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12. 「★☆」如图，数轴上点$A$，$B$表示的数分别是 1，$\sqrt{3}$，且$B$，$C$两点到点$A$的距离相等，则点$C$表示的数是(
A.$\frac{1}{4}$
B.$1 - \sqrt{3}$
C.$2 - \sqrt{3}$
D.$3 - \sqrt{3}$
C
)A.$\frac{1}{4}$
B.$1 - \sqrt{3}$
C.$2 - \sqrt{3}$
D.$3 - \sqrt{3}$
答案
12. C $\because$数轴上点$A$，$B$表示的数分别是$1$，$\sqrt{3}$，$\therefore AB=\sqrt{3}-1$，$\because B$，$C$两点到点$A$的距离相等，$\therefore AC = AB=\sqrt{3}-1$，$\therefore$点$C$表示的数是$1-(\sqrt{3}-1)=1-\sqrt{3}+1=2-\sqrt{3}$.故选C.
13. 「2025 山东临沂河东期中，★☆」如图，通过画边长为 1 的正方形，就能准确地把$\sqrt{2}$表示在数轴上点$A_1$处，记$A_1$右侧最近的整数点为$B_1$，以点$B_1$为圆心，$A_1B_1$的长为半径画半圆，交数轴于点$A_2$，记$A_2$右侧最近的整数点为$B_2$，以点$B_2$为圆心，$A_2B_2$的长为半径画半圆，交数轴于点$A_3$，则点$A_3$表示的实数为(
A.$\sqrt{2} - 1$
B.$\sqrt{2}$
C.$4 - \sqrt{2}$
D.$2 + \sqrt{2}$
D
)A.$\sqrt{2} - 1$
B.$\sqrt{2}$
C.$4 - \sqrt{2}$
D.$2 + \sqrt{2}$
答案
13. D 由题意得$OA_{1}=\sqrt{2}$，$\because 1＜\sqrt{2}＜2$，$\therefore$点$B_{1}$表示的数为$2$，$\therefore B_{1}A_{2}=2-\sqrt{2}$，$\therefore$点$A_{2}$表示的数为$2 + 2-\sqrt{2}=4-\sqrt{2}$，$\because 2＜4-\sqrt{2}＜3$，$\therefore$点$B_{2}$表示的数为$3$，$\therefore B_{2}A_{3}=3 - 4+\sqrt{2}=\sqrt{2}-1$，$\therefore$点$A_{3}$表示的实数为$3+\sqrt{2}-1=2+\sqrt{2}$.故选D.
14. 「★☆」计算：
（1）$-1^{2025} - \sqrt{2}(\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \sqrt[3]{27} + \sqrt{3} - 2$.
（2）$\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) - \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
（1）$-1^{2025} - \sqrt{2}(\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) + \sqrt[3]{27} + \sqrt{3} - 2$.
（2）$\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) - \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} - \sqrt{2}$.
答案
14. 解析 (1)$-1^{2025}-\sqrt{2}(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}})+\sqrt[3]{27}+|\sqrt{3}-2|=-1-(2 - 1)+3 + 2-\sqrt{3}=-1 - 1+3+2-\sqrt{3}=3-\sqrt{3}$.
(2)$\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)-|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}-\sqrt{2}|=3-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=1+\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
(2)$\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)-|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}-\sqrt{2}|=3-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=1+\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
15. 「2025 贵州贵阳南明期中，★☆」已知$\sqrt[3]{x - 1}$和$\sqrt[3]{3 - 2x}$互为相反数，且$y + 4$的平方根是它本身，求$xy$的立方根。
答案
15. 解析 $\because \sqrt[3]{x - 1}$和$\sqrt[3]{3 - 2x}$互为相反数，$\therefore x - 1+3 - 2x = 0$，解得$x = 2$. $\because y + 4$的平方根是它本身，$\therefore y + 4 = 0$，$\therefore y=-4$，$\therefore xy=2×(-4)=-8$，$\because -8$的立方根是$-2$，$\therefore xy$的立方根是$-2$.
16. 「学科特色 教材变式」「2025 河北唐山路北期中，★☆」如图，长方形内两个正方形的面积分别为$9\ cm^2$，$5\ cm^2$。
（1）求长方形的周长。
（2）求图中两块阴影部分的面积和。
（1）求长方形的周长。
（2）求图中两块阴影部分的面积和。
答案
16. 解析 (1)$\because$两个正方形的面积分别为$9\mathrm{cm}^{2}$，$5\mathrm{cm}^{2}$，$\therefore$大正方形的边长为$\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$，小正方形的边长为$\sqrt{5}\mathrm{cm}$，$\therefore$长方形的周长为$2(3+\sqrt{5}+3)=(12 + 2\sqrt{5})\mathrm{cm}$.
(2)$\because$长方形由两个正方形和两块阴影部分组成，$\therefore$两块阴影部分的面积和为$3(3+\sqrt{5})-9 - 5=(3\sqrt{5}-5)\mathrm{cm}^{2}$.
(2)$\because$长方形由两个正方形和两块阴影部分组成，$\therefore$两块阴影部分的面积和为$3(3+\sqrt{5})-9 - 5=(3\sqrt{5}-5)\mathrm{cm}^{2}$.
17. 「新课标 新考向 运算能力 新定义题」对任意一个实数$x$，定义：$[x]$表示不超过$x$的最大整数，$\{x\}$表示$x$的非负纯小数部分，即$x = [x] + \{x\}(0 ≤ \{x\} ＜ 1)$。例：$\sqrt{5} = [\sqrt{5}] + \{\sqrt{5}\}$，其中$[\sqrt{5}] = 2$，$\{\sqrt{5}\} = \sqrt{5} - 2$；$-\sqrt{5} = [-\sqrt{5}] + \{-\sqrt{5}\}$，其中$[-\sqrt{5}] = -3$，$\{-\sqrt{5}\} = 3 - \sqrt{5}$。
(1)$[10 - \sqrt{10}] = \_\_\_\_\_\_$.
(2)若$x = 8 + \sqrt{5}$，$y = 2 + \sqrt{5}$，求$(\{x\} - \{y\})^2 + [x] - \{x\} + \sqrt{5}$的值。
(1)$[10 - \sqrt{10}] = \_\_\_\_\_\_$.
(2)若$x = 8 + \sqrt{5}$，$y = 2 + \sqrt{5}$，求$(\{x\} - \{y\})^2 + [x] - \{x\} + \sqrt{5}$的值。
答案
17. 解析 (1)$\because 3＜\sqrt{10}＜4$，$\therefore 6＜10-\sqrt{10}＜7$，$\therefore [10-\sqrt{10}]=6$.故答案为6.
(2)$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore 10＜8+\sqrt{5}＜11$，$4＜2+\sqrt{5}＜5$，$\therefore \{x\}=8+\sqrt{5}-10=\sqrt{5}-2$，$[x]=10$，$\{y\}=2+\sqrt{5}-4=\sqrt{5}-2$，$\therefore \{x\}-\{y\}=0$，$\therefore$原式$=0^{2}+10-(\sqrt{5}-2)+\sqrt{5}=0 + 10-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}=12$.
(2)$\because 2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore 10＜8+\sqrt{5}＜11$，$4＜2+\sqrt{5}＜5$，$\therefore \{x\}=8+\sqrt{5}-10=\sqrt{5}-2$，$[x]=10$，$\{y\}=2+\sqrt{5}-4=\sqrt{5}-2$，$\therefore \{x\}-\{y\}=0$，$\therefore$原式$=0^{2}+10-(\sqrt{5}-2)+\sqrt{5}=0 + 10-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}=12$.
