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1. 符合下列条件的两个三角形一定相似的是(
A.两个锐角三角形
B.两个钝角三角形
C.两个等腰三角形
D.两个等边三角形
D
)。A.两个锐角三角形
B.两个钝角三角形
C.两个等腰三角形
D.两个等边三角形
答案
D
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，核心依据是相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，或两边成比例且夹角相等、三边成比例的两个三角形相似。我们可以结合各类三角形的性质逐个分析选项，也可以通过举反例排除不符合要求的选项：锐角、钝角、等腰三角形的内角度数不一定对应相等，很容易找到不相似的反例；而等边三角形的角度、边长特性固定，符合相似的判定条件。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 两个锐角三角形：内角均为锐角，但对应角不一定相等，例如一个锐角三角形内角为50°、60°、70°，另一个为40°、60°、80°，两组三角形没有两组对应角相等，因此不相似，排除A；
B. 两个钝角三角形：仅保证有一个钝角，但钝角度数不一定相等，其余锐角也不一定对应相等，例如一个钝角为120°、两锐角为30°、30°的钝角三角形，和钝角为150°、两锐角为15°、15°的钝角三角形，没有两组对应角相等，不相似，排除B；
C. 两个等腰三角形：仅保证有两边相等，但顶角或底角不一定对应相等，例如顶角为30°的等腰三角形和顶角为120°的等腰三角形，内角不对应相等，不相似，排除C；
D. 两个等边三角形：所有等边三角形的三个内角均为60°，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，且等边三角形三边相等，对应边一定成比例，因此任意两个等边三角形一定相似。
【答案】
D
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对相似三角形判定条件的理解，以及对不同类型三角形性质的掌握，解题时通过举反例排除错误选项是高效的解题技巧。
【难度系数】
0.9
要判断两个三角形是否相似，核心依据是相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，或两边成比例且夹角相等、三边成比例的两个三角形相似。我们可以结合各类三角形的性质逐个分析选项，也可以通过举反例排除不符合要求的选项：锐角、钝角、等腰三角形的内角度数不一定对应相等，很容易找到不相似的反例；而等边三角形的角度、边长特性固定，符合相似的判定条件。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 两个锐角三角形：内角均为锐角，但对应角不一定相等，例如一个锐角三角形内角为50°、60°、70°，另一个为40°、60°、80°，两组三角形没有两组对应角相等，因此不相似，排除A；
B. 两个钝角三角形：仅保证有一个钝角，但钝角度数不一定相等，其余锐角也不一定对应相等，例如一个钝角为120°、两锐角为30°、30°的钝角三角形，和钝角为150°、两锐角为15°、15°的钝角三角形，没有两组对应角相等，不相似，排除B；
C. 两个等腰三角形：仅保证有两边相等，但顶角或底角不一定对应相等，例如顶角为30°的等腰三角形和顶角为120°的等腰三角形，内角不对应相等，不相似，排除C；
D. 两个等边三角形：所有等边三角形的三个内角均为60°，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，且等边三角形三边相等，对应边一定成比例，因此任意两个等边三角形一定相似。
【答案】
D
【知识点】
1.相似三角形的判定
2.等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对相似三角形判定条件的理解，以及对不同类型三角形性质的掌握，解题时通过举反例排除错误选项是高效的解题技巧。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$。在$AC$边上作一点$D$，使得$△ BDC$与$△ ABC$相似，并说明它们相似的理由。（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
答案
作∠ABC的平分线，交AC于点D。理由略。
解析
【分析】
首先梳理已知条件：△ABC中AB=AC，∠A=36°，可先推出△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=∠C=72°。要使△BDC与△ABC相似，可观察到两个三角形存在公共角∠C，根据相似三角形的判定定理，只需再构造一组对应角相等即可。我们可使∠DBC=∠A=36°，而∠ABC恰好是72°，因此只需作∠ABC的角平分线，交AC于点D，就能满足角相等的条件，进而证明两三角形相似，尺规作图按照角平分线的标准作法操作即可。
【解析】
1. 计算△ABC底角度数：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°。
2. 尺规作图：用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，保留作角平分线的弧线痕迹即可。
3. 相似证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，即∠DBC=∠A=36°，
又
∵∠C是两个三角形的公共角，
∴根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△BDC∽△ABC。
【答案】
作∠ABC的平分线，交AC于点D。理由：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=36°=∠A，又∠C为公共角，故△BDC∽△ABC。
【知识点】
等腰三角形性质，相似三角形判定，尺规作角平分线
【点评】
本题综合考查了等腰三角形的角度计算、相似三角形的判定和尺规作图技能，解题核心是利用公共角，通过构造相等的角满足相似判定条件，属于基础知识点的综合应用题型。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：△ABC中AB=AC，∠A=36°，可先推出△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=∠C=72°。要使△BDC与△ABC相似，可观察到两个三角形存在公共角∠C，根据相似三角形的判定定理，只需再构造一组对应角相等即可。我们可使∠DBC=∠A=36°，而∠ABC恰好是72°，因此只需作∠ABC的角平分线，交AC于点D，就能满足角相等的条件，进而证明两三角形相似，尺规作图按照角平分线的标准作法操作即可。
【解析】
1. 计算△ABC底角度数：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)÷2=(180°-36°)÷2=72°。
2. 尺规作图：用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，保留作角平分线的弧线痕迹即可。
3. 相似证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，即∠DBC=∠A=36°，
又
∵∠C是两个三角形的公共角，
∴根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得△BDC∽△ABC。
【答案】
作∠ABC的平分线，交AC于点D。理由：
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=36°=∠A，又∠C为公共角，故△BDC∽△ABC。
【知识点】
等腰三角形性质，相似三角形判定，尺规作角平分线
【点评】
本题综合考查了等腰三角形的角度计算、相似三角形的判定和尺规作图技能，解题核心是利用公共角，通过构造相等的角满足相似判定条件，属于基础知识点的综合应用题型。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，$AD=2$，$BD=4$，$AE=1.5$。求$AC$的长。
答案
4.5
解析
【分析】
解题思路：首先观察到已知$DE// BC$，结合相似三角形的判定定理，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似，因此可得$△ ADE∽△ ABC$。再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，先求出$AB$的长度，代入已知数值求解比例式即可得到$AC$的长度，也可先通过平行线分线段成比例求出$EC$的长度，再计算$AC=AE+EC$。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
由题意得$AB=AD+BD=2+4=6$，将$AD=2$，$AE=1.5$，$AB=6$代入比例式：
$\frac{2}{6}=\frac{1.5}{AC}$，
交叉相乘得$2AC=6×1.5=9$，
解得$AC=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，主要考查利用平行线判定三角形相似，结合相似三角形对应边成比例的性质求解线段长度，解题时注意找准对应边，避免比例关系列错。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察到已知$DE// BC$，结合相似三角形的判定定理，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所得的三角形与原三角形相似，因此可得$△ ADE∽△ ABC$。再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，先求出$AB$的长度，代入已知数值求解比例式即可得到$AC$的长度，也可先通过平行线分线段成比例求出$EC$的长度，再计算$AC=AE+EC$。
【解析】
解：$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE∽△ ABC$（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似），
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
由题意得$AB=AD+BD=2+4=6$，将$AD=2$，$AE=1.5$，$AB=6$代入比例式：
$\frac{2}{6}=\frac{1.5}{AC}$，
交叉相乘得$2AC=6×1.5=9$，
解得$AC=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题型，主要考查利用平行线判定三角形相似，结合相似三角形对应边成比例的性质求解线段长度，解题时注意找准对应边，避免比例关系列错。
【难度系数】
0.8
4. 如图，已知$∠ B=∠ ADE$，$∠1=∠2$。
（1）求证：$△ ABC∽△ ADE$。
（2）若$∠ B=40°$，$∠ C=60°$，求$∠ DAE$的度数。
（1）求证：$△ ABC∽△ ADE$。
（2）若$∠ B=40°$，$∠ C=60°$，求$∠ DAE$的度数。
答案
（1）证明略
（2）$80°$
（2）$80°$
解析
【分析】
（1）要证明两个三角形相似，已知一组角∠B=∠ADE，只需再推导得到另一组对应角相等即可。由已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠DAC，可推出∠BAC=∠DAE，满足两角分别相等的相似判定条件。（2）先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据相似三角形对应角相等的性质，即可得到∠DAE的度数。
【解析】
（1）证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1+∠DAC = ∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
又
∵ ∠B=∠ADE，
∴ △ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°，
由（1）知△ABC∽△ADE，根据相似三角形对应角相等的性质：
∴ ∠DAE = ∠BAC = 80°。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boxed{80°}$
【知识点】
相似三角形的判定，三角形内角和定理，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用题，解题关键是通过角的和差关系得到相等的对应角，熟练掌握相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.75
（1）要证明两个三角形相似，已知一组角∠B=∠ADE，只需再推导得到另一组对应角相等即可。由已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠DAC，可推出∠BAC=∠DAE，满足两角分别相等的相似判定条件。（2）先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再根据相似三角形对应角相等的性质，即可得到∠DAE的度数。
【解析】
（1）证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1+∠DAC = ∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
又
∵ ∠B=∠ADE，
∴ △ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 60° = 80°，
由（1）知△ABC∽△ADE，根据相似三角形对应角相等的性质：
∴ ∠DAE = ∠BAC = 80°。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boxed{80°}$
【知识点】
相似三角形的判定，三角形内角和定理，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形相关知识的基础应用题，解题关键是通过角的和差关系得到相等的对应角，熟练掌握相关定理就能快速求解。
【难度系数】
0.75
