1.【例1】求抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的顶点坐标.
解:$y=ax^2+bx+c=a(x^2+\_\_\_\_\_\_)+c$
$=a[x^2+\frac{b}{a}x+\_\_\_\_\_\_-\_\_\_\_\_\_]+c$
$=a(x+\_\_\_\_\_\_)^2+\_\_\_\_\_\_.$
$\therefore$顶点坐标为$\_\_\_\_\_\_.$

$\frac{b}{a}x$ $(\frac{b}{2a})^2$ $(\frac{b}{2a})^2$ $\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^2}{4a}$ $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a})$

【分析】
本题要求通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，进而推导顶点坐标，解题思路如下：第一步，先提取二次项系数a，将含x的项整理到括号内；第二步，在括号内凑完全平方：加上一次项系数一半的平方，为保证式子恒等，同时减去这个平方数；第三步，将括号内的完全平方部分写成平方形式，再合并常数项得到顶点式；第四步，根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，直接写出顶点坐标即可。
【解析】
对$y=ax^2+bx+c$用配方法变形：
1. 提取二次项系数$a$，得$y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c$，因此第一个空填$\frac{b}{a}x$；
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为$\frac{b}{a}$，其一半的平方为$(\frac{b}{2a})^2$，因此加上$(\frac{b}{2a})^2$同时减去$(\frac{b}{2a})^2$保证式子值不变，即$y=a[x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2]+c$，因此第二、三个空依次填$(\frac{b}{2a})^2$、$(\frac{b}{2a})^2$；
3. 将完全平方部分整理，常数项合并：
$y=a(x+\frac{b}{2a})^2 - a·(\frac{b}{2a})^2 + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$，因此第四、五个空依次填$\frac{b}{2a}$、$\frac{4ac - b^2}{4a}$；
4. 由顶点式的性质，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a})$，即第六个空填该坐标。
【答案】
$\frac{b}{a}x$；$(\frac{b}{2a})^2$；$(\frac{b}{2a})^2$；$\frac{b}{2a}$；$\frac{4ac - b^2}{4a}$；$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^2}{4a})$
【知识点】
配方法；二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数的基础推导题，核心考查配方法的应用，熟练掌握配方法凑完全平方的步骤，牢记二次函数顶点坐标公式，是解决二次函数图象与性质相关问题的必备基础。
【难度系数】
0.8

2.【例2】用公式法求抛物线$y=-2x^2 +4x -1$的顶点坐标.
课堂总结:对于二次函数$y=ax^2 +bx +c(a≠0).$
(1)化为顶点式$y=a(x+\dfrac{b}{2a})^2 +\dfrac{4ac -b^2}{4a};$
(2)顶点坐标:$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac -b^2}{4a});$
(3)对称轴:$x=-\dfrac{b}{2a};$
(4)当$x=-\dfrac{b}{2a}$时,$y$有最值,即为$\dfrac{4ac -b^2}{4a}.$

2. 解:$\because a = -2,b = 4,c = -1,\therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×(-2)} = 1,$ $\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4×(-2)×(-1) - 4^2}{4×(-2)} = 1.$ $\therefore$该抛物线的顶点坐标为$(1,1).$

【分析】
本题要求用公式法求抛物线的顶点坐标，解题思路清晰：首先要从给定的二次函数解析式中，准确识别带符号的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；再直接套用顶点坐标的固定公式，分别计算顶点的横坐标和纵坐标；最后将两个计算结果组合，即可得到顶点坐标。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=-2x^2 +4x -1$
$\therefore a = -2,b = 4,c = -1$
$\therefore$顶点横坐标：$-\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2×(-2)} = 1$
顶点纵坐标：$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4×(-2)×(-1) - 4^2}{4×(-2)} = \frac{8-16}{-8}=1$
$\therefore$该抛物线的顶点坐标为$(1,1)$
【答案】
$(1,1)$
【知识点】
1. 二次函数系数识别
2. 顶点坐标公式应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，主要检验学生对顶点坐标公式的掌握程度，解题时要注意各项系数的符号不要看错，代入计算时细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8

3. 用公式法求抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -2x +3$ 的对称轴及顶点坐标.

3. 解:$\because a = \frac{1}{2},b = -2,c = 3,\therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2×\frac{1}{2}} = 2,$ $\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4×\frac{1}{2}×3 - (-2)^2}{4×\frac{1}{2}} = 1.$ $\therefore$该抛物线的对称轴为$x=2$,顶点坐标为$(2,1).$

【分析】
本题要求用公式法求抛物线的对称轴和顶点坐标，解题思路如下：首先回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的相关公式：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。第一步先从给定的解析式中准确提取$a$、$b$、$c$的值，要特别注意系数的正负号；第二步将$a$、$b$、$c$分别代入两个公式计算；最后根据计算结果写出结论即可。
【解析】
解：$\because a = \frac{1}{2},b = -2,c = 3$,
$\therefore$对称轴横坐标：$-\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2×\frac{1}{2}} = 2$,
顶点纵坐标：$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4×\frac{1}{2}×3 - (-2)^2}{4×\frac{1}{2}} = 1$.
$\therefore$该抛物线的对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,1)$.
【答案】
对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,1)$
【知识点】
二次函数一般式、二次函数对称轴公式、二次函数顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数性质的基础题，主要考查公式法求解抛物线对称轴和顶点坐标的技能，解题关键是准确识别一般式中各项的系数，避免符号出错，计算时稍加细心即可得分。
【难度系数】
0.8

4.【例3】已知抛物线$y=-x^2+(m-3)x$的对称轴是$x=-1$,求$m$的值及抛物线的顶点坐标.

4. 解:$\because$对称轴是$x = -1$, $\therefore -\frac{m - 3}{2×(-1)} = -1.$ 解得$m = 1.$ 把$x = -1$和$m = 1$代入$y = -x^2 + (m - 3)x$, 得$y = -(-1)^2 + (1 - 3)×(-1) = 1.$ $\therefore$该抛物线的顶点坐标是$(-1,1).$

【分析】
解决这道题的思路分为两步：第一步，先回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，我们从给定的抛物线解析式中确定$a$、$b$的对应值，再把已知的对称轴$x=-1$代入公式，就能列出关于$m$的方程，解出$m$的值；第二步，因为抛物线的顶点在对称轴上，顶点横坐标就是对称轴的数值，把$x=-1$和求出的$m$代入解析式算出对应的$y$值，即可得到顶点坐标。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=-x^2+(m-3)x$，对应二次函数一般式可得$a=-1$，$b=m-3$。
$\because$抛物线的对称轴是$x=-1$，代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$-\frac{m - 3}{2×(-1)} = -1$
化简方程：$\frac{m-3}{2}=-1$，解得$m=1$。
$\because$抛物线顶点在对称轴$x=-1$上，将$x=-1$、$m=1$代入解析式计算纵坐标：
$y = -(-1)^2 + (1 - 3)×(-1) = -1+2=1$
【答案】
$m$的值为1，抛物线的顶点坐标是$(-1,1)$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数顶点坐标求法
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题的关键是熟记二次函数对称轴公式，明确顶点横坐标与对称轴的对应关系，计算时注意符号处理即可得分。
【难度系数】
0.8

5.已知二次函数$y=x^2+(2m+1)x+m^2-1$的最小值为0，求$m$的值及该函数的解析式.

5. 解:$a = 1,b = 2m + 1,c = m^2 - 1.$ $\because$二次函数$y = x^2 + (2m + 1)x + m^2 - 1$的最小值为0, $\therefore \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4×1×(m^2 - 1) - (2m + 1)^2}{4} = 0.$ 解得$m = -\frac{5}{4}.$ $\therefore$该函数的解析式为$y = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}.$

【分析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＞0$时抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标，对应公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。本题中二次项系数$a=1＞0$，已知最小值为0，因此可先确定$a、b、c$的表达式，代入最值公式得到关于$m$的一元一次方程，解方程求出$m$的值后，再回代原函数式即可得到对应的解析式。
【解析】
解：由二次函数$y=x^2+(2m+1)x+m^2-1$可得，$a = 1,b = 2m + 1,c = m^2 - 1$。
$\because a=1＞0$，函数最小值为0，
$\therefore$ 顶点纵坐标满足$\frac{4ac - b^2}{4a} = 0$，
代入系数得：$\frac{4×1×(m^2 - 1) - (2m + 1)^2}{4} = 0$，
化简分子：$4(m^2-1)-(4m^2+4m+1)=4m^2-4-4m^2-4m-1=-4m-5$，
即$\frac{-4m-5}{4}=0$，解得$m = -\frac{5}{4}$。
将$m=-\frac{5}{4}$代入原函数式：
$2m+1=2×(-\frac{5}{4})+1=-\frac{3}{2}$，$m^2-1=\frac{25}{16}-1=\frac{9}{16}$，
$\therefore$ 该函数的解析式为$y = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}$。
【答案】
$m$的值为$-\frac{5}{4}$，函数解析式为$y = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}$
【知识点】
二次函数的最值；顶点坐标公式；求函数解析式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础常考题，解题关键是牢记开口向上的二次函数最小值对应顶点纵坐标，代入公式列方程求解即可，计算时要注意完全平方展开和去括号的符号问题，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.75