(人教九上$P_{78}$探究变式)函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型,应用非常广泛,用图象的方法研究函数,形象直观.在现实生活中,我们常用图象的方法研究函数,例如,气温随着时间的变化、股票随着时间的变化等,就常用图象法把函数关系表示出来,然后利用图象进一步分析它们的变化情况.
在现代智能仓储系统中,有一款智能机器狗,为了研究其载重能力$W$(单位:千克)与其运动速度$v$(单位:米/秒)的关系,小明根据相关数据和学习函数的经验,通过实验测得以下数据:

下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,描出上表中以各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出一条曲线,使其尽可能靠近所有的点;
(2)通过描点,连线,发现该曲线形似双曲线的一支,因此尝试选择函数近似描述载重能力$W$与其运动速度$v$之间的关系.
(3)建立模型.设函数解析式为$v=\frac{k}{W}(W＞0)$,根据表中的数据分别求出$k$的值,列表如下.

计算所有$k$值的平均值(结果保留整数).
我们把这个平均值作为$k$的值,就得到一个函数模型.
(4)应用模型.某次任务要求机器狗在5 min内将货物运送至2400 m外的分区货架,求此时机器狗能承载的最大货物质量.

(1) 描点连线作图如下：
(2) 反比例
(3) $k=\frac{1}{5}×(59 + 60 + 61.5 + 58 + 63)≈60$. $v=\frac{60}{W}$
(4) 解:由题意,得$v=2400÷(5×60)=8(\mathrm{m/s})$.
∴此时机器狗能承载的最大货物质量$W=\frac{60}{8}=7.5(\mathrm{kg})$.
答:此时机器狗能承载的最大货物质量为7.5 kg.

【分析】
1. 第(2)问：我们所学的函数中，反比例函数的图象是双曲线，题目明确提示曲线形似双曲线的一支，因此可直接判断对应反比例函数。
2. 第(3)问：求k的平均值只需将给出的5个k值求和后除以个数5，结果保留整数后，代入预设的解析式$v=\frac{k}{W}$即可得到函数模型。
3. 第(4)问：要得到最大载重，需先算出机器狗刚好按时送达的最小速度（速度越小对应载重越大，若速度小于该值则无法按时送达），先统一时间单位，根据行程公式“速度=路程÷时间”算出v，再代入函数解析式即可求出最大载重W。
【解析】
(1) 根据给出的坐标点，用平滑曲线连接各点，使曲线尽可能靠近所有点即可，作图见答案。
(2) 反比例函数的图象为双曲线，符合题目描述的曲线特征，因此选择反比例函数近似描述二者关系。
(3) 计算k的平均值：
$k=\frac{1}{5}×(59 + 60 + 61.5 + 58 + 63)=\frac{301.5}{5}=60.3≈60$
将k=60代入$v=\frac{k}{W}$，得到函数模型为$v=\frac{60}{W}(W＞0)$。
(4) 第一步先换算时间单位：$5\ \mathrm{min}=5×60\ \mathrm{s}=300\ \mathrm{s}$
第二步计算刚好按时送达的最小速度：
$v=\frac{s}{t}=\frac{2400}{300}=8\ \mathrm{m/s}$
第三步代入函数解析式求最大载重：
将$v=8$代入$v=\frac{60}{W}$，解得$W=\frac{60}{8}=7.5\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) 描点连线作图如下：
(2) 反比例
(3) $k=\frac{1}{5}×(59 + 60 + 61.5 + 58 + 63)≈60$，$v=\frac{60}{W}$
(4) 解:由题意,得$v=2400÷(5×60)=8(\mathrm{m/s})$.
∴此时机器狗能承载的最大货物质量$W=\frac{60}{8}=7.5(\mathrm{kg})$.
答:此时机器狗能承载的最大货物质量为7.5 kg.
【知识点】
反比例函数应用，平均数计算，行程问题公式
【点评】
本题结合智能仓储的实际场景考查函数的实际应用，需要学生将数学知识和生活问题结合，既巩固了反比例函数的相关性质和计算，也锻炼了数学建模和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7