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1.【例】教室内饮水机接通电源后自动循环工作:开机后加热升温,当水温达到100 ℃时停止加热,水温自然冷却下降;当水温回落至30 ℃时,饮水机自动重启加热,重复上述过程.李老师于7:20到校接通饮水机电源,记接通电源后第x分钟时对应的水温为y ℃,水温随时间变化的测量数据如表所示:
请根据上述信息解决下列问题:
(1)根据表中数据在如图所示的平面直角坐标系中,描出相应的点;
(2)选择适当的函数,分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数解析式并写出自变量x的取值范围;
(3)上午第一节下课时间为8:45,同学们能不能喝到不超过50 ℃的水?请通过计算说明.
请根据上述信息解决下列问题:
(1)根据表中数据在如图所示的平面直角坐标系中,描出相应的点;
(2)选择适当的函数,分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数解析式并写出自变量x的取值范围;
(3)上午第一节下课时间为8:45,同学们能不能喝到不超过50 ℃的水?请通过计算说明.
答案
1. (1) 描出的点如图所示
。(2) 由图知,第一次加热过程y是关于x的一次函数,且过点(0,30)。所以设y = mx + 30(m≠0)。将点(7,100)代入,得100 = 7m + 30。解得m = 10。
∴第一次加热过程的函数解析式为y = 10x + 30(0≤x≤7)。由图知,第一次降温过程y是关于x的反比例函数。设y = k/x (k≠0)。将点(10,70)代入,得70 = k/10。解得k = 700。当y = 30时,有700/x = 30。解得x = 70/3。
∴第一次降温过程的函数解析式为y = 700/x (7 ＜ x ≤ 70/3)。
(3) 能。计算过程如下:由题意,得由7:20到8:45,共计时长为1小时25分钟,即85分钟。由(2)知,第一次降温过程的函数解析式y = 700/x中自变量x的取值范围为7 ＜ x ≤ 70/3。
∴饮水机一个完整工作周期(加热降温)的时间为70/3分钟。
∵85 ÷ 70/3 = 3……15,
∴85分钟,可经过3次完整工作循环,且剩余15分钟。此时水温与第15分钟的水温相同。当x = 15时,y = 700/15 ≈46.7。
∵46.7 ＜ 50,
∴同学们能喝到不超过50 ℃的水。
解析
【分析】
(1) 第一问描点只需对应给出的时间、水温数据，在坐标系中找到对应坐标位置标注即可。
(2) 求解函数解析式时，首先观察第一次加热过程：水温随时间均匀上升，符合一次函数特征，且过初始点(0,30)，因此用待定系数法设一次函数解析式，代入已知点求出参数即可，自变量范围对应加热全程的时长。第一次降温过程中，可观察到时间和水温的乘积为定值，符合反比例函数特征，同样用待定系数法设解析式求参数，自变量范围对应从加热结束到水温回落至30℃的时间段。
(3) 判断8:45能否喝到不超过50℃的水，先计算7:20到8:45的总时长，再结合饮水机一个工作周期（加热+降温）的时长，算出总时长对应若干完整周期后的剩余时间，将剩余时间代入对应阶段的函数解析式求水温，与50℃比较即可得到结论。
【解析】
(1) 根据测量数据在坐标系对应位置描点，结果如图所示。
(2) ①第一次加热过程：y是x的一次函数，且过点(0,30)，设解析式为$ y = mx + 30(m≠0) $。
将点(7,100)代入得：$ 100 = 7m + 30 $，解得$ m=10 $。
因此第一次加热过程的函数解析式为$ y = 10x + 30 $，自变量x的取值范围是$ 0≤ x≤7 $。
②第一次降温过程：y是x的反比例函数，设解析式为$ y = \frac{k}{x}(k≠0) $。
将点(10,70)代入得：$ 70 = \frac{k}{10} $，解得$ k=700 $。
当水温回落至30℃时，代入得$ 30 = \frac{700}{x} $，解得$ x=\frac{70}{3} $，即降温阶段到$ x=\frac{70}{3} $时结束。
因此第一次降温过程的函数解析式为$ y = \frac{700}{x} $，自变量x的取值范围是$ 7 ＜ x ≤ \frac{70}{3} $。
(3) 首先计算总时长：7:20到8:45共1小时25分钟，即85分钟。
由(2)可知饮水机一个完整工作周期时长为$ \frac{70}{3} $分钟，计算得$ 85 ÷ \frac{70}{3} = 3······15 $，即经过3个完整周期后剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同。
将$ x=15 $代入降温阶段解析式得$ y = \frac{700}{15} \approx46.7℃ $，因为$ 46.7＜50 $，所以可以喝到不超过50℃的水。
【答案】
(1) 描出的点如图所示。
(2) 第一次加热过程：$ y = 10x + 30(0≤ x≤7) $；第一次降温过程：$ y = \frac{700}{x} (7 ＜ x ≤ \frac{70}{3}) $。
(3) 能，7:20到8:45共85分钟，经过3个完整工作周期后剩余15分钟，此时水温约为46.7℃，低于50℃，因此同学们能喝到不超过50℃的水。
【知识点】
一次函数应用，反比例函数应用，周期规律计算
【点评】
本题结合生活中饮水机的工作场景命题，考查了函数模型判断、待定系数法求函数解析式、函数的实际应用等内容，需要学生具备从数据中提取信息、结合函数性质解决实际问题的能力，较好地体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问描点只需对应给出的时间、水温数据，在坐标系中找到对应坐标位置标注即可。
(2) 求解函数解析式时，首先观察第一次加热过程：水温随时间均匀上升，符合一次函数特征，且过初始点(0,30)，因此用待定系数法设一次函数解析式，代入已知点求出参数即可，自变量范围对应加热全程的时长。第一次降温过程中，可观察到时间和水温的乘积为定值，符合反比例函数特征，同样用待定系数法设解析式求参数，自变量范围对应从加热结束到水温回落至30℃的时间段。
(3) 判断8:45能否喝到不超过50℃的水，先计算7:20到8:45的总时长，再结合饮水机一个工作周期（加热+降温）的时长，算出总时长对应若干完整周期后的剩余时间，将剩余时间代入对应阶段的函数解析式求水温，与50℃比较即可得到结论。
【解析】
(1) 根据测量数据在坐标系对应位置描点，结果如图所示
。(2) ①第一次加热过程：y是x的一次函数，且过点(0,30)，设解析式为$ y = mx + 30(m≠0) $。
将点(7,100)代入得：$ 100 = 7m + 30 $，解得$ m=10 $。
因此第一次加热过程的函数解析式为$ y = 10x + 30 $，自变量x的取值范围是$ 0≤ x≤7 $。
②第一次降温过程：y是x的反比例函数，设解析式为$ y = \frac{k}{x}(k≠0) $。
将点(10,70)代入得：$ 70 = \frac{k}{10} $，解得$ k=700 $。
当水温回落至30℃时，代入得$ 30 = \frac{700}{x} $，解得$ x=\frac{70}{3} $，即降温阶段到$ x=\frac{70}{3} $时结束。
因此第一次降温过程的函数解析式为$ y = \frac{700}{x} $，自变量x的取值范围是$ 7 ＜ x ≤ \frac{70}{3} $。
(3) 首先计算总时长：7:20到8:45共1小时25分钟，即85分钟。
由(2)可知饮水机一个完整工作周期时长为$ \frac{70}{3} $分钟，计算得$ 85 ÷ \frac{70}{3} = 3······15 $，即经过3个完整周期后剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同。
将$ x=15 $代入降温阶段解析式得$ y = \frac{700}{15} \approx46.7℃ $，因为$ 46.7＜50 $，所以可以喝到不超过50℃的水。
【答案】
(1) 描出的点如图所示
。(2) 第一次加热过程：$ y = 10x + 30(0≤ x≤7) $；第一次降温过程：$ y = \frac{700}{x} (7 ＜ x ≤ \frac{70}{3}) $。
(3) 能，7:20到8:45共85分钟，经过3个完整工作周期后剩余15分钟，此时水温约为46.7℃，低于50℃，因此同学们能喝到不超过50℃的水。
【知识点】
一次函数应用，反比例函数应用，周期规律计算
【点评】
本题结合生活中饮水机的工作场景命题，考查了函数模型判断、待定系数法求函数解析式、函数的实际应用等内容，需要学生具备从数据中提取信息、结合函数性质解决实际问题的能力，较好地体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7
2. 一般成人喝半斤低度白酒后，1.5 h内（包括1.5 h）其血液中酒精含量y（单位：mg/100 mL）与时间x（单位：h）的关系可近似地用二次函数$y = -200x^2 + 400x$表示；1.5 h后（包括1.5 h）y与x的关系可近似地用反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0)$表示，如图所示。
(1) 求k的值；
(2) 某人晚上喝完半斤低度白酒，问有多长时间其血液中酒精含量不低于72 mg/100 mL？
(1) 求k的值；
(2) 某人晚上喝完半斤低度白酒，问有多长时间其血液中酒精含量不低于72 mg/100 mL？
答案
2. (1) 当x = 1.5时,y = -200×1.5² + 400×1.5 = 150。
∴k = 1.5×150 = 225。
(2) 由(1)得,反比例函数的解析式为y = 225/x。将y = 72代入y = -200x² + 400x,得72 = -200x² + 400x。解得x₁ = 1/5,x₂ = 9/5(舍去)。将y = 72代入y = 225/x,得x = 25/8。
∴25/8 - 1/5 = 117/40 (h) = 175.5 (min)。答:此人有175.5 min的时间其血液中酒精含量不低于72 mg/100 mL。
∴k = 1.5×150 = 225。
(2) 由(1)得,反比例函数的解析式为y = 225/x。将y = 72代入y = -200x² + 400x,得72 = -200x² + 400x。解得x₁ = 1/5,x₂ = 9/5(舍去)。将y = 72代入y = 225/x,得x = 25/8。
∴25/8 - 1/5 = 117/40 (h) = 175.5 (min)。答:此人有175.5 min的时间其血液中酒精含量不低于72 mg/100 mL。
解析
【分析】
(1) 求反比例函数的$k$值时，$x=1.5$是两个分段函数的分界点，该点同时在二次函数和反比例函数图象上，因此先将$x=1.5$代入二次函数求出对应的$y$值，再根据反比例函数$k=xy$的性质即可计算得到$k$。
(2) 求酒精含量不低于$72\ \mathrm{mg}/100\ \mathrm{mL}$的时长，本质是求$y\ge72$时$x$的取值区间：①在$0\le x\le1.5$的区间内，代入二次函数求解$y=72$的根，筛选出符合该区间的根作为区间左端点；②在$x\ge1.5$的区间内，代入反比例函数求解$y=72$的根作为区间右端点；右端点减去左端点即为总时长，可根据需求换算为分钟单位。
【解析】
(1) 当$x=1.5$时，代入二次函数$y=-200x^2+400x$：
$y=-200×1.5^2+400×1.5=-450+600=150$
因为点$(1.5,150)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，因此：
$k=xy=1.5×150=225$
(2) ① 当$0\le x\le1.5$时，令$y=72$，代入二次函数得：
$72=-200x^2+400x$
整理得$25x^2-50x+9=0$，解得$x_1=\frac{1}{5}=0.2$，$x_2=\frac{9}{5}=1.8$
因为$1.8＞1.5$，不符合区间要求，故舍去$x_2$，取左端点$x=0.2\ \mathrm{h}$。
② 当$x\ge1.5$时，反比例函数解析式为$y=\frac{225}{x}$，令$y=72$得：
$72=\frac{225}{x}$，解得$x=\frac{25}{8}=3.125\ \mathrm{h}$，即右端点为$3.125\ \mathrm{h}$。
总时长为$3.125-0.2=2.925\ \mathrm{h}$，换算为分钟：$2.925×60=175.5\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=225}$
(2) $\boldsymbol{175.5\ \mathrm{min}}$（或$\boldsymbol{\dfrac{117}{40}\ \mathrm{h}}$）
【知识点】
1. 反比例函数求解析式
2. 二次函数实际应用
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题核心是明确不同区间对应的函数类型，求解方程后要注意验证根是否符合对应区间的取值范围，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.6
(1) 求反比例函数的$k$值时，$x=1.5$是两个分段函数的分界点，该点同时在二次函数和反比例函数图象上，因此先将$x=1.5$代入二次函数求出对应的$y$值，再根据反比例函数$k=xy$的性质即可计算得到$k$。
(2) 求酒精含量不低于$72\ \mathrm{mg}/100\ \mathrm{mL}$的时长，本质是求$y\ge72$时$x$的取值区间：①在$0\le x\le1.5$的区间内，代入二次函数求解$y=72$的根，筛选出符合该区间的根作为区间左端点；②在$x\ge1.5$的区间内，代入反比例函数求解$y=72$的根作为区间右端点；右端点减去左端点即为总时长，可根据需求换算为分钟单位。
【解析】
(1) 当$x=1.5$时，代入二次函数$y=-200x^2+400x$：
$y=-200×1.5^2+400×1.5=-450+600=150$
因为点$(1.5,150)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上，因此：
$k=xy=1.5×150=225$
(2) ① 当$0\le x\le1.5$时，令$y=72$，代入二次函数得：
$72=-200x^2+400x$
整理得$25x^2-50x+9=0$，解得$x_1=\frac{1}{5}=0.2$，$x_2=\frac{9}{5}=1.8$
因为$1.8＞1.5$，不符合区间要求，故舍去$x_2$，取左端点$x=0.2\ \mathrm{h}$。
② 当$x\ge1.5$时，反比例函数解析式为$y=\frac{225}{x}$，令$y=72$得：
$72=\frac{225}{x}$，解得$x=\frac{25}{8}=3.125\ \mathrm{h}$，即右端点为$3.125\ \mathrm{h}$。
总时长为$3.125-0.2=2.925\ \mathrm{h}$，换算为分钟：$2.925×60=175.5\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{k=225}$
(2) $\boldsymbol{175.5\ \mathrm{min}}$（或$\boldsymbol{\dfrac{117}{40}\ \mathrm{h}}$）
【知识点】
1. 反比例函数求解析式
2. 二次函数实际应用
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题核心是明确不同区间对应的函数类型，求解方程后要注意验证根是否符合对应区间的取值范围，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.6
