6.「2025吉林长春期末，★☆」【问题初探】
如图1，在△ABC中，若AD是△ABC的角平分线，则线段AB,AC,BD,CD有什么数量关系？小智发现，过点C作CE//AB，交AD的延长线于点E，由AD平分∠BAC，可得出△ACE是等腰三角形，再通过证明△ABD∽△ECD，根据相似三角形的性质即可得到$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。
下面是小智的部分证明过程：
证明:过点C作CE//AB,交AD的延长线于点E.
∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ CE//AB,∴ ∠BAD=∠E.
∴ ∠CAD=∠E.∴ AC=EC.
……
(1)补全上面的证明过程.
【方法应用】
(2)如图2,在△OPQ中,∠POQ=90°,OP=OQ,点F是PQ边上一点,∠POF=30°,则$\frac{PF}{QF}$的值为.
(3)如图3,在△MNG中,MN=MG,点H是NG边上一点,∠NMH=45°,∠GMH=60°,求$\frac{NH}{GH}$的值.

6.解析
(1)补全证明过程如下：
∵ ∠BAD=∠E,∠ADB=∠EDC,
∴ △ABD∽△ECD,$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{EC}$.$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$.
(2)如图,过点Q作$QK// OP$交OF的延长线于点K,
则∠K=∠POF=30°,∠OQK=180°-∠POQ=90°,
在Rt△OKQ中,OK=2OQ,$\therefore QK=\sqrt{OK^2-OQ^2}=\sqrt{3}OQ$,
$\therefore OQ=\frac{\sqrt{3}}{3}QK$,$\because OP=OQ$,$\therefore OP=\frac{\sqrt{3}}{3}QK$,
同(1)可得△OPF∽△KQF,
$\therefore \frac{PF}{QF}=\frac{OP}{QK}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,故答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(3)设△MNG的边NG上的高为h,
如图,作MG边上的高HF,作MN边上的高HE,
∵ ∠NMH=45°,∠GMH=60°,
$\therefore HE=\frac{\sqrt{2}}{2}MH$,$HF=\frac{\sqrt{3}}{2}MH$,
则$S_{△ MHG}=\frac{1}{2}MG· HF=\frac{1}{2}MG· \frac{\sqrt{3}}{2}MH$,$S_{△ MNH}=\frac{1}{2}MN· HE=\frac{1}{2}MN· \frac{\sqrt{2}}{2}MH$,
又$\because S_{△ MNH}=\frac{1}{2}NH· h$,$S_{△ MGH}=\frac{1}{2}GH· h$,
$\therefore \frac{S_{△ MNH}}{S_{△ MGH}}=\frac{\frac{1}{2}NH· h}{\frac{1}{2}GH· h}=\frac{\frac{1}{2}MN· \frac{\sqrt{2}}{2}MH}{\frac{1}{2}MG· \frac{\sqrt{3}}{2}MH}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$,$\therefore \frac{NH}{GH}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.