14. 教材变式 「2025辽宁大连期末」（6分）计算：
（1）$\sqrt{(-3)^2}-\sqrt{\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{-27}+2-\sqrt{5}$.
（2）$2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}(\sqrt{5}+4)$.

14. 解析 (1) $ \sqrt { ( - 3 ) ^ { 2 } } - \sqrt { \frac { 1 } { 4 } } - \sqrt [ 3 ] { - 27 } + | 2 - \sqrt { 5 } | $ $ = 3 - \frac { 1 } { 2 } - ( - 3 ) + \sqrt { 5 } - 2 = \frac { 7 } { 2 } + \sqrt { 5 } $. (2) $ 2 \sqrt { 5 } - 3 \sqrt { 5 } + \sqrt { 5 } ( \sqrt { 5 } + 4 ) $ $ = 2 \sqrt { 5 } - 3 \sqrt { 5 } + 5 + 4 \sqrt { 5 } = 3 \sqrt { 5 } + 5 $.

15. 「2025湖北咸宁期中」（8分）求下列各式中的$x$的值.
（1）$(\frac{1}{2}x + 1)^2 = 4$.
（2）$3(x + 2)^3 + 81 = 0$.

15. 解析 (1) 开平方，得 $ \frac { 1 } { 2 } x + 1 = \pm 2 $，则 $ \frac { 1 } { 2 } x + 1 = - 2 $ 或 $ \frac { 1 } { 2 } x + 1 = 2 $，移项，合并同类项，得 $ \frac { 1 } { 2 } x = - 3 $ 或 $ \frac { 1 } { 2 } x = 1 $，系数化为 1，得 $ x = - 6 $ 或 $ x = 2 $. (2) 移项，得 $ 3 ( x + 2 ) ^ { 3 } = - 81 $，整理，得 $ ( x + 2 ) ^ { 3 } = - 27 $，开立方，得 $ x + 2 = - 3 $，移项，合并同类项，得 $ x = - 5 $.

16. 「2025福建福州长乐月考」（8分）已知一个正数$x$的两个不同平方根分别为$a + 3$和$2a - 6$，$b + 3$的立方根是-2.
（1）求$a$，$b$的值.
（2）求$x - b - 2$的平方根.

16. 解析 (1)
∵ 一个正数 $ x $ 的两个不同平方根分别为 $ a + 3 $ 和 $ 2 a - 6 $，
∴ $ a + 3 + 2 a - 6 = 0 $，解得 $ a = 1 $.
∵ $ b + 3 $ 的立方根是 - 2，
∴ $ b + 3 = ( - 2 ) ^ { 3 } = - 8 $，
∴ $ b = - 11 $. (2) 由 (1) 得 $ a = 1 $，$ b = - 11 $，
∴ $ x = ( a + 3 ) ^ { 2 } = 16 $，
∴ $ x - b - 2 = 16 - ( - 11 ) - 2 = 25 $，
∴ $ x - b - 2 $ 的平方根为 $ \pm 5 $.

17. 「2025广西南宁期中改编」（10分）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为$100\mathrm{cm}^2$的正方形区域修改为面积为$75\mathrm{cm}^2$的长方形区域，且长、宽之比为$5:3$.
（1）求原来正方形区域的边长.
（2）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断.

17. 解析 (1) 原来正方形区域的边长为 $ \sqrt { 100 } = 10 \mathrm { ~cm } $. (2) 铁丝够用. 理由如下：由 (1) 得这根铁丝的长为 $ 10 × 4 = 40 \mathrm { ~cm } $，由修改后的长方形区域的长、宽之比为 $ 5 : 3 $，设长方形区域的长为 $ 5 x \mathrm { ~cm } $，宽为 $ 3 x \mathrm { ~cm } $，所以 $ 5 x · 3 x = 75 $，即 $ 15 x ^ { 2 } = 75 $，解得 $ x = \sqrt { 5 } $（负值舍去），
∴ 长方形区域的周长为 $ 2 ( 5 × \sqrt { 5 } + 3 × \sqrt { 5 } ) = 16 \sqrt { 5 } ( \mathrm { ~cm } ) $.
∵ $ 2 ^ { 2 } ＜ 5 ＜ 2.5 ^ { 2 } $，
∴ $ 2 ＜ \sqrt { 5 } ＜ 2.5 $.
∴ $ 32 ＜ 16 \sqrt { 5 } ＜ 40 $，
∴ 铁丝够用.