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1.某段公路上车辆的行驶速度y(单位:千米/时)与路上每百米拥有车的数量x(单位:辆)的关系如图所示,当$x≥8$时,y与x成反比例函数关系,当车速度低于20千米/时,交通就会拥堵,为避免出现交通拥堵,公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是 (
A.$x＜32$
B.$x≤32$
C.$x＞32$
D.$x≥32$
B
)A.$x＜32$
B.$x≤32$
C.$x＞32$
D.$x≥32$
答案
1. B
解析
【分析】
解题需分三步思考：第一步，题目明确x≥8时y与x成反比例函数关系，先通过图像上的已知点求出反比例函数的解析式；第二步，结合“避免交通拥堵即行驶速度不低于20千米/时”的条件，列出对应的不等式；第三步，解不等式结合自变量的实际意义得到x的取值范围。
【解析】
设当$x≥8$时，$y$与$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$。
由图像可知，当$x=8$时，$y=80$，将其代入解析式得：
$80=\frac{k}{8}$，解得$k=8×80=640$，
因此反比例函数解析式为$y=\frac{640}{x}\ (x≥8)$。
要避免交通拥堵，需满足$y≥20$，代入解析式得：
$\frac{640}{x}≥20$，
由于$x$表示车辆数，为正数，不等号方向不变，两边同乘$x$得：
$640≥20x$，解得$x≤32$。
又因为当$x＜8$时，$y=80＞20$，不会出现拥堵，因此$x$的取值范围是$x≤32$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求函数解析式；解一元一次不等式
【点评】
本题结合交通拥堵的实际情境考查反比例函数的应用，解题的核心是先求出反比例函数解析式，再结合题意列出不等式求解，需注意自变量的实际意义，是函数实际应用类的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题需分三步思考：第一步，题目明确x≥8时y与x成反比例函数关系，先通过图像上的已知点求出反比例函数的解析式；第二步，结合“避免交通拥堵即行驶速度不低于20千米/时”的条件，列出对应的不等式；第三步，解不等式结合自变量的实际意义得到x的取值范围。
【解析】
设当$x≥8$时，$y$与$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$。
由图像可知，当$x=8$时，$y=80$，将其代入解析式得：
$80=\frac{k}{8}$，解得$k=8×80=640$，
因此反比例函数解析式为$y=\frac{640}{x}\ (x≥8)$。
要避免交通拥堵，需满足$y≥20$，代入解析式得：
$\frac{640}{x}≥20$，
由于$x$表示车辆数，为正数，不等号方向不变，两边同乘$x$得：
$640≥20x$，解得$x≤32$。
又因为当$x＜8$时，$y=80＞20$，不会出现拥堵，因此$x$的取值范围是$x≤32$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求函数解析式；解一元一次不等式
【点评】
本题结合交通拥堵的实际情境考查反比例函数的应用，解题的核心是先求出反比例函数解析式，再结合题意列出不等式求解，需注意自变量的实际意义，是函数实际应用类的常见题型。
【难度系数】
0.7
2.某工厂进行治污改造，其月利润y(单位：万元)与月份x(单位：月)之间的变化关系如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，若4月份的利润为50万元，则9月份的利润为
175
万元.答案
2. 175
解析
【分析】
本题为分段函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图像可知，1≤x≤4时函数为反比例函数，x≥4时函数为一次函数；第一步先利用已知点(1,200)求出反比例函数解析式，验证x=4时的函数值与题目给出的4月利润一致；第二步利用一次函数经过的(4,50)和(6,100)两个点，用待定系数法求出一次函数解析式；最后将x=9代入一次函数解析式，即可求出9月份的利润。
【解析】
1. 求1≤x≤4时的反比例函数解析式：
设反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} (k ≠ 0) $，将点$(1,200)$代入得：
$ 200 = \frac{k}{1} $，解得$ k=200 $，即反比例函数为$ y = \frac{200}{x} $。
当$ x=4 $时，$ y=\frac{200}{4}=50 $，与题目给出的4月份利润一致，符合题意。
2. 求x≥4时的一次函数解析式：
设一次函数解析式为$ y = ax + b (a ≠ 0) $，由图像和已知可知函数过点$(4,50)$和$(6,100)$，代入得方程组：
$\begin{cases}4a + b = 50 \\6a + b = 100\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$ 2a = 50 $，解得$ a=25 $。
将$ a=25 $代入$ 4a + b = 50 $得：$ 4×25 + b =50 $，解得$ b=-50 $。
即一次函数解析式为$ y = 25x - 50 (x ≥ 4) $。
3. 计算9月份的利润：
当$ x=9 $时，代入一次函数解析式得：
$ y = 25×9 - 50 = 225 - 50 = 175 $。
【答案】
175
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的应用，一次函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查分段函数的应用，解题核心是准确识别两段函数的类型，结合已知点求出对应解析式，再代入目标自变量求解，解题时需注意不同函数对应的自变量取值范围，避免代入错误。
【难度系数】
0.7
本题为分段函数的实际应用问题，解题思路如下：首先观察图像可知，1≤x≤4时函数为反比例函数，x≥4时函数为一次函数；第一步先利用已知点(1,200)求出反比例函数解析式，验证x=4时的函数值与题目给出的4月利润一致；第二步利用一次函数经过的(4,50)和(6,100)两个点，用待定系数法求出一次函数解析式；最后将x=9代入一次函数解析式，即可求出9月份的利润。
【解析】
1. 求1≤x≤4时的反比例函数解析式：
设反比例函数解析式为$ y = \frac{k}{x} (k ≠ 0) $，将点$(1,200)$代入得：
$ 200 = \frac{k}{1} $，解得$ k=200 $，即反比例函数为$ y = \frac{200}{x} $。
当$ x=4 $时，$ y=\frac{200}{4}=50 $，与题目给出的4月份利润一致，符合题意。
2. 求x≥4时的一次函数解析式：
设一次函数解析式为$ y = ax + b (a ≠ 0) $，由图像和已知可知函数过点$(4,50)$和$(6,100)$，代入得方程组：
$\begin{cases}4a + b = 50 \\6a + b = 100\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$ 2a = 50 $，解得$ a=25 $。
将$ a=25 $代入$ 4a + b = 50 $得：$ 4×25 + b =50 $，解得$ b=-50 $。
即一次函数解析式为$ y = 25x - 50 (x ≥ 4) $。
3. 计算9月份的利润：
当$ x=9 $时，代入一次函数解析式得：
$ y = 25×9 - 50 = 225 - 50 = 175 $。
【答案】
175
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的应用，一次函数的应用
【点评】
本题结合实际场景考查分段函数的应用，解题核心是准确识别两段函数的类型，结合已知点求出对应解析式，再代入目标自变量求解，解题时需注意不同函数对应的自变量取值范围，避免代入错误。
【难度系数】
0.7
3. 一种实验用轨道弹珠,在轨道上行驶5分后离开轨道,前2分其速度v(单位:米/分)与时间t(单位:分)满足二次函数$v = at^2$,后3分v与t满足反比例函数关系,如图所示.若轨道旁边的测速仪测得弹珠1分末的速度为2米/分,则弹珠离开轨道时的速度为
3.2
米/分.答案
3. 3.2
解析
【分析】
本题是分段函数在实际问题中的应用，解题思路清晰可分为三步：第一步，利用1分末速度为2米/分的已知条件，代入前2分钟对应的二次函数解析式$v=at^2$，求出参数$a$的值，得到完整的二次函数解析式；第二步，将$t=2$代入已求出的二次函数，得到$t=2$时的速度，这个速度是后3分钟反比例函数的已知对应点，利用该点求出反比例函数的解析式；第三步，弹珠行驶5分后离开轨道，将$t=5$代入反比例函数，即可求出离开轨道时的速度。
【解析】
1. 求前2分钟的二次函数解析式
已知当$0≤ t≤2$时，$v=at^2$，将$t=1$，$v=2$代入解析式可得：
$2=a×1^2$，解得$a=2$，
因此二次函数解析式为$v=2t^2\quad(0≤ t≤2)$。
2. 求$t=2$时的速度
将$t=2$代入$v=2t^2$，得：
$v=2×2^2=8$（米/分）。
3. 求后3分钟的反比例函数解析式
已知当$2＜ t≤5$时，$v$与$t$满足反比例函数关系，设解析式为$v=\frac{k}{t}\ (k≠0)$，
将$t=2$，$v=8$代入解析式可得：
$8=\frac{k}{2}$，解得$k=16$，
因此反比例函数解析式为$v=\frac{16}{t}\quad(2＜ t≤5)$。
4. 求弹珠离开轨道时的速度
弹珠$t=5$分时离开轨道，将$t=5$代入$v=\frac{16}{t}$，得：
$v=\frac{16}{5}=3.2$（米/分）。
【答案】
3.2
【知识点】
二次函数的应用；反比例函数的应用；分段函数
【点评】
本题结合实际场景考查分段函数的求解与应用，解题核心是利用已知点求出各段函数的解析式，再代入对应自变量计算结果即可，解题时需要注意不同函数对应的自变量取值范围。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数在实际问题中的应用，解题思路清晰可分为三步：第一步，利用1分末速度为2米/分的已知条件，代入前2分钟对应的二次函数解析式$v=at^2$，求出参数$a$的值，得到完整的二次函数解析式；第二步，将$t=2$代入已求出的二次函数，得到$t=2$时的速度，这个速度是后3分钟反比例函数的已知对应点，利用该点求出反比例函数的解析式；第三步，弹珠行驶5分后离开轨道，将$t=5$代入反比例函数，即可求出离开轨道时的速度。
【解析】
1. 求前2分钟的二次函数解析式
已知当$0≤ t≤2$时，$v=at^2$，将$t=1$，$v=2$代入解析式可得：
$2=a×1^2$，解得$a=2$，
因此二次函数解析式为$v=2t^2\quad(0≤ t≤2)$。
2. 求$t=2$时的速度
将$t=2$代入$v=2t^2$，得：
$v=2×2^2=8$（米/分）。
3. 求后3分钟的反比例函数解析式
已知当$2＜ t≤5$时，$v$与$t$满足反比例函数关系，设解析式为$v=\frac{k}{t}\ (k≠0)$，
将$t=2$，$v=8$代入解析式可得：
$8=\frac{k}{2}$，解得$k=16$，
因此反比例函数解析式为$v=\frac{16}{t}\quad(2＜ t≤5)$。
4. 求弹珠离开轨道时的速度
弹珠$t=5$分时离开轨道，将$t=5$代入$v=\frac{16}{t}$，得：
$v=\frac{16}{5}=3.2$（米/分）。
【答案】
3.2
【知识点】
二次函数的应用；反比例函数的应用；分段函数
【点评】
本题结合实际场景考查分段函数的求解与应用，解题核心是利用已知点求出各段函数的解析式，再代入对应自变量计算结果即可，解题时需要注意不同函数对应的自变量取值范围。
【难度系数】
0.7
4. (应用意识)一般情况下,中学生完成数学家庭作业时,注意力指数y随时间x(单位:分)的变化规律如图所示(其中AB,BC为线段,CD为双曲线的一部分).
(1)分别求出线段AB所在直线和CD所在双曲线的函数解析式;
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求出一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分?
(1)分别求出线段AB所在直线和CD所在双曲线的函数解析式;
(2)若学生的注意力指数不低于40为高效时间,根据图中信息,求出一般情况下,完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分?
答案
4. 解:(1)设线段AB所在直线的解析式为$y_1 = k_1x + 30(k_1≠0)$. 把$(10,50)$代入,得$k_1 = 2$.
∴线段AB所在直线的解析式为$y_1 = 2x + 30(0≤x≤10)$.
设CD所在双曲线的解析式为$y_2 = \frac{k_2}{x}(k_2≠0)$.
把$(44,50)$代入,得$k_2 = 2200$.
∴CD所在双曲线的解析式为$y_2 = \frac{2200}{x}(x≥44)$.
(2)将$y=40$代入$y_1=2x+30$,得$2x+30=40$. 解得$x=5$.
将$y=40$代入$y_2=\frac{2200}{x}$,得$x=55$.
∴$55-5=50$(分).
∴完成一份数学家庭作业的高效时间是50分.
∴线段AB所在直线的解析式为$y_1 = 2x + 30(0≤x≤10)$.
设CD所在双曲线的解析式为$y_2 = \frac{k_2}{x}(k_2≠0)$.
把$(44,50)$代入,得$k_2 = 2200$.
∴CD所在双曲线的解析式为$y_2 = \frac{2200}{x}(x≥44)$.
(2)将$y=40$代入$y_1=2x+30$,得$2x+30=40$. 解得$x=5$.
将$y=40$代入$y_2=\frac{2200}{x}$,得$x=55$.
∴$55-5=50$(分).
∴完成一份数学家庭作业的高效时间是50分.
解析
【分析】
（1）求分段函数的解析式可使用待定系数法：①线段AB是一次函数图像，已知过点A(0,30)，因此可设一次函数解析式为$y_1=k_1x+30$，再代入点B(10,50)即可求出$k_1$，同时标注自变量x的取值范围；②CD是反比例函数的一部分，设反比例解析式为$y_2=\frac{k_2}{x}$，代入点C(44,50)求出$k_2$，标注自变量取值范围即可。
（2）注意力指数不低于40即$y≥40$，分别将y=40代入AB段和CD段的函数解析式，求出对应的两个x值，两个x的差值就是高效时间的总长度（中间BC段y恒为50，全部符合要求，无需额外计算）。
【解析】
(1) 设线段AB所在直线的解析式为$y_1 = k_1x + 30(k_1≠0)$，
将点$B(10,50)$代入解析式，得$10k_1 + 30 = 50$，解得$k_1=2$，
∴线段AB所在直线的解析式为$y_1 = 2x + 30(0≤x≤10)$。
设CD所在双曲线的解析式为$y_2 = \frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，
将点$C(44,50)$代入解析式，得$50 = \frac{k_2}{44}$，解得$k_2=44×50=2200$，
∴CD所在双曲线的解析式为$y_2 = \frac{2200}{x}(x≥44)$。
(2) 求注意力指数不低于40的时间，即求$y≥40$对应的x的区间长度：
①将$y=40$代入$y_1=2x+30$，得$2x+30=40$，解得$x=5$，即AB段从x=5开始满足要求；
②将$y=40$代入$y_2=\frac{2200}{x}$，得$40=\frac{2200}{x}$，解得$x=2200÷40=55$，即CD段到x=55为止满足要求；
中间BC段（10≤x≤44）y恒为50≥40，全部符合要求，因此高效总时长为$55-5=50$（分）。
【答案】
(1) 线段AB的解析式为$y=2x+30(0≤x≤10)$；CD段的解析式为$y=\frac{2200}{x}(x≥44)$
(2) 完成一份数学家庭作业的高效时间是50分
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；反比例函数应用
【点评】
本题结合学生写作业的实际场景考查分段函数的应用，要求学生能准确识别不同段的函数类型，熟练用待定系数法求解函数解析式，同时能结合函数值求解对应的自变量范围，将数学知识与实际问题结合，实用性较强。
【难度系数】
0.7
（1）求分段函数的解析式可使用待定系数法：①线段AB是一次函数图像，已知过点A(0,30)，因此可设一次函数解析式为$y_1=k_1x+30$，再代入点B(10,50)即可求出$k_1$，同时标注自变量x的取值范围；②CD是反比例函数的一部分，设反比例解析式为$y_2=\frac{k_2}{x}$，代入点C(44,50)求出$k_2$，标注自变量取值范围即可。
（2）注意力指数不低于40即$y≥40$，分别将y=40代入AB段和CD段的函数解析式，求出对应的两个x值，两个x的差值就是高效时间的总长度（中间BC段y恒为50，全部符合要求，无需额外计算）。
【解析】
(1) 设线段AB所在直线的解析式为$y_1 = k_1x + 30(k_1≠0)$，
将点$B(10,50)$代入解析式，得$10k_1 + 30 = 50$，解得$k_1=2$，
∴线段AB所在直线的解析式为$y_1 = 2x + 30(0≤x≤10)$。
设CD所在双曲线的解析式为$y_2 = \frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，
将点$C(44,50)$代入解析式，得$50 = \frac{k_2}{44}$，解得$k_2=44×50=2200$，
∴CD所在双曲线的解析式为$y_2 = \frac{2200}{x}(x≥44)$。
(2) 求注意力指数不低于40的时间，即求$y≥40$对应的x的区间长度：
①将$y=40$代入$y_1=2x+30$，得$2x+30=40$，解得$x=5$，即AB段从x=5开始满足要求；
②将$y=40$代入$y_2=\frac{2200}{x}$，得$40=\frac{2200}{x}$，解得$x=2200÷40=55$，即CD段到x=55为止满足要求；
中间BC段（10≤x≤44）y恒为50≥40，全部符合要求，因此高效总时长为$55-5=50$（分）。
【答案】
(1) 线段AB的解析式为$y=2x+30(0≤x≤10)$；CD段的解析式为$y=\frac{2200}{x}(x≥44)$
(2) 完成一份数学家庭作业的高效时间是50分
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；反比例函数应用
【点评】
本题结合学生写作业的实际场景考查分段函数的应用，要求学生能准确识别不同段的函数类型，熟练用待定系数法求解函数解析式，同时能结合函数值求解对应的自变量范围，将数学知识与实际问题结合，实用性较强。
【难度系数】
0.7
