1. 二次函数 $y = x^2 - 2x + 4$ 化成顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$ 是（）

A.$y=(x-1)^2 +2$
B.$y=(x-1)^2 +3$
C.$y=(x+1)^2 +2$
D.$y=(x-1)^2 +4$

1. B

【分析】
本题要求将二次函数的一般式转化为顶点式，核心解题方法是配方法。思考步骤如下：第一步，明确顶点式的结构是$y=a(x-h)^2+k$，需要将含x的项凑成完全平方式；第二步，本题二次项系数为1，无需提取系数，直接对一次项进行配方：取一次项系数的一半，平方后加在含x的项后，同时减去相同的数保证式子的值不变；第三步，整理后即可得到顶点式，对照选项选出答案即可。
【解析】
对$y = x^2 - 2x + 4$进行配方：
1. 分组将含x的项放在一起：$y=(x^2 - 2x) + 4$
2. 括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的数保证式子值不变：一次项系数为-2，一半是-1，平方为1，因此可得$y=(x^2 - 2x + 1) - 1 + 4$
3. 将括号内的式子写成完全平方形式，合并常数项：$y=(x-1)^2 + 3$
对照选项，B选项符合结果。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式转化、配方法、完全平方公式
【点评】
本题考查二次函数一般式转顶点式的基础操作，核心是熟练掌握配方法的步骤，配方时要注意加了多少就要减多少，避免常数项计算出错，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.85

2. 把二次函数$y=-x^2 -4x -5$配方，得。它的图象开口向，顶点坐标是，对称轴是，当$x=$时，函数$y$有最值。

2. $y = -(x + 2)^2 - 1$ 下 $(-2, -1)$ $x = -2$ $-2$ 大 $-1$

【分析】
解这道题需先掌握二次函数的配方法步骤，再结合顶点式的性质推导对应结论。首先进行配方：先提取二次项系数，将含x的项整理为二次项系数为1的多项式，再加上并减去一次项系数一半的平方，凑成完全平方式得到顶点式；再根据顶点式判断性质：二次项系数a的符号决定开口方向，顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，开口向下时函数在顶点处取最大值，开口向上时取最小值，代入对应数值即可得到结果。
【解析】
1. 配方过程：
$\begin{aligned}y&=-x^2 -4x -5\\&=-(x^2 + 4x) -5\\&=-(x^2 +4x + 4 - 4) -5\\&=-(x^2 +4x +4) + 4 - 5\\&=-(x+2)^2 -1\end{aligned}$
2. 性质推导：
二次项系数$a=-1＜0$，因此图象开口向下；
对比顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$h=-2$，$k=-1$，因此顶点坐标为$(-2,-1)$，对称轴为直线$x=-2$；
因为图象开口向下，所以函数$y$有最大值，当$x=-2$时，最大值为$y=-1$。
【答案】
$y = -(x + 2)^2 - 1$；下；$(-2, -1)$；$x = -2$；$-2$；大；$-1$
【知识点】
二次函数配方法；二次函数顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查配方法的运用和二次函数基本性质的掌握，熟练掌握配方步骤和顶点式各参数的意义即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 用配方法将下列二次函数化成 $y=a(x-h)^2 +k$ 的形式，并写出其图象的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(1)$y=3x^2 +2x$;
(2)$y=-2x^2 +8x -8$.

3. (1)解:$y = 3x^2 + 2x = 3(x^2 + \dfrac{2}{3}x) = 3(x^2 + \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9}) - \dfrac{1}{3} = 3(x + \dfrac{1}{3})^2 - \dfrac{1}{3}.$
该函数图象的开口向上,对称轴为 $x = -\dfrac{1}{3}$,顶点坐标为$(-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3}).$
(2)解:$y = -2x^2 + 8x - 8 = -2(x^2 - 4x) - 8 = -2(x^2 - 4x + 4) + 8 - 8 = -2(x - 2)^2.$
该函数图象的开口向下,对称轴为 $x=2$,顶点坐标为$(2,0).$

【分析】
解决本题需按照配方法的固定步骤操作，首先回忆配方法化二次函数顶点式的思路：①先提取二次项系数，把含x的二次项、一次项放在括号内，常数项单独留在括号外；②括号内加上一次项系数一半的平方，同时为保证式子值不变，要减去添加项乘括号外系数的结果；③将括号内整理为完全平方式，合并常数项得到$y=a(x-h)^2+k$的形式。最后根据a的符号判断开口：a＞0开口向上，a＜0开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，按该步骤分别处理两个小题即可。
【解析】
(1) 先提取二次项系数3：
$y = 3x^2 + 2x = 3(x^2 + \dfrac{2}{3}x)$
一次项系数为$\dfrac{2}{3}$，其一半的平方为$(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，括号内加$\dfrac{1}{9}$，同时减去$3×\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3}$保证值不变：
$y= 3(x^2 + \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9}) - \dfrac{1}{3} = 3(x + \dfrac{1}{3})^2 - \dfrac{1}{3}$
由$a=3＞0$得开口向上，对称轴为$x = -\dfrac{1}{3}$，顶点坐标为$(-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3})$。
(2) 先提取二次项系数-2：
$y = -2x^2 + 8x - 8 = -2(x^2 - 4x) - 8$
一次项系数为-4，其一半的平方为$(-2)^2=4$，括号内加4，同时减去$-2×4=-8$（即加8）保证值不变：
$y= -2(x^2 - 4x + 4) + 8 - 8 = -2(x - 2)^2$
由$a=-2＜0$得开口向下，对称轴为$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
【答案】
(1)$y = 3(x + \dfrac{1}{3})^2 - \dfrac{1}{3}$，开口向上，对称轴为$x = -\dfrac{1}{3}$，顶点坐标为$(-\dfrac{1}{3}, -\dfrac{1}{3})$；
(2)$y = -2(x - 2)^2$，开口向下，对称轴为$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$。
【知识点】
配方法的应用；二次函数顶点式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查配方法的操作和二次函数基本性质的应用，熟练掌握配方时常数项的调整规则是避免出错的关键，该类题型是后续研究二次函数最值、增减性的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.8

4.有一喷嘴喷出的水流呈抛物线形,喷出水流的高度$y$(单位:m)与喷出的水流距喷嘴的水平距离$x$(单位:m)满足函数关系:$y = -0.5x^2 + 2x$,则喷嘴喷出水流的最大高度是多少?

4. 解:$\because y = -0.5x^2 + 2x = -\dfrac{1}{2}(x-2)^2 + 2, -\dfrac{1}{2} ＜ 0,$
$\therefore$ 当 $x=2$ 时,$y$ 取最大值 2.
$\therefore$ 喷嘴喷出水流的最大高度是 2 m.

【分析】
要计算水流的最大高度，本质是求二次函数$y=-0.5x^2+2x$的最大值。首先观察二次项系数$a=-0.5＜0$，可知抛物线开口向下，函数存在最大值，且最大值为抛物线顶点的纵坐标。我们可以通过配方法将函数的一般式转化为顶点式，直接得到顶点的纵坐标，也就是最大高度，也可以用顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算。
【解析】
解：对函数解析式进行配方变形：
$\begin{aligned}y &= -0.5x^2 + 2x \\&= -\frac{1}{2}(x^2 - 4x) \\&= -\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) \\&= -\frac{1}{2}[(x-2)^2 - 4] \\&= -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 2\end{aligned}$
$\because -\frac{1}{2} ＜ 0$，抛物线开口向下，
$\therefore$ 当$x=2$时，$y$取得最大值，最大值为$2$。
【答案】
$2\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用；配方法转化二次函数解析式
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是将实际的最大高度问题转化为二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质和配方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8

5. 若二次函数 $ y = x^2 + mx + 5 $ 配方后为 $ y = (x - 2)^2 + k $，则 $ m + k = \_\_\_\_\_\_ $。

5. -3

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用两个表达式表示同一个二次函数的特点，先将顶点式展开为一般式，再根据多项式相等时对应项系数相等的原则，分别求出m和k的值，最后计算m+k的结果即可。具体思路：第一步展开顶点式，第二步对比系数求m、k，第三步计算两者的和。
【解析】
首先将顶点式$y=(x-2)^2+k$展开：
$y=(x-2)^2 + k = x^2 - 4x + 4 + k$
已知该二次函数的一般式为$y=x^2 + mx + 5$，两个表达式表示同一个函数，因此对应项系数相等：
1. 一次项系数对应相等：$m = -4$
2. 常数项对应相等：$4 + k = 5$，解得$k = 1$
因此$m + k = -4 + 1 = -3$
【答案】
-3
【知识点】
二次函数的形式转化，多项式对应系数相等，代数式求值
【点评】
本题考查二次函数一般式与顶点式的转换，解题核心是利用同一函数不同形式对应系数相等求解参数，属于基础题型，熟练掌握完全平方公式展开和多项式相等的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

6.若二次函数$y=x^2 + 2x + m$有最小值-2，则m的值为.

6. -1

【分析】
首先，二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中，当$a＞0$时抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值。求$m$的值时，我们可以先通过配方法将函数转化为顶点式，直接得到最小值的表达式，再结合题目给出的最小值为-2的条件列方程求解；也可以直接用二次函数顶点纵坐标的最值公式代入数值列方程求解。
【解析】
方法一（配方法）：
对二次函数$y=x^2 + 2x + m$配方：
$y = x^2 + 2x + 1 + m - 1 = (x+1)^2 + (m-1)$
∵$(x+1)^2 ≥ 0$，且$a=1＞0$，函数最小值为-2
∴当$(x+1)^2=0$时，函数取最小值$m-1$
列方程得：$m - 1 = -2$
解得：$m = -1$
方法二（最值公式法）：
二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）当$a＞0$时，最小值为$\frac{4ac - b^2}{4a}$
本题中$a=1$、$b=2$、$c=m$，最小值为-2，代入公式得：
$\frac{4×1× m - 2^2}{4×1} = -2$
化简得：$m - 1 = -2$
解得：$m = -1$
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的最值；配方法；解一元一次方程
【点评】
本题是二次函数模块的基础典型题，核心考查二次函数最值的计算方法，熟练掌握配方法化顶点式或二次函数最值公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8

7. (广东中考)把抛物线$y=2x^2 +1$向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为。

7. $y = 2x^2 + 4x$

【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是掌握二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”：①左右平移是对自变量x进行变换，向左平移n个单位就将x替换为x+n，向右平移n个单位就将x替换为x-n；②上下平移是对整个函数值进行变换，向上平移n个单位就在解析式末尾加n，向下平移n个单位就在解析式末尾减n。我们可以先对原解析式做向左平移的变换，再做向下平移的变换，最后化简得到结果。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=2x^2 +1$
第一步：向左平移1个单位长度，根据“左加”规则，将x替换为$x+1$，得到：
$y=2(x+1)^2 +1$
第二步：向下平移3个单位长度，根据“下减”规则，在解析式末尾减去3，得到：
$y=2(x+1)^2 +1 - 3$
接下来化简解析式：
先展开完全平方：$y=2(x^2 + 2x +1) - 2$
去括号：$y=2x^2 +4x +2 -2$
合并同类项得：$y=2x^2 +4x$
【答案】
$y = 2x^2 + 4x$
【知识点】
二次函数图象平移、整式化简运算
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，核心考察平移规律的应用，易错点是容易混淆左右平移时x的加减方向，或错误地对二次项系数直接进行加减运算，掌握平移规则的本质、运算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8