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1.【例1】如图，分别求下列抛物线与x轴、y轴的交点坐标，并完成填空。
答案
1. (1)解:当x = 0时,y = -3;
当y = 0时,x² -2x -3 = 0. 解得x₁ = -1,x₂ = 3.
∴ 抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0),与y轴的交点坐标为(0,-3).
① ＞ ②两个不相等 ③2
(2)解:当x = 0时,y = 9;
当y = 0时,x² -6x +9 = 0. 解得x₁ = x₂ = 3.
∴ 抛物线与x轴的交点坐标为(3,0),与y轴的交点坐标为(0,9).
① = ②两个相等 ③1
(3)解:当x = 0时,y = 3;
当y = 0时,x² -2x +3 = 0 无实数根.
∴ 抛物线与x轴无交点,与y轴的交点坐标为(0,3).
① ＜ ②无 ③0
当y = 0时,x² -2x -3 = 0. 解得x₁ = -1,x₂ = 3.
∴ 抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)和(3,0),与y轴的交点坐标为(0,-3).
① ＞ ②两个不相等 ③2
(2)解:当x = 0时,y = 9;
当y = 0时,x² -6x +9 = 0. 解得x₁ = x₂ = 3.
∴ 抛物线与x轴的交点坐标为(3,0),与y轴的交点坐标为(0,9).
① = ②两个相等 ③1
(3)解:当x = 0时,y = 3;
当y = 0时,x² -2x +3 = 0 无实数根.
∴ 抛物线与x轴无交点,与y轴的交点坐标为(0,3).
① ＜ ②无 ③0
解析
【分析】
解题思路如下：1. 求抛物线与y轴交点的方法：令x=0，代入二次函数解析式计算得到y值，该值就是交点的纵坐标；求抛物线与x轴交点的方法：令y=0，得到对应的一元二次方程，解方程得到的根就是交点的横坐标。2. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值和根的个数对应关系为：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点；$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，对应抛物线与x轴有1个交点；$\Delta＜0$时方程没有实数根，对应抛物线与x轴有0个交点。我们分三组分别按照上述规则计算即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=x^2-2x-3$：
当$x=0$时，代入得$y=0-0-3=-3$，即与y轴交点为$(0,-3)$；
当$y=0$时，得方程$x^2-2x-3=0$，计算得$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=16＞0$，解方程得$x_1=-1,x_2=3$，即与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$。
故①填$\boldsymbol{＞}$，②填$\boldsymbol{两个不相等}$，③填$\boldsymbol{2}$。
(2) 对于抛物线$y=x^2-6x+9$：
当$x=0$时，代入得$y=0-0+9=9$，即与y轴交点为$(0,9)$；
当$y=0$时，得方程$x^2-6x+9=0$，计算得$\Delta=(-6)^2-4×1×9=0$，解方程得$x_1=x_2=3$，即与x轴交点为$(3,0)$。
故①填$\boldsymbol{=}$，②填$\boldsymbol{两个相等}$，③填$\boldsymbol{1}$。
(3) 对于抛物线$y=x^2-2x+3$：
当$x=0$时，代入得$y=0-0+3=3$，即与y轴交点为$(0,3)$；
当$y=0$时，得方程$x^2-2x+3=0$，计算得$\Delta=(-2)^2-4×1×3=-8＜0$，方程没有实数根，即抛物线与x轴无交点。
故①填$\boldsymbol{＜}$，②填$\boldsymbol{无}$，③填$\boldsymbol{0}$。
【答案】
(1) 与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,-3)$；①＞ ②两个不相等 ③2
(2) 与x轴交点为$(3,0)$，与y轴交点为$(0,9)$；①= ②两个相等 ③1
(3) 与x轴无交点，与y轴交点为$(0,3)$；①＜ ②无 ③0
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数相关的基础题，通过数形结合的方式展现了一元二次方程根的情况和对应抛物线与x轴交点个数的对应关系，熟练掌握判别式的意义和交点坐标的求解方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 求抛物线与y轴交点的方法：令x=0，代入二次函数解析式计算得到y值，该值就是交点的纵坐标；求抛物线与x轴交点的方法：令y=0，得到对应的一元二次方程，解方程得到的根就是交点的横坐标。2. 一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的判别式$\Delta=b^2-4ac$的取值和根的个数对应关系为：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，对应抛物线与x轴有2个交点；$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，对应抛物线与x轴有1个交点；$\Delta＜0$时方程没有实数根，对应抛物线与x轴有0个交点。我们分三组分别按照上述规则计算即可。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=x^2-2x-3$：
当$x=0$时，代入得$y=0-0-3=-3$，即与y轴交点为$(0,-3)$；
当$y=0$时，得方程$x^2-2x-3=0$，计算得$\Delta=(-2)^2-4×1×(-3)=16＞0$，解方程得$x_1=-1,x_2=3$，即与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$。
故①填$\boldsymbol{＞}$，②填$\boldsymbol{两个不相等}$，③填$\boldsymbol{2}$。
(2) 对于抛物线$y=x^2-6x+9$：
当$x=0$时，代入得$y=0-0+9=9$，即与y轴交点为$(0,9)$；
当$y=0$时，得方程$x^2-6x+9=0$，计算得$\Delta=(-6)^2-4×1×9=0$，解方程得$x_1=x_2=3$，即与x轴交点为$(3,0)$。
故①填$\boldsymbol{=}$，②填$\boldsymbol{两个相等}$，③填$\boldsymbol{1}$。
(3) 对于抛物线$y=x^2-2x+3$：
当$x=0$时，代入得$y=0-0+3=3$，即与y轴交点为$(0,3)$；
当$y=0$时，得方程$x^2-2x+3=0$，计算得$\Delta=(-2)^2-4×1×3=-8＜0$，方程没有实数根，即抛物线与x轴无交点。
故①填$\boldsymbol{＜}$，②填$\boldsymbol{无}$，③填$\boldsymbol{0}$。
【答案】
(1) 与x轴交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，与y轴交点为$(0,-3)$；①＞ ②两个不相等 ③2
(2) 与x轴交点为$(3,0)$，与y轴交点为$(0,9)$；①= ②两个相等 ③1
(3) 与x轴无交点，与y轴交点为$(0,3)$；①＜ ②无 ③0
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数相关的基础题，通过数形结合的方式展现了一元二次方程根的情况和对应抛物线与x轴交点个数的对应关系，熟练掌握判别式的意义和交点坐标的求解方法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
＞小结 二次函数与一元二次方程的关系
(1)
(2)若抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴的交点坐标为$(m,0),(n,0)$，则方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=$
(3)抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与y轴有且只有1个交点：
(1)
(2)若抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与x轴的交点坐标为$(m,0),(n,0)$，则方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=$
m
,$x_2=$n
.(3)抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与y轴有且只有1个交点：
(0,c)
.答案
小结 (1)2 两个相等 0 (2)m n (3)(0,c)
解析
【分析】
解题时需结合一元二次方程根的判别式的意义，以及二次函数与对应一元二次方程的关联推导：①一元二次方程的根就是对应二次函数y=0时自变量x的取值，也就是抛物线与x轴交点的横坐标，因此判别式的取值和抛物线与x轴的交点个数直接对应；②求抛物线与坐标轴交点时，与y轴交点只需令x=0代入解析式计算即可。
(1)Δ＞0对应方程两个不等实根，对应抛物线与x轴2个交点；Δ=0对应方程两个相等的实根，对应1个交点；Δ＜0无实根，对应0个交点；
(2)抛物线与x轴交点的横坐标就是对应方程的根，直接可得根为m、n；
(3)令x=0代入抛物线解析式即可得到与y轴交点坐标。
【解析】
(1) 当$\Delta＞0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，即$y=0$时$x$有2个不同的取值，因此抛物线与x轴有$\boldsymbol{2}$个交点；
当$\Delta=0$时，一元二次方程有$\boldsymbol{两个相等}$的实数根，对应抛物线与x轴只有1个交点；
当$\Delta＜0$时，方程无实数根，即不存在x使得y=0，因此抛物线与x轴有$\boldsymbol{0}$个交点。
(2) 抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，就是方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，已知交点为$(m,0)$、$(n,0)$，因此方程的根为$x_1=\boldsymbol{m}$，$x_2=\boldsymbol{n}$。
(3) 求抛物线与y轴的交点时，y轴上所有点的横坐标为0，将x=0代入抛物线解析式，得$y=a×0^2+b×0+c=c$，因此与y轴的交点为$\boldsymbol{(0,c)}$。
【答案】
(1)2；两个相等；0 (2)m；n (3)(0,c)
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 二次函数与一元二次方程的联系
3. 二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程相关的基础概念，属于核心基础考点，熟练掌握判别式、方程根、函数交点三者的对应关系，是后续解决二次函数综合问题的重要前提。
【难度系数】
0.9
解题时需结合一元二次方程根的判别式的意义，以及二次函数与对应一元二次方程的关联推导：①一元二次方程的根就是对应二次函数y=0时自变量x的取值，也就是抛物线与x轴交点的横坐标，因此判别式的取值和抛物线与x轴的交点个数直接对应；②求抛物线与坐标轴交点时，与y轴交点只需令x=0代入解析式计算即可。
(1)Δ＞0对应方程两个不等实根，对应抛物线与x轴2个交点；Δ=0对应方程两个相等的实根，对应1个交点；Δ＜0无实根，对应0个交点；
(2)抛物线与x轴交点的横坐标就是对应方程的根，直接可得根为m、n；
(3)令x=0代入抛物线解析式即可得到与y轴交点坐标。
【解析】
(1) 当$\Delta＞0$时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，即$y=0$时$x$有2个不同的取值，因此抛物线与x轴有$\boldsymbol{2}$个交点；
当$\Delta=0$时，一元二次方程有$\boldsymbol{两个相等}$的实数根，对应抛物线与x轴只有1个交点；
当$\Delta＜0$时，方程无实数根，即不存在x使得y=0，因此抛物线与x轴有$\boldsymbol{0}$个交点。
(2) 抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交点的横坐标，就是方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，已知交点为$(m,0)$、$(n,0)$，因此方程的根为$x_1=\boldsymbol{m}$，$x_2=\boldsymbol{n}$。
(3) 求抛物线与y轴的交点时，y轴上所有点的横坐标为0，将x=0代入抛物线解析式，得$y=a×0^2+b×0+c=c$，因此与y轴的交点为$\boldsymbol{(0,c)}$。
【答案】
(1)2；两个相等；0 (2)m；n (3)(0,c)
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 二次函数与一元二次方程的联系
3. 二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程相关的基础概念，属于核心基础考点，熟练掌握判别式、方程根、函数交点三者的对应关系，是后续解决二次函数综合问题的重要前提。
【难度系数】
0.9
