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8. 如图,在△ABC中,AC是⊙O的直径,两边AB,BC分别交⊙O于点D和点E,AE与CD相交于点F,连结DE。
(1) 求证:△AEB∽△CEF。
(2) 找出图中所有与△ADF相似的三角形。
(1) 求证:△AEB∽△CEF。
(2) 找出图中所有与△ADF相似的三角形。
答案
（1）因为AC是⊙O的直径，所以∠CEF=∠ADC=90°，可得∠AEB=90°，所以∠AEB=∠CEF=90°。因为∠ECF=∠EAB，所以△AEB∽△CEF。
（2）△ABE；△CEF；△CDB。
（2）△ABE；△CEF；△CDB。
解析
【分析】
(1) 要证明△AEB∽△CEF，可利用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先根据AC是⊙O的直径，可得直径所对的圆周角为直角，得到∠AEB=∠CEF=90°，再推导另一组角相等即可完成证明。
(2) 先明确△ADF的特征：∠ADF=90°，且含锐角∠DAF，只需找出所有含直角，且有一个锐角与∠DAF相等的三角形，逐一排查即可得到所有相似的三角形。
【解析】
(1) 证明：
∵AC是⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角为直角，即∠AEC=∠AEB=90°，∠CEF=90°，
∴∠AEB=∠CEF。
∵∠ECF+∠CFE=90°，∠EAB+∠AFD=90°，且∠CFE和∠AFD是对顶角，∠CFE=∠AFD，
∴∠ECF=∠EAB。
在△AEB和△CEF中：
$\{\begin{array}{l}∠ AEB=∠ CEF\\ ∠ EAB=∠ ECF\end{array} $
∴△AEB∽△CEF（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：
① 和△ABE相似：
∵∠ADF=∠AEB=90°，∠DAF=∠BAE（公共角），
∴△ADF∽△ABE。
② 和△CEF相似：
∵∠ADF=∠CEF=90°，∠DAF=∠ECF（已证），
∴△ADF∽△CEF。
③ 和△CDB相似：
∵AC是直径，
∴∠CDB=∠ADC=90°=∠ADF，
又
∵∠DAF=∠DCB（同弧DE所对的圆周角相等），
∴△ADF∽△CDB。
综上可得出所有与△ADF相似的三角形。
【答案】
（1）证明如上；
（2）△ABE；△CEF；△CDB
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角
2. 相似三角形的判定
3. 圆周角定理
【点评】
本题重点考查圆周角性质和相似三角形的判定，解题时要善于挖掘隐含的角相等条件（如对顶角、公共角、同弧所对圆周角相等），结合直角三角形的角的特征推导等角，即可快速判断三角形是否相似。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△AEB∽△CEF，可利用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先根据AC是⊙O的直径，可得直径所对的圆周角为直角，得到∠AEB=∠CEF=90°，再推导另一组角相等即可完成证明。
(2) 先明确△ADF的特征：∠ADF=90°，且含锐角∠DAF，只需找出所有含直角，且有一个锐角与∠DAF相等的三角形，逐一排查即可得到所有相似的三角形。
【解析】
(1) 证明：
∵AC是⊙O的直径，
∴直径所对的圆周角为直角，即∠AEC=∠AEB=90°，∠CEF=90°，
∴∠AEB=∠CEF。
∵∠ECF+∠CFE=90°，∠EAB+∠AFD=90°，且∠CFE和∠AFD是对顶角，∠CFE=∠AFD，
∴∠ECF=∠EAB。
在△AEB和△CEF中：
$\{\begin{array}{l}∠ AEB=∠ CEF\\ ∠ EAB=∠ ECF\end{array} $
∴△AEB∽△CEF（两角对应相等，两三角形相似）。
(2) 解：
① 和△ABE相似：
∵∠ADF=∠AEB=90°，∠DAF=∠BAE（公共角），
∴△ADF∽△ABE。
② 和△CEF相似：
∵∠ADF=∠CEF=90°，∠DAF=∠ECF（已证），
∴△ADF∽△CEF。
③ 和△CDB相似：
∵AC是直径，
∴∠CDB=∠ADC=90°=∠ADF，
又
∵∠DAF=∠DCB（同弧DE所对的圆周角相等），
∴△ADF∽△CDB。
综上可得出所有与△ADF相似的三角形。
【答案】
（1）证明如上；
（2）△ABE；△CEF；△CDB
【知识点】
1. 直径所对圆周角为直角
2. 相似三角形的判定
3. 圆周角定理
【点评】
本题重点考查圆周角性质和相似三角形的判定，解题时要善于挖掘隐含的角相等条件（如对顶角、公共角、同弧所对圆周角相等），结合直角三角形的角的特征推导等角，即可快速判断三角形是否相似。
【难度系数】
0.7
9. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ ADC=120°$，点E在边BC上，点F在边CD上，DF=3，CE=4，连结AF，DE交于点P。若$∠ APE=120°$，求$\frac{DE}{AF}$的值。
答案
如图，在DC上取一点G，使CG=CE，连结EG。
在ABCD中，∠ADC=120°，则∠C=60°，可得△EGC是等边三角形，则EG=CE=4，∠EGC=60°，所以∠EGD=∠ADF=120°。因为∠APE=120°，所以∠ADP + ∠DAP = 120°。因为∠ADP + ∠EDC = 120°，可得∠DAP=∠EDC，所以△ADF∽△DGE，所以$\frac{DE}{AF}=\frac{GE}{DF}=\frac{4}{3}$。
解析
【分析】
要求$\frac{DE}{AF}$的值，可通过证明DE、AF所在的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解。首先结合平行四边形邻角互补的性质，可得$∠ C=60°$，已知$CE=4$，可构造以CE为边的等边三角形，得到与$∠ ADF$相等的$120°$角，再结合$∠ APE=120°$推导角的等量关系，证明两个三角形相似，最后代入已知边长计算比值即可。
【解析】
解：在DC上取一点G，使$CG=CE$，连结EG。
∵四边形ABCD是平行四边形，$∠ ADC=120°$，
∴$∠ C=180°-∠ ADC=60°$，$∠ ADF=∠ ADC=120°$。
∵$CG=CE$，$∠ C=60°$，
∴$△ EGC$是等边三角形，
∴$EG=CE=4$，$∠ EGC=60°$，
∴$∠ EGD=180°-∠ EGC=120°$，即$∠ EGD=∠ ADF$。
∵$∠ APE=120°$，
∴$∠ APD=180°-∠ APE=60°$，
在$△ APD$中，$∠ DAP + ∠ ADP = 180°-∠ APD=120°$，
又
∵$∠ ADC=∠ ADP + ∠ EDG=120°$，
∴$∠ DAP=∠ EDG$，
∴$△ ADF ∽ △ DGE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{AF}=\frac{GE}{DF}$，
代入$GE=4$，$DF=3$，得$\frac{DE}{AF}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，需要结合特殊四边形、特殊三角形的性质构造辅助线，通过证明三角形相似求解线段比值，对辅助线构造能力和角的推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求$\frac{DE}{AF}$的值，可通过证明DE、AF所在的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求解。首先结合平行四边形邻角互补的性质，可得$∠ C=60°$，已知$CE=4$，可构造以CE为边的等边三角形，得到与$∠ ADF$相等的$120°$角，再结合$∠ APE=120°$推导角的等量关系，证明两个三角形相似，最后代入已知边长计算比值即可。
【解析】
解：在DC上取一点G，使$CG=CE$，连结EG。
∵四边形ABCD是平行四边形，$∠ ADC=120°$，
∴$∠ C=180°-∠ ADC=60°$，$∠ ADF=∠ ADC=120°$。
∵$CG=CE$，$∠ C=60°$，
∴$△ EGC$是等边三角形，
∴$EG=CE=4$，$∠ EGC=60°$，
∴$∠ EGD=180°-∠ EGC=120°$，即$∠ EGD=∠ ADF$。
∵$∠ APE=120°$，
∴$∠ APD=180°-∠ APE=60°$，
在$△ APD$中，$∠ DAP + ∠ ADP = 180°-∠ APD=120°$，
又
∵$∠ ADC=∠ ADP + ∠ EDG=120°$，
∴$∠ DAP=∠ EDG$，
∴$△ ADF ∽ △ DGE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{AF}=\frac{GE}{DF}$，
代入$GE=4$，$DF=3$，得$\frac{DE}{AF}=\frac{4}{3}$。
【答案】
$\frac{4}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何综合题，需要结合特殊四边形、特殊三角形的性质构造辅助线，通过证明三角形相似求解线段比值，对辅助线构造能力和角的推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
