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二、填空题(每小题4分,共24分)
11.「★☆」构造一个一元二次方程,要求:①常数项不为0;②有一个根为-1.这个一元二次方程可以是
11.「★☆」构造一个一元二次方程,要求:①常数项不为0;②有一个根为-1.这个一元二次方程可以是
$x^2-1=0$(答案不唯一)
(写出一个即可).答案
11.答案 $x^2-1=0$(答案不唯一)
12.「2026甘肃陇南期末，★★☆」关于$x$的方程$(m-2)x^{m^2 -2}+(3 - m)x -2=0$是一元二次方程，则$m$的值为
$-2$
。答案
12.答案 $-2$
解析 由题意得 $m^2-2=2$,且 $m-2≠0$,解得 $m=-2$.故答案为-2.
解析 由题意得 $m^2-2=2$,且 $m-2≠0$,解得 $m=-2$.故答案为-2.
13.「2026吉林长春期末，★★☆」已知关于x的一元二次方程$x^2 -6x +a=0$有一个根为2，则另一个根为
$4$
。答案
13.答案 4
解析 设方程 $x^2-6x+a=0$ 的另一个根为 m,则 $m+2=-\frac{-6}{1}=6$,
∴ $m=4$.故答案为 4.
解析 设方程 $x^2-6x+a=0$ 的另一个根为 m,则 $m+2=-\frac{-6}{1}=6$,
∴ $m=4$.故答案为 4.
14.「2026广东汕尾期中，★★☆」已知$m$为一元二次方程$x^2 -3x -1=0$的一个根，则代数式$2m^2 -6m +2023$的值为
$2025$
。答案
14.答案 2 025
解析
∵ m 为一元二次方程 $x^2-3x-1=0$ 的一个根,
∴ $m^2-3m-1=0$,
∴ $m^2-3m=1$,
∴ $2m^2-6m+2 023=2(m^2-3m)+2 023=2×1+2 023=2 025$.故答案为 2 025.
解析
∵ m 为一元二次方程 $x^2-3x-1=0$ 的一个根,
∴ $m^2-3m-1=0$,
∴ $m^2-3m=1$,
∴ $2m^2-6m+2 023=2(m^2-3m)+2 023=2×1+2 023=2 025$.故答案为 2 025.
15. 情境 数学文化 发展史 「2026 山东济宁月考，★★☆」古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解。在欧几里得的《几何原本》中，形如$x^2+ax=b^2(a＞0,b＞0)$的方程的图解法：如图，以$\frac{a}{2}$和$b$为两直角边长作直角$△ ABC$，再在斜边上截取$BD=\frac{a}{2}$，则该方程的一个正实数根等于线段
$AD$
的长。答案
15.答案 $AD$
解析 对于 $x^2+ax=b^2$,配方,得 $x^2+ax+(\frac{a}{2})^2=b^2+(\frac{a}{2})^2$,即 $(x+\frac{a}{2})^2=b^2+(\frac{a}{2})^2$,
∴ $x+\frac{a}{2}=±\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}$,
∴ $x=±\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}-\frac{a}{2}$,在 $Rt△ABC$ 中,
∵ $AC=b$,$BC=\frac{a}{2}$,
∴ $AB=\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}$,又
∵ $BC=BD=\frac{a}{2}$,
∴ $AD=\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}-\frac{a}{2}$,
∴ 题图中线段 AD 的长是方程 $x^2+ax=b^2$ 的一个解.故答案为 AD.
解析 对于 $x^2+ax=b^2$,配方,得 $x^2+ax+(\frac{a}{2})^2=b^2+(\frac{a}{2})^2$,即 $(x+\frac{a}{2})^2=b^2+(\frac{a}{2})^2$,
∴ $x+\frac{a}{2}=±\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}$,
∴ $x=±\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}-\frac{a}{2}$,在 $Rt△ABC$ 中,
∵ $AC=b$,$BC=\frac{a}{2}$,
∴ $AB=\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}$,又
∵ $BC=BD=\frac{a}{2}$,
∴ $AD=\sqrt{b^2+(\frac{a}{2})^2}-\frac{a}{2}$,
∴ 题图中线段 AD 的长是方程 $x^2+ax=b^2$ 的一个解.故答案为 AD.
16.「★★」若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为倍根方程，以下关于倍根方程的说法，正确的是
①方程$x^2 - x - 2 = 0$是倍根方程；
②若$(x - 2)(mx + n) = 0$是倍根方程，则$4m^2 + 5mn + n^2 = 0$；
③若$p,q$满足$pq = 2$，则关于$x$的方程$px^2 + 3x + q = 0$是倍根方程；
④若方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$是倍根方程，则必有$2b^2 = 9ac$。
②③④
（填序号）。①方程$x^2 - x - 2 = 0$是倍根方程；
②若$(x - 2)(mx + n) = 0$是倍根方程，则$4m^2 + 5mn + n^2 = 0$；
③若$p,q$满足$pq = 2$，则关于$x$的方程$px^2 + 3x + q = 0$是倍根方程；
④若方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$是倍根方程，则必有$2b^2 = 9ac$。
答案
16.答案 ②③④
解析 ①解方程 $x^2-x-2=0$ 得 $x_1=2$,$x_2=-1$,不满足其中一个根为另外一个根的 2 倍,
∴ 方程 $x^2-x-2=0$ 不是倍根方程,故①不正确.②方程 $(x-2)(mx+n)=0$ 的一个解为 $x_1=2$,
∵ $(x-2)(mx+n)=0$ 是倍根方程,
∴ $x_2=1$ 或 $x_2=4$,当 $x_2=1$ 时,$m+n=0$,当 $x_2=4$ 时,$4m+n=0$,
∴ $4m^2+5mn+n^2=(m+n)(4m+n)=0$,故②正确.③
∵ $pq=2$,
∴ $px^2+3x+q=(px+1)(x+q)=0$,
∴ $x_1=-\frac{1}{p}$,$x_2=-q$,
∴ $x_2=-q=-\frac{2}{p}=2x_1$,
∴ 方程 $px^2+3x+q=0$ 是倍根方程,故③正确.④方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根为 $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,若 $x_1=2x_2$,则 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×2$,即 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×2=0$,
∴ $\frac{b+3\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0$,
∴ $b+3\sqrt{b^2-4ac}=0$,
∴ $3\sqrt{b^2-4ac}=-b$,
∴ $9(b^2-4ac)=b^2$,
∴ $2b^2=9ac$.若 $2x_1=x_2$,则 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,即 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×2-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0$,
∴ $\frac{-b+3\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0$,
∴ $-b+3\sqrt{b^2-4ac}=0$,
∴ $b=3\sqrt{b^2-4ac}$,
∴ $b^2=9(b^2-4ac)$,
∴ $2b^2=9ac$,故④正确.故答案为②③④.
解析 ①解方程 $x^2-x-2=0$ 得 $x_1=2$,$x_2=-1$,不满足其中一个根为另外一个根的 2 倍,
∴ 方程 $x^2-x-2=0$ 不是倍根方程,故①不正确.②方程 $(x-2)(mx+n)=0$ 的一个解为 $x_1=2$,
∵ $(x-2)(mx+n)=0$ 是倍根方程,
∴ $x_2=1$ 或 $x_2=4$,当 $x_2=1$ 时,$m+n=0$,当 $x_2=4$ 时,$4m+n=0$,
∴ $4m^2+5mn+n^2=(m+n)(4m+n)=0$,故②正确.③
∵ $pq=2$,
∴ $px^2+3x+q=(px+1)(x+q)=0$,
∴ $x_1=-\frac{1}{p}$,$x_2=-q$,
∴ $x_2=-q=-\frac{2}{p}=2x_1$,
∴ 方程 $px^2+3x+q=0$ 是倍根方程,故③正确.④方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根为 $x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,若 $x_1=2x_2$,则 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×2$,即 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×2=0$,
∴ $\frac{b+3\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0$,
∴ $b+3\sqrt{b^2-4ac}=0$,
∴ $3\sqrt{b^2-4ac}=-b$,
∴ $9(b^2-4ac)=b^2$,
∴ $2b^2=9ac$.若 $2x_1=x_2$,则 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,即 $\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}×2-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0$,
∴ $\frac{-b+3\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=0$,
∴ $-b+3\sqrt{b^2-4ac}=0$,
∴ $b=3\sqrt{b^2-4ac}$,
∴ $b^2=9(b^2-4ac)$,
∴ $2b^2=9ac$,故④正确.故答案为②③④.
三、解答题(共56分)
17. 聚焦中考 过程性学习「2026吉林长春期末，★☆」(8分)小明与小华两位同学解一元二次方程$3(x-5)=(x-5)^2$的过程如下：
(1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果.
小明的解法
(2)请你选择合适的方法解一元二次方程$3(2x+1)=(2x+1)^2$.
17. 聚焦中考 过程性学习「2026吉林长春期末，★☆」(8分)小明与小华两位同学解一元二次方程$3(x-5)=(x-5)^2$的过程如下：
(1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果.
小明的解法
不正确
,小华的解法不正确
(填“正确”或“不正确”).(2)请你选择合适的方法解一元二次方程$3(2x+1)=(2x+1)^2$.
答案
17.解析 (1)不正确;不正确.
(2)方程可变形为 $(2x+1)^2-3(2x+1)=0$,提公因式,得 $(2x+1)(2x+1-3)=0$,所以 $2x+1=0$ 或 $2x+1-3=0$,所以 $x_1=-\frac{1}{2}$,$x_2=1$.
(2)方程可变形为 $(2x+1)^2-3(2x+1)=0$,提公因式,得 $(2x+1)(2x+1-3)=0$,所以 $2x+1=0$ 或 $2x+1-3=0$,所以 $x_1=-\frac{1}{2}$,$x_2=1$.
