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1. 「2025福建中考」下列实数中，最小的数是(
A.-1
B.0
C.$\sqrt{2}$
D.2
A
)A.-1
B.0
C.$\sqrt{2}$
D.2
答案
1. A
∵ $ 1 ＜ \sqrt { 2 } ＜ 2 $，
∴ $ - 1 ＜ 0 ＜ \sqrt { 2 } ＜ 2 $，
∴ 最小的数为 - 1. 故选 A.
∵ $ 1 ＜ \sqrt { 2 } ＜ 2 $，
∴ $ - 1 ＜ 0 ＜ \sqrt { 2 } ＜ 2 $，
∴ 最小的数为 - 1. 故选 A.
2. 「2024甘肃临夏州中考」下列各数中，是无理数的是(
A.$\frac{π}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\sqrt[3]{27}$
D.0.131 33
A
)A.$\frac{π}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\sqrt[3]{27}$
D.0.131 33
答案
2. A A. $ \frac { π } { 2 } $ 是无理数；B. $ \frac { 1 } { 3 } $ 是有理数；C. $ \sqrt [ 3 ] { 27 } = 3 $，是有理数；D. 0.131 33 是有理数. 故选 A.
3. 「2025湖南永州蓝山期中」下列说法正确的是(
A.$\sqrt{49}$的算术平方根是7
B.8的立方根是±2
C.4的平方根是±2
D.9的平方根是3
C
)A.$\sqrt{49}$的算术平方根是7
B.8的立方根是±2
C.4的平方根是±2
D.9的平方根是3
答案
3. C A. $ \sqrt { 49 } = 7 $ 的算术平方根是 $ \sqrt { 7 } $，故 A 错误；B. 8 的立方根是 2，故 B 错误；C. 4 的平方根是 $ \pm 2 $，故 C 正确；D. 9 的平方根是 $ \pm 3 $，故 D 错误. 故选 C.
4. 「2025贵州遵义期中」下列计算正确的是(
A.$\sqrt{81}=±9$
B.$\sqrt[3]{9}=3$
C.$\sqrt{0.4}=0.2$
D.$\sqrt{5}-2=\sqrt{5}-2$
D
)A.$\sqrt{81}=±9$
B.$\sqrt[3]{9}=3$
C.$\sqrt{0.4}=0.2$
D.$\sqrt{5}-2=\sqrt{5}-2$
答案
4. D A. $ \sqrt { 81 } = 9 $；B. $ \sqrt [ 3 ] { 9 } ≠ 3 $；C. $ \sqrt { 0.4 } ≠ 0.2 $；D. $ | \sqrt { 5 } - 2 | = \sqrt { 5 } - 2 $. 故选 D.
5. 「2025山东日照五莲期末」若实数$x$，$y$，$z$满足$\sqrt{x + 4}+(y - 2)^2+z + 2 = 0$，则$xyz$的算术平方根是(
A.3
B.±4
C.±3
D.4
D
)A.3
B.±4
C.±3
D.4
答案
5. D
∵ $ \sqrt { x + 4 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } + | z + 2 | = 0 $，
∴ $ x + 4 = 0 $，$ y - 2 = 0 $，$ z + 2 = 0 $，
∴ $ x = - 4 $，$ y = 2 $，$ z = - 2 $，
∴ $ x y z = - 4 × 2 × ( - 2 ) = 16 $.
∵ 16 的算术平方根是 4，
∴ $ x y z $ 的算术平方根为 4. 故选 D.
∵ $ \sqrt { x + 4 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } + | z + 2 | = 0 $，
∴ $ x + 4 = 0 $，$ y - 2 = 0 $，$ z + 2 = 0 $，
∴ $ x = - 4 $，$ y = 2 $，$ z = - 2 $，
∴ $ x y z = - 4 × 2 × ( - 2 ) = 16 $.
∵ 16 的算术平方根是 4，
∴ $ x y z $ 的算术平方根为 4. 故选 D.
6. 「2025湖北潜江月考」若整数$m$，$n$满足$m ＜ \sqrt{5}$，$n ＞ \sqrt{11}$，则$n - m$的最小值为(
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
B
)A.1
B.2
C.3
D.无法确定
答案
6. B
∵ 整数 $ m ＜ \sqrt { 5 } $，$ 2 ＜ \sqrt { 5 } ＜ 3 $，
∴ $ m $ 的最大值为 2，
∵ 整数 $ n ＞ \sqrt { 11 } $，$ 3 ＜ \sqrt { 11 } ＜ 4 $，
∴ $ n $ 的最小值为 4，当 $ m $ 取最大值 2，$ n $ 取最小值 4 时，$ n - m $ 有最小值，
∴ $ n - m $ 的最小值为 $ 4 - 2 = 2 $. 故选 B.
∵ 整数 $ m ＜ \sqrt { 5 } $，$ 2 ＜ \sqrt { 5 } ＜ 3 $，
∴ $ m $ 的最大值为 2，
∵ 整数 $ n ＞ \sqrt { 11 } $，$ 3 ＜ \sqrt { 11 } ＜ 4 $，
∴ $ n $ 的最小值为 4，当 $ m $ 取最大值 2，$ n $ 取最小值 4 时，$ n - m $ 有最小值，
∴ $ n - m $ 的最小值为 $ 4 - 2 = 2 $. 故选 B.
7. 已知$a$，$b$为有理数，满足$2a + 3\sqrt{3}b - 6 + 3\sqrt{3}-15\sqrt{3}=0$，则$a + b$的值为(
A.-7
B.7
C.5
D.-5
B
)A.-7
B.7
C.5
D.-5
答案
7. B
∵ $ 2 a + 3 \sqrt { 3 } b - 6 + 3 \sqrt { 3 } - 15 \sqrt { 3 } = 0 $，
∴ $ 2 a - 6 + \sqrt { 3 } ( 3 b + 3 - 15 ) = 0 $.
∵ $ a $，$ b $ 为有理数，
∴ $ 2 a - 6 = 0 $，$ 3 b + 3 - 15 = 0 $，解得 $ a = 3 $，$ b = 4 $，
∴ $ a + b = 7 $. 故选 B.
∵ $ 2 a + 3 \sqrt { 3 } b - 6 + 3 \sqrt { 3 } - 15 \sqrt { 3 } = 0 $，
∴ $ 2 a - 6 + \sqrt { 3 } ( 3 b + 3 - 15 ) = 0 $.
∵ $ a $，$ b $ 为有理数，
∴ $ 2 a - 6 = 0 $，$ 3 b + 3 - 15 = 0 $，解得 $ a = 3 $，$ b = 4 $，
∴ $ a + b = 7 $. 故选 B.
8. 「2025河南安阳期中」如图，面积为3的正方形的顶点$A$在数轴上，且点$A$表示的数为1，观察作图痕迹可得点$B$所表示的数为(
A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$1-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
C
)A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$1-\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
8. C 因为正方形的面积为 3，所以正方形的边长为 $ \sqrt { 3 } $. 由作图痕迹可知 $ A B = \sqrt { 3 } $，因为点 $ A $ 表示的数是 1，所以 $ B $ 点到原点的距离为 $ \sqrt { 3 } - 1 $. 因为点 $ B $ 在原点的左边，所以点 $ B $ 表示的数是 $ 1 - \sqrt { 3 } $，故选 C.
易错警示 (1) 错把点 $ B $ 到原点的距离当成点 $ B $ 表示的数；(2) 忘记点 $ B $ 在原点的左边.
易错警示 (1) 错把点 $ B $ 到原点的距离当成点 $ B $ 表示的数；(2) 忘记点 $ B $ 在原点的左边.
9. 「2025广东梅州期中」$\sqrt[3]{64}$的平方根是
$\pm 2$
；$-\sqrt{5}$的相反数是$\sqrt { 5 }$
.答案
9. 答案 $ \pm 2 $；$ \sqrt { 5 } $
解析 因为 $ \sqrt [ 3 ] { 64 } = 4 $，4 的平方根为 $ \pm 2 $，所以 $ \sqrt [ 3 ] { 64 } $ 的平方根是 $ \pm 2 $. $ - \sqrt { 5 } $ 的相反数是 $ \sqrt { 5 } $.
解析 因为 $ \sqrt [ 3 ] { 64 } = 4 $，4 的平方根为 $ \pm 2 $，所以 $ \sqrt [ 3 ] { 64 } $ 的平方根是 $ \pm 2 $. $ - \sqrt { 5 } $ 的相反数是 $ \sqrt { 5 } $.
10. 多解法 若$\sqrt[3]{a}=-5$，则$\sqrt[3]{-a}=$
5
.答案
10. 答案 5
解析 【解法一】求具体数值法：
∵ $ \sqrt [ 3 ] { a } = - 5 $，
∴ $ a = ( - 5 ) ^ { 3 } = - 125 $，
∴ $ - a = 125 $，
∴ $ \sqrt [ 3 ] { - a } = \sqrt [ 3 ] { 125 } = 5 $. 【解法二】立方根的性质法：
∵ $ a $ 与 $ - a $ 互为相反数，
∴ 它们的立方根也互为相反数，
∴ $ \sqrt [ 3 ] { - a } = - \sqrt [ 3 ] { a } = 5 $.
解析 【解法一】求具体数值法：
∵ $ \sqrt [ 3 ] { a } = - 5 $，
∴ $ a = ( - 5 ) ^ { 3 } = - 125 $，
∴ $ - a = 125 $，
∴ $ \sqrt [ 3 ] { - a } = \sqrt [ 3 ] { 125 } = 5 $. 【解法二】立方根的性质法：
∵ $ a $ 与 $ - a $ 互为相反数，
∴ 它们的立方根也互为相反数，
∴ $ \sqrt [ 3 ] { - a } = - \sqrt [ 3 ] { a } = 5 $.
11. 「2025山东威海期中」已知$\sqrt{1.34}\approx1.158$，$\sqrt{13.4}\approx3.661$，则$\sqrt{134}\approx$
11.58
.(保留小数点后两位)答案
11. 答案 11.58
解析 被开方数的小数点向右移动 2 位，其算术平方根的小数点向右移动 1 位，
∵ $ \sqrt { 1.34 } \approx 1.158 $，
∴ $ \sqrt { 134 } \approx 11.58 $.
解析 被开方数的小数点向右移动 2 位，其算术平方根的小数点向右移动 1 位，
∵ $ \sqrt { 1.34 } \approx 1.158 $，
∴ $ \sqrt { 134 } \approx 11.58 $.
12. 如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为
$\frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$
.答案
12. 答案 $ \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $
解析 因为大正方形的面积为 5，所以大正方形的边长为 $ \sqrt { 5 } $. 因为小正方形的面积为 1，所以小正方形的边长为 1，所以阴影部分的面积 $ = \frac { 1 } { 2 } × ( 1 + \sqrt { 5 } ) × 1 - 1 = \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } - 1 = \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $.
解析 因为大正方形的面积为 5，所以大正方形的边长为 $ \sqrt { 5 } $. 因为小正方形的面积为 1，所以小正方形的边长为 1，所以阴影部分的面积 $ = \frac { 1 } { 2 } × ( 1 + \sqrt { 5 } ) × 1 - 1 = \frac { 1 } { 2 } + \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } - 1 = \frac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 } $.
三、解答题（共40分）
13. 「2025湖北黄石期中」（8分）把下列各数填入相应的集合内.
$3\frac{1}{2}$，$\sqrt{27}$，0，$\sqrt[3]{-8}$，$\frac{π}{3}$，-0.212 112 111 2，-0.5，3.14.
（1）正实数集合：{ ···}.
（2）负实数集合：{ ···}.
（3）有理数集合：{ ···}.
（4）无理数集合：{ ···}.
13. 「2025湖北黄石期中」（8分）把下列各数填入相应的集合内.
$3\frac{1}{2}$，$\sqrt{27}$，0，$\sqrt[3]{-8}$，$\frac{π}{3}$，-0.212 112 111 2，-0.5，3.14.
（1）正实数集合：{ ···}.
（2）负实数集合：{ ···}.
（3）有理数集合：{ ···}.
（4）无理数集合：{ ···}.
答案
13. 解析 (1) 正实数集合：$ \{ 3 \frac { 1 } { 2 }, \sqrt { 27 }, \frac { π } { 3 }, 3.14, ··· \} $. (2) 负实数集合：$ \{ \sqrt [ 3 ] { - 8 }, - 0.212 \ 112 \ 111 \ 2, - 0.5, ··· \} $. (3) 有理数集合：$ \{ 3 \frac { 1 } { 2 }, 0, \sqrt [ 3 ] { - 8 }, - 0.212 \ 112 \ 111 \ 2, - 0.5, 3.14, ··· \} $. (4) 无理数集合：$ \{ \sqrt { 27 }, \frac { π } { 3 }, ··· \} $.
