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1. 「2025 河南许昌期末」已知 $ y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 3 $，$\sqrt[3]{z + 1} = 3$，求 $ xz - y $ 的值。
答案
解析 由题意得 $ x - 2 ≥ 0 $，$ 2 - x ≥ 0 $，
$ \therefore x - 2 = 0 $，$ \therefore x = 2 $，$ \therefore y = - 3 $。
$ \because \sqrt [ 3 ] { z + 1 } = 3 $，$ \therefore z + 1 = 27 $，$ \therefore z = 26 $，
$ \therefore x z - y = 2 × 26 - ( - 3 ) = 55 $。
$ \therefore x - 2 = 0 $，$ \therefore x = 2 $，$ \therefore y = - 3 $。
$ \because \sqrt [ 3 ] { z + 1 } = 3 $，$ \therefore z + 1 = 27 $，$ \therefore z = 26 $，
$ \therefore x z - y = 2 × 26 - ( - 3 ) = 55 $。
2. 「2025 河北唐山期中」已知 $ a - 1 $ 和 $ 5 - 2a $ 都是非负数 $ m $ 的平方根，求 $ m $ 的值。
佳佳的解题过程如下：
解：$\because a - 1$ 和 $ 5 - 2a $ 都是非负数 $ m $ 的平方根，
$\therefore a - 1 + 5 - 2a = 0$，解得 $ a = 4 $，$\therefore a - 1 = 3 $，
$\therefore m $ 的值为 9。
佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请你写出正确的解题过程。
佳佳的解题过程如下：
解：$\because a - 1$ 和 $ 5 - 2a $ 都是非负数 $ m $ 的平方根，
$\therefore a - 1 + 5 - 2a = 0$，解得 $ a = 4 $，$\therefore a - 1 = 3 $，
$\therefore m $ 的值为 9。
佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请你写出正确的解题过程。
答案
解析 佳佳的解题过程不正确。
$ \because a - 1 $ 和 $ 5 - 2 a $ 都是非负数 $ m $ 的平方根，
$ \therefore $ 分两种情况讨论：
当 $ a - 1 + 5 - 2 a = 0 $ 时，解得 $ a = 4 $，
$ \therefore a - 1 = 3 $，$ \therefore m $ 的值为 $ 9 $；
当 $ a - 1 = 5 - 2 a $ 时，解得 $ a = 2 $，
$ \therefore a - 1 = 1 $，$ \therefore m $ 的值为 $ 1 $。
综上，$ m $ 的值为 $ 1 $ 或 $ 9 $。
$ \because a - 1 $ 和 $ 5 - 2 a $ 都是非负数 $ m $ 的平方根，
$ \therefore $ 分两种情况讨论：
当 $ a - 1 + 5 - 2 a = 0 $ 时，解得 $ a = 4 $，
$ \therefore a - 1 = 3 $，$ \therefore m $ 的值为 $ 9 $；
当 $ a - 1 = 5 - 2 a $ 时，解得 $ a = 2 $，
$ \therefore a - 1 = 1 $，$ \therefore m $ 的值为 $ 1 $。
综上，$ m $ 的值为 $ 1 $ 或 $ 9 $。
3. 已知正实数 $ x $ 的两个不相等的平方根为 $ a $ 和 $ a + b $。
(1) 当 $ b = 6 $ 时，求 $ x $ 的值。
(2) 若 $ a^2x + (a + b)^2x = 8 $，求 $ x $ 的值。
(1) 当 $ b = 6 $ 时，求 $ x $ 的值。
(2) 若 $ a^2x + (a + b)^2x = 8 $，求 $ x $ 的值。
答案
解析 （1）$ \because $ 正实数 $ x $ 的两个不相等的平方根是 $ a $ 和 $ a + b $，$ \therefore a + a + b = 0 $。
$ \because b = 6 $，$ \therefore 2 a + 6 = 0 $，$ \therefore a = - 3 $。
$ \therefore x = a ^ { 2 } = ( - 3 ) ^ { 2 } = 9 $。
（2）$ \because $ 正实数 $ x $ 的两个不相等的平方根是 $ a $ 和 $ a + b $，
$ \therefore ( a + b ) ^ { 2 } = x $，$ a ^ { 2 } = x $，
$ \because a ^ { 2 } x + ( a + b ) ^ { 2 } x = 8 $，
$ \therefore x ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 $，$ \therefore x ^ { 2 } = 4 $，$ \because x ＞ 0 $，$ \therefore x = 2 $。
$ \because b = 6 $，$ \therefore 2 a + 6 = 0 $，$ \therefore a = - 3 $。
$ \therefore x = a ^ { 2 } = ( - 3 ) ^ { 2 } = 9 $。
（2）$ \because $ 正实数 $ x $ 的两个不相等的平方根是 $ a $ 和 $ a + b $，
$ \therefore ( a + b ) ^ { 2 } = x $，$ a ^ { 2 } = x $，
$ \because a ^ { 2 } x + ( a + b ) ^ { 2 } x = 8 $，
$ \therefore x ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 8 $，$ \therefore x ^ { 2 } = 4 $，$ \because x ＞ 0 $，$ \therefore x = 2 $。
4. 「2025 吉林长春八十七中月考」当 $ x = $
3
时，$\sqrt{x - 3} - 7$ 取最小值，其最小值为- 7
。答案
答案 $ 3 $；$ - 7 $
解析 $ \because \sqrt { x - 3 } ≥ 0 $，$ \therefore $ 当 $ x - 3 $ 取最小值 $ 0 $ 时，$ \sqrt { x - 3 } - 7 $ 取最小值 $ - 7 $，此时 $ x = 3 $，$ \therefore $ 当 $ x = 3 $ 时，$ \sqrt { x - 3 } - 7 $ 取最小值，其最小值为 $ - 7 $。
解析 $ \because \sqrt { x - 3 } ≥ 0 $，$ \therefore $ 当 $ x - 3 $ 取最小值 $ 0 $ 时，$ \sqrt { x - 3 } - 7 $ 取最小值 $ - 7 $，此时 $ x = 3 $，$ \therefore $ 当 $ x = 3 $ 时，$ \sqrt { x - 3 } - 7 $ 取最小值，其最小值为 $ - 7 $。
5. 代数式 $ 3 - \sqrt{4 - x^2} $ 的最大值是
3
。答案
答案 $ 3 $
解析 $ \because \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } ≥ 0 $，$ \therefore 3 - \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } ≤ 3 $，
$ \therefore $ 代数式 $ 3 - \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } $ 的最大值是 $ 3 $。
解析 $ \because \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } ≥ 0 $，$ \therefore 3 - \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } ≤ 3 $，
$ \therefore $ 代数式 $ 3 - \sqrt { 4 - x ^ { 2 } } $ 的最大值是 $ 3 $。
6. 「2025 广东汕尾陆丰东海二中月考」求下列各式中 $ x $ 的值。
(1) $ (x - 3)^2 = 121 $。
(2) $ (2x + 7)^2 - 9 = 0 $。
(1) $ (x - 3)^2 = 121 $。
(2) $ (2x + 7)^2 - 9 = 0 $。
答案
解析 （1）开平方，得 $ x - 3 = \pm 11 $，
所以 $ x - 3 = 11 $ 或 $ x - 3 = - 11 $，
解得 $ x = 14 $ 或 $ x = - 8 $。
（2）移项，得 $ ( 2 x + 7 ) ^ { 2 } = 9 $，
开平方，得 $ 2 x + 7 = \pm 3 $，
所以 $ 2 x + 7 = 3 $ 或 $ 2 x + 7 = - 3 $，
解得 $ x = - 2 $ 或 $ x = - 5 $。
所以 $ x - 3 = 11 $ 或 $ x - 3 = - 11 $，
解得 $ x = 14 $ 或 $ x = - 8 $。
（2）移项，得 $ ( 2 x + 7 ) ^ { 2 } = 9 $，
开平方，得 $ 2 x + 7 = \pm 3 $，
所以 $ 2 x + 7 = 3 $ 或 $ 2 x + 7 = - 3 $，
解得 $ x = - 2 $ 或 $ x = - 5 $。
7. 「2025 河南安阳月考」
(1) 阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程 $ x^2 - 5 = 0 $。
(2) 知识延伸：解一元二次方程 $ 4(1 - 2x)^2 - 24 = 0 $。子涵同学把 $ (1 - 2x) $ 看作一个整体，利用所学平方根的知识解出了本题，相信你也能做出来，请写出你的解题过程。
(3) 迁移应用：由乘方的意义可知，$ x^4 = \underbrace{x · x · x · x}_{4 个} = x^2 · x^2 = (x^2)^2 $，请你解方程 $ 81x^4 - 256 = 0 $。
(1) 阅读理解：在七年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程 $ x^2 - 5 = 0 $。
(2) 知识延伸：解一元二次方程 $ 4(1 - 2x)^2 - 24 = 0 $。子涵同学把 $ (1 - 2x) $ 看作一个整体，利用所学平方根的知识解出了本题，相信你也能做出来，请写出你的解题过程。
(3) 迁移应用：由乘方的意义可知，$ x^4 = \underbrace{x · x · x · x}_{4 个} = x^2 · x^2 = (x^2)^2 $，请你解方程 $ 81x^4 - 256 = 0 $。
答案
解析 （1）移项，得 $ x ^ { 2 } = 5 $，解得 $ x = \pm \sqrt { 5 } $。
（2）移项，得 $ 4 ( 1 - 2 x ) ^ { 2 } = 24 $，
整理，得 $ ( 1 - 2 x ) ^ { 2 } = 6 $，
开平方，得 $ 1 - 2 x = \pm \sqrt { 6 } $，
解得 $ x = \frac { 1 + \sqrt { 6 } } { 2 } $ 或 $ x = \frac { 1 - \sqrt { 6 } } { 2 } $。
（3）移项，得 $ 81 x ^ { 4 } = 256 $，
整理，得 $ x ^ { 4 } = \frac { 256 } { 81 } $，
开平方，得 $ x ^ { 2 } = \frac { 16 } { 9 } $ 或 $ x ^ { 2 } = - \frac { 16 } { 9 } $（舍去），
开平方，得 $ x = \frac { 4 } { 3 } $ 或 $ x = - \frac { 4 } { 3 } $。
（2）移项，得 $ 4 ( 1 - 2 x ) ^ { 2 } = 24 $，
整理，得 $ ( 1 - 2 x ) ^ { 2 } = 6 $，
开平方，得 $ 1 - 2 x = \pm \sqrt { 6 } $，
解得 $ x = \frac { 1 + \sqrt { 6 } } { 2 } $ 或 $ x = \frac { 1 - \sqrt { 6 } } { 2 } $。
（3）移项，得 $ 81 x ^ { 4 } = 256 $，
整理，得 $ x ^ { 4 } = \frac { 256 } { 81 } $，
开平方，得 $ x ^ { 2 } = \frac { 16 } { 9 } $ 或 $ x ^ { 2 } = - \frac { 16 } { 9 } $（舍去），
开平方，得 $ x = \frac { 4 } { 3 } $ 或 $ x = - \frac { 4 } { 3 } $。
