【变式2】(1)试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式y = $\frac{4x - x^2}{2}$描述;
(2)求第(1)问中的函数的最大值,并解释其实际意义.

解:答案不唯一,如(1)由$y=\frac{4x-x^{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(4-x)$可构建如下情境:已知$Rt\triangle ABC$的两直角边之和为4,设两直角边分别为$AB=x,AC=4-x$,三角形的面积为y,则$y=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot x\cdot(4-x)=\frac{4x-x^{2}}{2}$,其中$0＜x＜4$.
@@(2)$\because y=\frac{4x-x^{2}}{2}=-\frac{1}{2}(x-2)^{2}+2,0＜x＜4$,$\therefore$当$x=2$时,y取得最大值,$y_{max}=2$,此时$AB=AC=2$,即当该直角三角形的两直角边相等时,三角形的面积取最大值,最大值为2.

1.设函数f(x) = x + $\frac{1}{x}$ + 1.若f(a) = 3,则f(-a)的值为()
A.-3
B.-1
C.1
D.2

B 由题意,得$f(a)=a+\frac{1}{a}+1=3$,所以$a+\frac{1}{a}=2$,所以$f(-a)=-a-\frac{1}{a}+1=-(a+\frac{1}{a})+1=-2+1=-1$.

2.(教材改编题)(多选)下列能够表示从集合A = {-2,0,1}到集合B = {-1,0,1,2,4}的函数关系的是()
A.y = -x
B.y = |x|
C.y = -2x
$D.y = x^2$

ABD 对于A,在$y=-x$中,当$x=-2,0,1$时,对应的函数值分别为2,0,-1,都属于集合B,故A正确;对于B,在$y=|x|$中,当$x=-2,0,1$时,对应的函数值分别为2,0,1,都属于集合B,故B正确;对于C,在$y=-2x$中,当$x=-2,0,1$时,对应的函数值分别为4,0,-2,与集合B不对应,故C错误;对于D,在$y=x^{2}$中,当$x=-2,0,1$时,对应的函数值分别为4,0,1,都属于集合B,故D正确.

3.如图,可以作为函数图象的是.(填序号)

③④ ①②图象中存在一个x值,有两个y值与之对应,所以不是函数图象;③④符合函数的定义.

4.若函数y = f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的值域为.

$\{y|1\leqslant y\leqslant5\}$

5.(浙江卷)设函数f(x) = $\frac{4}{1 - x}$,若f(a) = 2,则实数a =

-1 由$f(a)=2$,得$\frac{4}{1-a}=2$,解得$a=-1$.

6.(多选)已知$f(x) = 2x^2 + 2,$则下列结论正确的是()
A.若f(a) = 10,则a = ±2
B.若g(x) = $\frac{1}{x + 2}$,则g(f(2)) = $\frac{1}{6}$
C.函数f(x)的图象与x轴有两个交点
D.点(3,20)在函数f(x)的图象上

AD 对于选项A,由$f(x)=2x^{2}+2$,得$f(a)=2a^{2}+2=10$,解得$a=\pm2$,故选项A正确;
对于选项B,由$f(x)=2x^{2}+2$,得$f(2)=2\times4+2=10$,所以$g(f(2))=\frac{1}{10+2}=\frac{1}{12}$,故选项B错误;
对于选项C,因为$f(x)=2x^{2}+2\geqslant2$,所以函数$f(x)$的图象与x轴没有交点,故选项C错误;
对于选项D,因为$f(x)=2x^{2}+2$,所以$f(3)=2\times9+2=20$,所以点$(3,20)$在函数$f(x)$的图象上,故选项D正确.

7.已知函数f(x) = $\frac{x + 2}{x + 1}$.
(1)求f(2) + f($\frac{1}{2}$)的值;
(2)判断f(x) + f($\frac{1}{x}$)的值是否为定值,并求出f(1) + f(2) + f(3) + … + f(2 023) + f($\frac{1}{2}$) + f($\frac{1}{3}$) + … + f($\frac{1}{2 023}$)的值.
(提示:(1)直接代入计算;(2)代入并化简f(x) + f($\frac{1}{x}$),然后根据结果对所求式子分组进行计算)

解:(1)因为函数$f(x)=\frac{x+2}{x+1}$,所以$f(2)=\frac{2+2}{2+1}=\frac{4}{3}$,$f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}+2}{\frac{1}{2}+1}=\frac{5}{3}$,所以$f(2)+f(\frac{1}{2})=3$.
(2)$f(x)+f(\frac{1}{x})$的值是定值.
依题意,得$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x+2}{x+1}+\frac{\frac{1}{x}+2}{\frac{1}{x}+1}=\frac{x+2}{x+1}+\frac{1+2x}{1+x}=\frac{3+3x}{1+x}=3$,所以$f(x)+f(\frac{1}{x})$的值是定值,定值为3.
$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(2023)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{3})+\cdots +f(\frac{1}{2023})$
$=f(1)+[f(2)+f(\frac{1}{2})]+[f(3)+f(\frac{1}{3})]+\cdots +[f(2023)+f(\frac{1}{2023})]$
$=1.5+3\times2022$
$=6067.5$.