k$,
∴ $k+1$ 为对角线的长,
∴ $(k+1)^2=k^2+5^2$,解得 $k=12$.
∵ $\Delta=b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+k)=1＞0$,
∴ 该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
(2)解方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,得 $x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2k+1±1}{2}$,
∴ $x_1=k$,$x_2=k+1$,
∵ 矩形的对角线的长大于矩形的各边的长,且 $k+1＞k$,
∴ $k+1$ 为对角线的长,
∴ $(k+1)^2=k^2+5^2$,解得 $k=12$.
19.「2026黑龙江佳木斯期末，★★☆」(9分)如图,在长为32 m,宽为20 m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540 m²,求道路的宽.
答案
19.解析 设道路的宽为 x m,根据题意,得 $(20-x)(32-x)=540$.整理,得 $x^2-52x+100=0$.解得 $x_1=50$(不合题意,舍去),$x_2=2$.答:道路的宽为 2 m.
