登录
6.【例4】已知点$A(-4,y_1),B(-3,y_2),C(1,y_3)$为二次函数$y=x^2+4x-5$的图象上的三点，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
。答案
6. $y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，有两种常用解题思路：思路一：已知三点的横坐标，可直接将各横坐标代入函数解析式，分别计算出$y_1、y_2、y_3$的具体数值，再比较大小即可；思路二：利用二次函数的性质解题，先确定抛物线的开口方向和对称轴，抛物线开口向上时，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，无需计算具体数值就能快速比较大小。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将点$A(-4,y_1)$代入$y=x^2+4x-5$，得：
$y_1=(-4)^2 + 4×(-4) -5 = 16 - 16 -5 = -5$
将点$B(-3,y_2)$代入$y=x^2+4x-5$，得：
$y_2=(-3)^2 + 4×(-3) -5 = 9 - 12 -5 = -8$
将点$C(1,y_3)$代入$y=x^2+4x-5$，得：
$y_3=1^2 + 4×1 -5 = 1 + 4 -5 = 0$
因为$-8 ＜ -5 ＜ 0$，因此$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=x^2+4x-5$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$，
计算三点横坐标到对称轴$x=-2$的距离：
点A到对称轴的距离：$|-4 - (-2)|=2$
点B到对称轴的距离：$|-3 - (-2)|=1$
点C到对称轴的距离：$|1 - (-2)|=3$
开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，因为$1＜2＜3$，因此$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
【知识点】
二次函数的性质；函数值大小比较；点与函数图象的关系
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，代入求值法思路直接易理解，性质判断法计算量更小、解题效率更高，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值的对应规律可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上三点的函数值大小，有两种常用解题思路：思路一：已知三点的横坐标，可直接将各横坐标代入函数解析式，分别计算出$y_1、y_2、y_3$的具体数值，再比较大小即可；思路二：利用二次函数的性质解题，先确定抛物线的开口方向和对称轴，抛物线开口向上时，点的横坐标到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，无需计算具体数值就能快速比较大小。
【解析】
方法一（代入求值法）：
将点$A(-4,y_1)$代入$y=x^2+4x-5$，得：
$y_1=(-4)^2 + 4×(-4) -5 = 16 - 16 -5 = -5$
将点$B(-3,y_2)$代入$y=x^2+4x-5$，得：
$y_2=(-3)^2 + 4×(-3) -5 = 9 - 12 -5 = -8$
将点$C(1,y_3)$代入$y=x^2+4x-5$，得：
$y_3=1^2 + 4×1 -5 = 1 + 4 -5 = 0$
因为$-8 ＜ -5 ＜ 0$，因此$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=x^2+4x-5$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$，
计算三点横坐标到对称轴$x=-2$的距离：
点A到对称轴的距离：$|-4 - (-2)|=2$
点B到对称轴的距离：$|-3 - (-2)|=1$
点C到对称轴的距离：$|1 - (-2)|=3$
开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，因为$1＜2＜3$，因此$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
【答案】
$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$
【知识点】
二次函数的性质；函数值大小比较；点与函数图象的关系
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，代入求值法思路直接易理解，性质判断法计算量更小、解题效率更高，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与函数值的对应规律可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
二次函数$y=-x^2 +2x +c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为
$y_1 = y_2 ＞ y_3$
.答案
7. $y_1 = y_2 ＞ y_3$
解析
【分析】
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，解题思路如下：第一步先将二次函数一般式配方，确定开口方向和对称轴；第二步明确开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的水平距离越近，函数值越大，到对称轴距离相等的点函数值相等；第三步计算三个点到对称轴的距离，根据性质即可比较函数值的大小。
【解析】
首先对二次函数解析式配方变形：
$y=-x^2+2x+c=-(x^2-2x)+c=-(x^2-2x+1)+1+c=-(x-1)^2+(1+c)$
由此可得：该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=1$。
结合本题对应考点的三个点横坐标（$x_1=0$、$x_2=2$、$x_3=3$），计算各点到对称轴的距离：
点1到对称轴的距离：$|0-1|=1$
点2到对称轴的距离：$|2-1|=1$
点3到对称轴的距离：$|3-1|=2$
因为开口向下的二次函数，到对称轴距离相等的点函数值相等，距离越远函数值越小，因此$y_1=y_2＞y_3$。
【答案】
$y_1 = y_2 ＞ y_3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题目，不需要代入计算具体函数值，只需通过开口方向、对称轴和点到对称轴的距离即可快速判断函数值大小，掌握该方法能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
要比较二次函数图象上三个点的函数值大小，解题思路如下：第一步先将二次函数一般式配方，确定开口方向和对称轴；第二步明确开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的水平距离越近，函数值越大，到对称轴距离相等的点函数值相等；第三步计算三个点到对称轴的距离，根据性质即可比较函数值的大小。
【解析】
首先对二次函数解析式配方变形：
$y=-x^2+2x+c=-(x^2-2x)+c=-(x^2-2x+1)+1+c=-(x-1)^2+(1+c)$
由此可得：该二次函数开口向下，对称轴为直线$x=1$。
结合本题对应考点的三个点横坐标（$x_1=0$、$x_2=2$、$x_3=3$），计算各点到对称轴的距离：
点1到对称轴的距离：$|0-1|=1$
点2到对称轴的距离：$|2-1|=1$
点3到对称轴的距离：$|3-1|=2$
因为开口向下的二次函数，到对称轴距离相等的点函数值相等，距离越远函数值越小，因此$y_1=y_2＞y_3$。
【答案】
$y_1 = y_2 ＞ y_3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题目，不需要代入计算具体函数值，只需通过开口方向、对称轴和点到对称轴的距离即可快速判断函数值大小，掌握该方法能大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
1. 抛物线$y=-x^2 +6x -\frac{13}{2}$的开口向
下
，对称轴为$x=3$
，顶点坐标为$(3,\frac{5}{2})$
。答案
1. 下 $x=3$ $(3,\frac{5}{2})$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质逐步推导：
1. 开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴和顶点坐标可通过公式法计算：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点的横坐标与对称轴横坐标一致，纵坐标可将横坐标代入原式计算，也可通过配方法将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到对称轴$x=h$和顶点坐标$(h,k)$。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2 +6x -\frac{13}{2}$，对应一般式的参数为$a=-1$，$b=6$，$c=-\frac{13}{2}$。
1. 开口方向：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下；
2. 对称轴：代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得$x=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，即对称轴为直线$x=3$；
3. 顶点坐标：把$x=3$代入抛物线解析式，得$y=-3^2+6×3-\frac{13}{2}=-9+18-\frac{13}{2}=\frac{5}{2}$，因此顶点坐标为$(3,\frac{5}{2})$。
【答案】
下；$x=3$；$(3,\frac{5}{2})$
【知识点】
二次函数开口判定；对称轴计算；顶点坐标计算
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础考题，主要考查二次函数一般式参数和图像特征的对应关系，熟练掌握公式法或配方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以结合二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的性质逐步推导：
1. 开口方向由二次项系数$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴和顶点坐标可通过公式法计算：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点的横坐标与对称轴横坐标一致，纵坐标可将横坐标代入原式计算，也可通过配方法将一般式转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，直接得到对称轴$x=h$和顶点坐标$(h,k)$。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2 +6x -\frac{13}{2}$，对应一般式的参数为$a=-1$，$b=6$，$c=-\frac{13}{2}$。
1. 开口方向：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下；
2. 对称轴：代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，得$x=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，即对称轴为直线$x=3$；
3. 顶点坐标：把$x=3$代入抛物线解析式，得$y=-3^2+6×3-\frac{13}{2}=-9+18-\frac{13}{2}=\frac{5}{2}$，因此顶点坐标为$(3,\frac{5}{2})$。
【答案】
下；$x=3$；$(3,\frac{5}{2})$
【知识点】
二次函数开口判定；对称轴计算；顶点坐标计算
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础考题，主要考查二次函数一般式参数和图像特征的对应关系，熟练掌握公式法或配方法就能快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知二次函数$y=2x^2 -4x +5$,当函数值$y$随$x$值的增大而增大时,$x$的取值范围是（
A.$x＜1$
B.$x＞1$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
B
）A.$x＜1$
B.$x＞1$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
答案
2. B
解析
【分析】
要确定二次函数y随x增大而增大的x的取值范围，需结合二次函数的性质分析：首先由二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，再通过对称轴公式求出对称轴，最后结合开口方向即可确定对应的增减区间。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$：
1. 判断开口方向：本题中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，此时在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小。
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2$，$b=-4$，可得：
$x=-\frac{-4}{2×2}=1$
3. 确定取值范围：结合开口向上的性质，当$x＞1$时，y随x的增大而增大，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的增减性
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题的关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系，掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数y随x增大而增大的x的取值范围，需结合二次函数的性质分析：首先由二次项系数的正负判断抛物线的开口方向，再通过对称轴公式求出对称轴，最后结合开口方向即可确定对应的增减区间。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a\ne0)$：
1. 判断开口方向：本题中二次项系数$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，此时在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大，在对称轴左侧y随x的增大而减小。
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2$，$b=-4$，可得：
$x=-\frac{-4}{2×2}=1$
3. 确定取值范围：结合开口向上的性质，当$x＞1$时，y随x的增大而增大，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数的增减性
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题的关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系，掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
3. 若$A(-4,y_{1}),B(-1,y_{2})$为二次函数$y = x^2 +4x -5$的图象上的两点，则$y_{1},y_{2}$的大小关系是
$y_2 ＜ y_1$
.答案
3. $y_2 ＜ y_1$
解析
【分析】
要比较二次函数图象上两点的y值大小，有两种常用思路：一是直接将两点的横坐标代入函数解析式，分别求出对应的y值再比较大小，该方法直观不易出错；二是先确定二次函数的对称轴与开口方向，结合两点到对称轴的距离或函数的增减性判断大小，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(-4,y_{1})$的横坐标$x=-4$代入$y = x^2 +4x -5$：
$y_1 = (-4)^2 + 4×(-4) -5 = 16 -16 -5 = -5$
将点$B(-1,y_{2})$的横坐标$x=-1$代入$y = x^2 +4x -5$：
$y_2 = (-1)^2 + 4×(-1) -5 = 1 -4 -5 = -8$
因为$-8 ＜ -5$，所以$y_2 ＜ y_1$。
方法二：性质判断法
二次函数$y = x^2 +4x -5$中$a=1＞0$，抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$，
开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大。
点A到对称轴的距离：$|-4 - (-2)|=2$
点B到对称轴的距离：$|-1 - (-2)|=1$
因为$2＞1$，所以$y_1＞y_2$，即$y_2 ＜ y_1$。
【答案】
$y_2 ＜ y_1$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题方法灵活，既可以直接代入计算快速得到结果，也可以结合二次函数的开口方向、对称轴等性质判断，能较好地考查对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要比较二次函数图象上两点的y值大小，有两种常用思路：一是直接将两点的横坐标代入函数解析式，分别求出对应的y值再比较大小，该方法直观不易出错；二是先确定二次函数的对称轴与开口方向，结合两点到对称轴的距离或函数的增减性判断大小，两种方法均符合九年级知识要求。
【解析】
方法一：代入求值法
将点$A(-4,y_{1})$的横坐标$x=-4$代入$y = x^2 +4x -5$：
$y_1 = (-4)^2 + 4×(-4) -5 = 16 -16 -5 = -5$
将点$B(-1,y_{2})$的横坐标$x=-1$代入$y = x^2 +4x -5$：
$y_2 = (-1)^2 + 4×(-1) -5 = 1 -4 -5 = -8$
因为$-8 ＜ -5$，所以$y_2 ＜ y_1$。
方法二：性质判断法
二次函数$y = x^2 +4x -5$中$a=1＞0$，抛物线开口向上，
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$，
开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应函数值越大。
点A到对称轴的距离：$|-4 - (-2)|=2$
点B到对称轴的距离：$|-1 - (-2)|=1$
因为$2＞1$，所以$y_1＞y_2$，即$y_2 ＜ y_1$。
【答案】
$y_2 ＜ y_1$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题方法灵活，既可以直接代入计算快速得到结果，也可以结合二次函数的开口方向、对称轴等性质判断，能较好地考查对二次函数基本性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8
4. 用公式法求抛物线 $y = -\dfrac{3}{2}x^2 + x + 1$ 的对称轴及顶点坐标.
答案
解:$\because a = -\frac{3}{2},b = 1,c = 1,\therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{1}{3},$ $\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4×(-\frac{3}{2})×1 - 1^2}{4×(-\frac{3}{2})} = \frac{7}{6}.$ $\therefore$对称轴为$x = \frac{1}{3}$,顶点坐标为$(\frac{1}{3},\frac{7}{6}).$
解析
【分析】
要使用公式法求二次函数的对称轴与顶点坐标，首先明确二次函数一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，解题思路如下：第一步，从给定的抛物线解析式中准确提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意符号不能出错；第二步，将$a、b、c$的值代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，得到对称轴；第三步，将$a、b、c$的值代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，结合对称轴的横坐标即可得到顶点坐标。
【解析】
对于抛物线$y = -\dfrac{3}{2}x^2 + x + 1$，对应二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，可得：
$\because a = -\frac{3}{2},b = 1,c = 1$，
代入对称轴公式计算：
$-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{1}{3}$，
代入顶点纵坐标公式计算：
$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4×(-\frac{3}{2})×1 - 1^2}{4×(-\frac{3}{2})} = \frac{7}{6}$，
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为$x=\frac{1}{3}$，顶点坐标为$(\frac{1}{3},\frac{7}{6})$。
【答案】
对称轴为直线$x = \frac{1}{3}$，顶点坐标为$(\frac{1}{3},\frac{7}{6})$
【知识点】
二次函数一般式；对称轴公式；顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查公式法求解二次函数对称轴与顶点坐标的应用，解题的关键是准确识别解析式中$a、b、c$的符号，代入公式计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
要使用公式法求二次函数的对称轴与顶点坐标，首先明确二次函数一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，解题思路如下：第一步，从给定的抛物线解析式中准确提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意符号不能出错；第二步，将$a、b、c$的值代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算，得到对称轴；第三步，将$a、b、c$的值代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算，结合对称轴的横坐标即可得到顶点坐标。
【解析】
对于抛物线$y = -\dfrac{3}{2}x^2 + x + 1$，对应二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，可得：
$\because a = -\frac{3}{2},b = 1,c = 1$，
代入对称轴公式计算：
$-\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2×(-\frac{3}{2})} = \frac{1}{3}$，
代入顶点纵坐标公式计算：
$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4×(-\frac{3}{2})×1 - 1^2}{4×(-\frac{3}{2})} = \frac{7}{6}$，
$\therefore$ 该抛物线的对称轴为$x=\frac{1}{3}$，顶点坐标为$(\frac{1}{3},\frac{7}{6})$。
【答案】
对称轴为直线$x = \frac{1}{3}$，顶点坐标为$(\frac{1}{3},\frac{7}{6})$
【知识点】
二次函数一般式；对称轴公式；顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查公式法求解二次函数对称轴与顶点坐标的应用，解题的关键是准确识别解析式中$a、b、c$的符号，代入公式计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.8
5. (2025 广州)若抛物线 $y = x^2 - 6mx + 6m^2 + 5m + 3$ 的顶点在直线 $y = x + 2$ 上，则 $m$ 的值为
$1或-\frac{1}{3}$
。答案
5. $1或-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决本题，核心思路是利用“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”的性质求解：第一步，先根据二次函数的一般式求出抛物线的顶点坐标；第二步，将顶点坐标代入直线$y=x+2$的解析式，得到关于$m$的方程；第三步，解方程即可得到$m$的取值。
【解析】
对于二次函数$y = x^2 - 6mx + 6m^2 + 5m + 3$，其中$a=1$，$b=-6m$，$c=6m^2 +5m +3$：
1. 求顶点横坐标：根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=\frac{6m}{2×1}=3m$。
2. 求顶点纵坐标：将$x=3m$代入抛物线解析式计算：
$\begin{aligned}y&=(3m)^2 -6m·3m +6m^2 +5m +3\\&=9m^2 -18m^2 +6m^2 +5m +3\\&=-3m^2 +5m +3\end{aligned}$
3. 代入直线解析式列方程：
因为顶点在直线$y=x+2$上，所以将顶点坐标$(3m, -3m^2 +5m +3)$代入直线方程得：
$-3m^2 +5m +3 = 3m +2$
整理为标准一元二次方程：$3m^2 -2m -1=0$
因式分解得：$(3m+1)(m-1)=0$
解得$m_1=1$，$m_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$1或-\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数顶点坐标；点与直线的位置关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的基础综合题，解题关键是熟练掌握二次函数顶点坐标的计算方法，再根据点在直线上的坐标特征建立方程求解，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决本题，核心思路是利用“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”的性质求解：第一步，先根据二次函数的一般式求出抛物线的顶点坐标；第二步，将顶点坐标代入直线$y=x+2$的解析式，得到关于$m$的方程；第三步，解方程即可得到$m$的取值。
【解析】
对于二次函数$y = x^2 - 6mx + 6m^2 + 5m + 3$，其中$a=1$，$b=-6m$，$c=6m^2 +5m +3$：
1. 求顶点横坐标：根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=\frac{6m}{2×1}=3m$。
2. 求顶点纵坐标：将$x=3m$代入抛物线解析式计算：
$\begin{aligned}y&=(3m)^2 -6m·3m +6m^2 +5m +3\\&=9m^2 -18m^2 +6m^2 +5m +3\\&=-3m^2 +5m +3\end{aligned}$
3. 代入直线解析式列方程：
因为顶点在直线$y=x+2$上，所以将顶点坐标$(3m, -3m^2 +5m +3)$代入直线方程得：
$-3m^2 +5m +3 = 3m +2$
整理为标准一元二次方程：$3m^2 -2m -1=0$
因式分解得：$(3m+1)(m-1)=0$
解得$m_1=1$，$m_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$1或-\frac{1}{3}$
【知识点】
二次函数顶点坐标；点与直线的位置关系；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的基础综合题，解题关键是熟练掌握二次函数顶点坐标的计算方法，再根据点在直线上的坐标特征建立方程求解，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.7
6. (拓展题)如图,二次函数$y=(x-1)(x-a)$($a$为常数)图象的对称轴为$x=2$.
(1)求$a$的值;
(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后的图象所对应的二次函数的表达式.
(1)求$a$的值;
(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后的图象所对应的二次函数的表达式.
答案
6. 解:(1)$y = (x - 1)(x - a) = x^2 - (a + 1)x + a.$ $\because$对称轴为$x = 2,\therefore \frac{a + 1}{2} = 2.$ 解得$a = 3.$ (2)$\because a = 3,\therefore$二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x + 3.$ $\therefore$抛物线向下平移3个单位长度后经过原点. $\therefore$平移后图象所对应的二次函数的表达式为$y = x^2 - 4x.$
解析
【分析】
(1) 求a的值可从二次函数对称轴的性质入手：一是先将交点式展开为一般式，利用一般式的对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（A为二次项系数，B为一次项系数），结合已知对称轴x=2列方程求解；二是利用交点式的特征，函数与x轴交点横坐标为1和a，对称轴为两个交点的中点，直接列$\frac{1+a}{2}=2$求解。
(2) 先将求得的a代入得到原函数解析式，再根据二次函数向下平移“上加下减”的规律，结合平移后过原点(0,0)的条件，计算出平移的单位长度，即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
(1) 先将二次函数展开为一般式：
$y=(x-1)(x-a)=x^2-(a+1)x+a$
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$，本题中$A=1$，$B=-(a+1)$，已知对称轴为$x=2$，因此：
$\frac{a+1}{2}=2$
解得$a=3$。
(2) 将$a=3$代入原函数，得原二次函数表达式为：
$y=x^2-4x+3$
设向下平移$m$个单位后图象经过原点，平移后的函数表达式为$y=x^2-4x+3-m$，将$(0,0)$代入得：
$0=3-m$，解得$m=3$
因此平移后的二次函数表达式为$y=x^2-4x$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=3}$；
(2) $\boldsymbol{y=x^2-4x}$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数图象平移；二次函数解析式确定
【点评】
本题考查二次函数的基础性质与图象平移变换，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴的计算方法，以及图象平移“上加下减、左加右减”的变化规律，是二次函数章节的典型基础拓展题。
【难度系数】
0.7
(1) 求a的值可从二次函数对称轴的性质入手：一是先将交点式展开为一般式，利用一般式的对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（A为二次项系数，B为一次项系数），结合已知对称轴x=2列方程求解；二是利用交点式的特征，函数与x轴交点横坐标为1和a，对称轴为两个交点的中点，直接列$\frac{1+a}{2}=2$求解。
(2) 先将求得的a代入得到原函数解析式，再根据二次函数向下平移“上加下减”的规律，结合平移后过原点(0,0)的条件，计算出平移的单位长度，即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
(1) 先将二次函数展开为一般式：
$y=(x-1)(x-a)=x^2-(a+1)x+a$
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴公式为$x=-\frac{B}{2A}$，本题中$A=1$，$B=-(a+1)$，已知对称轴为$x=2$，因此：
$\frac{a+1}{2}=2$
解得$a=3$。
(2) 将$a=3$代入原函数，得原二次函数表达式为：
$y=x^2-4x+3$
设向下平移$m$个单位后图象经过原点，平移后的函数表达式为$y=x^2-4x+3-m$，将$(0,0)$代入得：
$0=3-m$，解得$m=3$
因此平移后的二次函数表达式为$y=x^2-4x$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a=3}$；
(2) $\boldsymbol{y=x^2-4x}$
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数图象平移；二次函数解析式确定
【点评】
本题考查二次函数的基础性质与图象平移变换，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴的计算方法，以及图象平移“上加下减、左加右减”的变化规律，是二次函数章节的典型基础拓展题。
【难度系数】
0.7
