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8. 如图，在$5×5$的方格纸中，点$A$，$B$都在格点上，按要求画图。
（1）在图①中找出线段$AB$的三等分点$C$，$D$。
（2）仅用无刻度的直尺，在图②线段$AB$上找一点$P$，使$AP=\frac{2}{5}AB$。
（1）在图①中找出线段$AB$的三等分点$C$，$D$。
（2）仅用无刻度的直尺，在图②线段$AB$上找一点$P$，使$AP=\frac{2}{5}AB$。
答案
8. 如图。（1）
（2）
解析
【分析】
（1）要找线段AB的三等分点，可运用平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。只要构造一组等距的平行线截AB，就能将AB分为长度相等的三段，交点即为三等分点，结合网格自带的平行、等距特性即可完成构造。
（2）要得到$AP=\frac{2}{5}AB$，即$AP:PB=2:3$，同样利用平行线分线段成比例定理，构造出能将线段分为$2:3$的平行关系，与AB的交点就是所求的点P，借助网格格点可构造符合比例要求的平行线。
【解析】
（1）利用网格的平行特性构造等距平行线：
观察线段AB的走向，找到两条平行于网格边且间距相等的平行线，使其截AB得到三段长度相等的线段，两个交点即为三等分点C、D（靠近点A的为C，靠近点B的为D）。
（2）借助格点构造满足比例的平行线：
过点A构造一条辅助射线，在射线上利用网格取5段等长的单位线段，标记第2个分点，连接第5个分点与点B，再过第2个分点作该连线的平行线，平行线与AB的交点即为点P，此时$AP:PB=2:3$，满足$AP=\frac{2}{5}AB$。
【答案】
（1）
（2）
【知识点】
平行线分线段成比例定理，格点作图，线段比例等分
【点评】
本题依托网格考查线段按比例等分的作图，核心是灵活运用平行线分线段成比例的性质，结合网格天然的平行、等距特性构造所需平行线，能有效锻炼对定理的实际应用能力和几何作图能力。
【难度系数】
0.6
（1）要找线段AB的三等分点，可运用平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。只要构造一组等距的平行线截AB，就能将AB分为长度相等的三段，交点即为三等分点，结合网格自带的平行、等距特性即可完成构造。
（2）要得到$AP=\frac{2}{5}AB$，即$AP:PB=2:3$，同样利用平行线分线段成比例定理，构造出能将线段分为$2:3$的平行关系，与AB的交点就是所求的点P，借助网格格点可构造符合比例要求的平行线。
【解析】
（1）利用网格的平行特性构造等距平行线：
观察线段AB的走向，找到两条平行于网格边且间距相等的平行线，使其截AB得到三段长度相等的线段，两个交点即为三等分点C、D（靠近点A的为C，靠近点B的为D）。
（2）借助格点构造满足比例的平行线：
过点A构造一条辅助射线，在射线上利用网格取5段等长的单位线段，标记第2个分点，连接第5个分点与点B，再过第2个分点作该连线的平行线，平行线与AB的交点即为点P，此时$AP:PB=2:3$，满足$AP=\frac{2}{5}AB$。
【答案】
（1）
（2）
【知识点】
平行线分线段成比例定理，格点作图，线段比例等分
【点评】
本题依托网格考查线段按比例等分的作图，核心是灵活运用平行线分线段成比例的性质，结合网格天然的平行、等距特性构造所需平行线，能有效锻炼对定理的实际应用能力和几何作图能力。
【难度系数】
0.6
9. 在一次数学活动课上，小聪在探究一道关于角平分线的问题中发现一个结论：
如图①，若AD是△ABC中的角平分线，则$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。
王老师组织同学们进行探索，下面是善思小组和创新小组的分析过程（不完整）。
善思小组：从角平分线的性质及三角形的面积考虑，可证明上述结论。
创新小组：如图②，过点C作CE//AD，根据平行线分线段成比例亦可证明上述结论。
（1）请选择上面两个小组分析的其中一种思路，完成证明。
（2）如图③，已知在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是多少？
如图①，若AD是△ABC中的角平分线，则$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。
王老师组织同学们进行探索，下面是善思小组和创新小组的分析过程（不完整）。
善思小组：从角平分线的性质及三角形的面积考虑，可证明上述结论。
创新小组：如图②，过点C作CE//AD，根据平行线分线段成比例亦可证明上述结论。
（1）请选择上面两个小组分析的其中一种思路，完成证明。
（2）如图③，已知在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是多少？
答案
9. （1）善思小组:如图①,过点 D 作 $DM ⊥ AB$ 于点 $M,DN ⊥ AC$ 于点 $N$。由 AD 平分$∠ BAC$, 可得 $DM = DN$, 所以 $\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{\frac{1}{2}AB · DM}{\frac{1}{2}AC · DN} = \frac{AB}{AC}$。又因为$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$,所以$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。
创新小组:如图②,过点 C 作 $CE// AD$,交 BA 的延长线于点 E,所以$∠ BAD=∠ E,∠ CAD=∠ ACE$。又因为 AD 平分$∠ BAC$,所以$∠ BAD=∠ CAD$,所以$∠ E=∠ ACE$,所以 $AC=AE$。由 $CE// AD$ 可得 $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$,所以$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。
（2）因为$AB=3,BC=4$,所以由勾股定理可得$AC=5$。因为 AD 平分$∠ BAC$,所以$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}$,即$\frac{CD}{4-CD}=\frac{5}{3}$,解得 $CD=\frac{5}{2}$,则 $BD=\frac{3}{2},AD=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,所以$△ ABD$ 的周长$=AB+BD+AD=3+\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$。
解析
【分析】
（1）若选择善思小组思路：利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可得△ABD与△ACD以AB、AC为底时的高相等，因此两个三角形的面积比等于AB与AC的比；同时△ABD和△ACD以BD、CD为底时高相同，面积比等于BD与CD的比，联立两个面积比即可证明结论。若选择创新小组思路：作CE平行于AD，由平行线性质可得对应角相等，结合角平分线定义推出∠E=∠ACE，得到AC=AE，再根据平行线分线段成比例得到$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$，等量代换即可证得结论。
（2）先通过勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC长度，再代入（1）中证得的角平分线比例结论求出BD的长度，接着用勾股定理计算AD的长度，最后将△ABD三边相加即可得到周长。
【解析】
（1）任选一种思路证明即可：
方法一（善思小组思路）：
如图①，过点D作$DM⊥AB$于点M，$DN⊥AC$于点N。
∵AD平分$∠BAC$，$DM⊥AB$，$DN⊥AC$，
∴$DM=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{\frac{1}{2}AB · DM}{\frac{1}{2}AC · DN} = \frac{AB}{AC}$。
又
∵△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$，因此$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。
方法二（创新小组思路）：
如图②，过点C作$CE// AD$，交BA的延长线于点E，
∴$∠ BAD=∠ E,∠ CAD=∠ ACE$（两直线平行，同位角、内错角相等）。
又
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，
∴$∠ E=∠ ACE$，
∴$AC=AE$（等角对等边）。
由$CE// AD$，根据平行线分线段成比例可得 $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$，
将AE替换为AC，得$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。
（2）在Rt△ABC中，$∠ABC=90°$，$AB＝3$，$BC＝4$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵AD平分$∠BAC$，由（1）的结论得$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{3}$，
又
∵$CD+BD=BC=4$，即$CD=4-BD$，代入比例式得：
$\frac{4-BD}{BD}=\frac{5}{3}$，解得$BD=\frac{3}{2}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴△ABD的周长为$AB+BD+AD=3+\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
（1）证明见上述解析（两种思路任选其一即可）；（2）$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
角平分线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理
【点评】
本题分为定理证明和定理应用两个部分，通过多种思路推导角平分线的比例性质，再利用性质解决直角三角形的周长计算问题，既考查了逻辑推理能力，又考查了计算能力，兼顾了对证明过程和知识应用的考核。
【难度系数】
0.6
（1）若选择善思小组思路：利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可得△ABD与△ACD以AB、AC为底时的高相等，因此两个三角形的面积比等于AB与AC的比；同时△ABD和△ACD以BD、CD为底时高相同，面积比等于BD与CD的比，联立两个面积比即可证明结论。若选择创新小组思路：作CE平行于AD，由平行线性质可得对应角相等，结合角平分线定义推出∠E=∠ACE，得到AC=AE，再根据平行线分线段成比例得到$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$，等量代换即可证得结论。
（2）先通过勾股定理求出Rt△ABC的斜边AC长度，再代入（1）中证得的角平分线比例结论求出BD的长度，接着用勾股定理计算AD的长度，最后将△ABD三边相加即可得到周长。
【解析】
（1）任选一种思路证明即可：
方法一（善思小组思路）：
如图①，过点D作$DM⊥AB$于点M，$DN⊥AC$于点N。
∵AD平分$∠BAC$，$DM⊥AB$，$DN⊥AC$，
∴$DM=DN$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}} = \frac{\frac{1}{2}AB · DM}{\frac{1}{2}AC · DN} = \frac{AB}{AC}$。
又
∵△ABD和△ACD以BD、CD为底时，高均为点A到BC的距离，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{CD}$，因此$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。
方法二（创新小组思路）：
如图②，过点C作$CE// AD$，交BA的延长线于点E，
∴$∠ BAD=∠ E,∠ CAD=∠ ACE$（两直线平行，同位角、内错角相等）。
又
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ BAD=∠ CAD$，
∴$∠ E=∠ ACE$，
∴$AC=AE$（等角对等边）。
由$CE// AD$，根据平行线分线段成比例可得 $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}$，
将AE替换为AC，得$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。
（2）在Rt△ABC中，$∠ABC=90°$，$AB＝3$，$BC＝4$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵AD平分$∠BAC$，由（1）的结论得$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{3}$，
又
∵$CD+BD=BC=4$，即$CD=4-BD$，代入比例式得：
$\frac{4-BD}{BD}=\frac{5}{3}$，解得$BD=\frac{3}{2}$。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\sqrt{3^2+(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴△ABD的周长为$AB+BD+AD=3+\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
（1）证明见上述解析（两种思路任选其一即可）；（2）$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
角平分线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理
【点评】
本题分为定理证明和定理应用两个部分，通过多种思路推导角平分线的比例性质，再利用性质解决直角三角形的周长计算问题，既考查了逻辑推理能力，又考查了计算能力，兼顾了对证明过程和知识应用的考核。
【难度系数】
0.6
