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5. 在一次数学活动课上，为了测量池塘岸边A，B两点之间的距离(如图)，同学们选取了C，D两点，使CD//AB。设AD与BC的交点为O，量得CD=180 m，AO=60 m，OD=120 m。求A，B两点之间的距离。
答案
90 m
解析
【分析】
解题时首先观察到CD//AB，可先根据平行线的性质得到两个三角形的对应内角相等，从而证明△AOB与△DOC相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵CD//AB，
∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OD}$。
将CD=180 m，AO=60 m，OD=120 m代入得：
$\frac{AB}{180}=\frac{60}{120}$，
解得AB=90 m。
【答案】
90 m
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的应用，解题核心是通过平行条件构造相似三角形，再利用相似三角形的边的比例关系求解未知距离，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到CD//AB，可先根据平行线的性质得到两个三角形的对应内角相等，从而证明△AOB与△DOC相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵CD//AB，
∴∠A=∠D，∠B=∠C（两直线平行，内错角相等），
∴△AOB∽△DOC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OD}$。
将CD=180 m，AO=60 m，OD=120 m代入得：
$\frac{AB}{180}=\frac{60}{120}$，
解得AB=90 m。
【答案】
90 m
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的应用，解题核心是通过平行条件构造相似三角形，再利用相似三角形的边的比例关系求解未知距离，属于常规基础应用题。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8。E为BC上的动点（不与B，C重合），连结DE。过点E作EF⊥DE，交AB于点F。设CE＝x，BF＝y，求y关于x的函数表达式。
答案
$y=-\frac{1}{4}x^2+2x(0＜x＜8)$
解析
【分析】
要得到y关于x的函数表达式，可先通过矩形的性质和垂直关系推导角的等量关系，证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列式整理即可。首先矩形的内角均为直角，结合EF⊥DE可推出两个三角形的两组角对应相等，证明△BEF∽△CDE，再将各边长度代入相似的比例式，化简后即可得到函数式，同时注意E的取值范围确定自变量x的定义域。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=4，
∴在Rt△CDE中，∠CDE + ∠CED = 90°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠BEF + ∠CED = 180° - ∠DEF = 90°，
∴∠BEF=∠CDE，
又
∵∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BE}{CD}$，
∵CE=x，BC=8，
∴BE=BC - CE=8 - x，BF=y，CD=4，
代入得：$\frac{y}{x}=\frac{8 - x}{4}$，
整理得：$4y = 8x - x^2$，即$y=-\frac{1}{4}x^2 + 2x$，
∵E为BC上的动点，不与B、C重合，
∴0＜x＜8，
综上，y关于x的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+2x(0＜x＜8)$。
【答案】
$y=-\frac{1}{4}x^2+2x(0＜x＜8)$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，解题核心是通过角的互余关系推导角相等，进而证明三角形相似，再利用相似的性质建立变量之间的等量关系，解题时需注意结合动点的取值范围确定自变量的定义域。
【难度系数】
0.7
要得到y关于x的函数表达式，可先通过矩形的性质和垂直关系推导角的等量关系，证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列式整理即可。首先矩形的内角均为直角，结合EF⊥DE可推出两个三角形的两组角对应相等，证明△BEF∽△CDE，再将各边长度代入相似的比例式，化简后即可得到函数式，同时注意E的取值范围确定自变量x的定义域。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=4，
∴在Rt△CDE中，∠CDE + ∠CED = 90°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠BEF + ∠CED = 180° - ∠DEF = 90°，
∴∠BEF=∠CDE，
又
∵∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CDE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BF}{CE}=\frac{BE}{CD}$，
∵CE=x，BC=8，
∴BE=BC - CE=8 - x，BF=y，CD=4，
代入得：$\frac{y}{x}=\frac{8 - x}{4}$，
整理得：$4y = 8x - x^2$，即$y=-\frac{1}{4}x^2 + 2x$，
∵E为BC上的动点，不与B、C重合，
∴0＜x＜8，
综上，y关于x的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+2x(0＜x＜8)$。
【答案】
$y=-\frac{1}{4}x^2+2x(0＜x＜8)$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的基础题型，解题核心是通过角的互余关系推导角相等，进而证明三角形相似，再利用相似的性质建立变量之间的等量关系，解题时需注意结合动点的取值范围确定自变量的定义域。
【难度系数】
0.7
7.（多选题）如图，在$□ ABCD$中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G。下列结论中，正确的是（
A.$△ ABE ∽ △ DGE$
B.$△ ABF ∽ △ CGF$
C.$△ ACD ∽ △ BCF$
D.$△ CGB ∽ △ ABE$
ABD
）。A.$△ ABE ∽ △ DGE$
B.$△ ABF ∽ △ CGF$
C.$△ ACD ∽ △ BCF$
D.$△ CGB ∽ △ ABE$
答案
ABD
解析
【分析】
本题以平行四边形为背景，考查相似三角形的判定，解题思路如下：首先回忆平行四边形对边平行的性质，再结合相似三角形“两角分别相等则两三角形相似”的判定定理，逐个分析每个选项中的两个三角形是否满足对应角相等，进而判断是否相似。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC。
1. 分析选项A：
∵AB//DG（DG在DC边上），
∴∠EDG=∠EAB，
又
∵∠E是△ABE和△DGE的公共角，
∴△ABE∽△DGE（两角分别相等的两个三角形相似），A正确。
2. 分析选项B：
∵AB//CG，
∴∠ABF=∠CGF，
又
∵∠AFB=∠CFG（对顶角相等），
∴△ABF∽△CGF（两角分别相等的两个三角形相似），B正确。
3. 分析选项C：
虽由AD//BC可得∠DAC=∠BCF，但无法证明△ACD和△BCF的其余对应角相等，也没有对应边成比例的条件，故两三角形不相似，C错误。
4. 分析选项D：
∵AB//CD，
∴∠CGB=∠ABE，
∵AD//BC，
∴∠E=∠GBC，
∴△CGB∽△ABE（两角分别相等的两个三角形相似），D正确。
【答案】
ABD
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的基础题，核心是利用平行四边形对边平行的性质得到相等的内错角、同位角，再结合相似三角形的判定定理逐一验证即可，做题时要注意不要漏看公共角、对顶角等隐含的相等角条件。
【难度系数】
0.7
本题以平行四边形为背景，考查相似三角形的判定，解题思路如下：首先回忆平行四边形对边平行的性质，再结合相似三角形“两角分别相等则两三角形相似”的判定定理，逐个分析每个选项中的两个三角形是否满足对应角相等，进而判断是否相似。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC。
1. 分析选项A：
∵AB//DG（DG在DC边上），
∴∠EDG=∠EAB，
又
∵∠E是△ABE和△DGE的公共角，
∴△ABE∽△DGE（两角分别相等的两个三角形相似），A正确。
2. 分析选项B：
∵AB//CG，
∴∠ABF=∠CGF，
又
∵∠AFB=∠CFG（对顶角相等），
∴△ABF∽△CGF（两角分别相等的两个三角形相似），B正确。
3. 分析选项C：
虽由AD//BC可得∠DAC=∠BCF，但无法证明△ACD和△BCF的其余对应角相等，也没有对应边成比例的条件，故两三角形不相似，C错误。
4. 分析选项D：
∵AB//CD，
∴∠CGB=∠ABE，
∵AD//BC，
∴∠E=∠GBC，
∴△CGB∽△ABE（两角分别相等的两个三角形相似），D正确。
【答案】
ABD
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的基础题，核心是利用平行四边形对边平行的性质得到相等的内错角、同位角，再结合相似三角形的判定定理逐一验证即可，做题时要注意不要漏看公共角、对顶角等隐含的相等角条件。
【难度系数】
0.7
