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5. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ B=60°$，$BC=6$，以$AD$为直径的$\odot O$交$CD$于点$E$。求$\overset{\frown}{DE}$的长。
答案
$π$
解析
【分析】
要计算弧$\overset{\frown}{DE}$的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径），因此解题的核心是求出$\odot O$的半径和$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角度数。首先利用平行四边形对边相等、对角相等的性质，得到$AD=BC$、$∠ D=∠ B$，再结合同圆半径相等的性质，判断$△ ODE$的形状即可得到圆心角的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：连接$OE$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD=BC=6$，$∠ D=∠ B=60°$。
∵ $OD$、$OE$都是$\odot O$的半径，
∴ $OD=OE=\frac{1}{2}AD=3$。
∴ $△ ODE$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
∴ $∠ DOE=60°$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{DE}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{60×π×3}{180}=π$
【答案】
$π$
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定；弧长计算
【点评】
本题是基础综合题，解题关键是通过作辅助线构造等腰三角形，结合平行四边形、等边三角形的性质得到弧长计算需要的半径和圆心角，熟练掌握基础性质和公式是快速解题的前提。
【难度系数】
0.7
要计算弧$\overset{\frown}{DE}$的长，首先回忆弧长计算公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是弧所对圆心角的度数，$r$是圆的半径），因此解题的核心是求出$\odot O$的半径和$\overset{\frown}{DE}$对应的圆心角度数。首先利用平行四边形对边相等、对角相等的性质，得到$AD=BC$、$∠ D=∠ B$，再结合同圆半径相等的性质，判断$△ ODE$的形状即可得到圆心角的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：连接$OE$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD=BC=6$，$∠ D=∠ B=60°$。
∵ $OD$、$OE$都是$\odot O$的半径，
∴ $OD=OE=\frac{1}{2}AD=3$。
∴ $△ ODE$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
∴ $∠ DOE=60°$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{DE}$的长为：
$l_{\overset{\frown}{DE}}=\frac{60×π×3}{180}=π$
【答案】
$π$
【知识点】
平行四边形的性质；等边三角形的判定；弧长计算
【点评】
本题是基础综合题，解题关键是通过作辅助线构造等腰三角形，结合平行四边形、等边三角形的性质得到弧长计算需要的半径和圆心角，熟练掌握基础性质和公式是快速解题的前提。
【难度系数】
0.7
6. (多选题)如图，AD是$\odot O$的直径，$AD=12$。点B，C在$\odot O$上，AB，DC的延长线交于点E，且$CB=CE$，$∠ BCE=70°$。以下结论一定正确的是(
A.$∠ ADE=∠ E$
B.劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长为$\dfrac{4π}{3}$
C.C为$\overset{\frown}{BD}$的中点
D.BD平分$∠ ADE$
ABC
)。A.$∠ ADE=∠ E$
B.劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长为$\dfrac{4π}{3}$
C.C为$\overset{\frown}{BD}$的中点
D.BD平分$∠ ADE$
答案
ABC
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①利用圆内接四边形的外角等于内对角，推导∠A和∠ADE与已知角、∠E的关系，判断选项A；②结合直径所对圆周角为直角的性质，求出劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角，代入弧长公式计算判断选项B；③通过角度计算推导∠DBC和∠BDC相等，根据等角对等弧判断选项C；④计算∠ADB和∠BDE的度数，判断BD是否平分∠ADE，确定选项D正误。
【解析】
1. 验证选项A：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴外角$∠ BCE=∠ A=70°$。
∵$CB=CE$，
∴$△ CBE$为等腰三角形，$∠ CBE=∠ E=\frac{180°-∠ BCE}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$。
又
∵$∠ CBE$是圆内接四边形ABCD的外角，
∴$∠ CBE=∠ ADE$，即$∠ ADE=∠ E=55°$，A正确。
2. 验证选项B：
∵AD是$\odot O$的直径，
∴直径所对圆周角$∠ ABD=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ A=70°$，
∴$∠ ADB=90°-70°=20°$。
连接OB，$\odot O$半径$r=\frac{AD}{2}=6$，
∵$OA=OB$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=70°$，可得劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB=180°-70°×2=40°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{40π×6}{180}=\frac{4π}{3}$，B正确。
3. 验证选项C：
∵AD是直径，
∴$∠ ACD=90°$，即$∠ DCE=90°$。
在$Rt△ DCE$中，$∠ E=55°$，
∴$∠ CDE=90°-55°=35°$。
∵$∠ ADE=55°$，$∠ ADB=20°$，
∴$∠ BDC=∠ ADE-∠ ADB=35°$。
又
∵$∠ CBE=55°$，$∠ ABD=90°$，
∴$∠ DBC=180°-90°-55°=35°$。
∴$∠ DBC=∠ BDC$，根据同圆中等角对等弧，得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$，即C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，C正确。
4. 验证选项D：
∵$∠ ADB=20°$，$∠ BDE=35°$，二者不相等，
∴BD不平分$∠ ADE$，D错误。
【答案】
ABC
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题综合考查圆的性质与等腰三角形、弧长计算的结合，需要逐层推导角度关系，熟练掌握圆的基础性质是解题的关键，作为多选题，需要逐一验证选项避免漏判或误判。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：①利用圆内接四边形的外角等于内对角，推导∠A和∠ADE与已知角、∠E的关系，判断选项A；②结合直径所对圆周角为直角的性质，求出劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角，代入弧长公式计算判断选项B；③通过角度计算推导∠DBC和∠BDC相等，根据等角对等弧判断选项C；④计算∠ADB和∠BDE的度数，判断BD是否平分∠ADE，确定选项D正误。
【解析】
1. 验证选项A：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴外角$∠ BCE=∠ A=70°$。
∵$CB=CE$，
∴$△ CBE$为等腰三角形，$∠ CBE=∠ E=\frac{180°-∠ BCE}{2}=\frac{180°-70°}{2}=55°$。
又
∵$∠ CBE$是圆内接四边形ABCD的外角，
∴$∠ CBE=∠ ADE$，即$∠ ADE=∠ E=55°$，A正确。
2. 验证选项B：
∵AD是$\odot O$的直径，
∴直径所对圆周角$∠ ABD=90°$。
在$Rt△ ABD$中，$∠ A=70°$，
∴$∠ ADB=90°-70°=20°$。
连接OB，$\odot O$半径$r=\frac{AD}{2}=6$，
∵$OA=OB$，
∴$∠ OAB=∠ OBA=70°$，可得劣弧$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角$∠ AOB=180°-70°×2=40°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，得劣弧$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{40π×6}{180}=\frac{4π}{3}$，B正确。
3. 验证选项C：
∵AD是直径，
∴$∠ ACD=90°$，即$∠ DCE=90°$。
在$Rt△ DCE$中，$∠ E=55°$，
∴$∠ CDE=90°-55°=35°$。
∵$∠ ADE=55°$，$∠ ADB=20°$，
∴$∠ BDC=∠ ADE-∠ ADB=35°$。
又
∵$∠ CBE=55°$，$∠ ABD=90°$，
∴$∠ DBC=180°-90°-55°=35°$。
∴$∠ DBC=∠ BDC$，根据同圆中等角对等弧，得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$，即C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，C正确。
4. 验证选项D：
∵$∠ ADB=20°$，$∠ BDE=35°$，二者不相等，
∴BD不平分$∠ ADE$，D错误。
【答案】
ABC
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；弧长计算
【点评】
本题综合考查圆的性质与等腰三角形、弧长计算的结合，需要逐层推导角度关系，熟练掌握圆的基础性质是解题的关键，作为多选题，需要逐一验证选项避免漏判或误判。
【难度系数】
0.6
7. 如图，△ABC与△A'B'C是两个完全重合的直角三角尺，∠B＝30°，AB＝10 cm。将三角尺A'B'C绕直角顶点C顺时针旋转，使点A'落在AB边上。
（1）求CA旋转到CA'所构成的扇形的弧长。
（2）判断BC与A'B'的位置关系。
（1）求CA旋转到CA'所构成的扇形的弧长。
（2）判断BC与A'B'的位置关系。
答案
(1) $\frac{5}{3}π$ cm (2) 垂直
解析
【分析】
（1）求扇形弧长需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径。首先先利用直角三角形中30°角的性质求出半径$CA$的长度，再根据旋转的性质得$CA'=CA$，结合$∠ A$的度数可判断$△ CAA'$是等边三角形，得到圆心角$∠ ACA'$的度数，代入公式即可计算弧长。
（2）判断两条直线的位置关系可通过夹角是否为90°验证：根据旋转的性质得对应角$∠ B'=∠ B=30°$，且旋转角$∠ B'CB=∠ ACA'=60°$，利用三角形内角和计算$BC$与$A'B'$的夹角度数，即可得到位置关系。
【解析】
解：（1）
∵$△ ABC$为直角三角形，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=10\mathrm{cm}$，
∴$AC=\frac{1}{2}AB=5\mathrm{cm}$，$∠ A=90°-∠ B=60°$。
由旋转的性质可知$CA'=CA$，
∴$△ CAA'$为等边三角形，即$∠ ACA'=60°$。
代入弧长公式得：
$l=\frac{60π×5}{180}=\frac{5}{3}π\mathrm{cm}$。
（2）$BC$与$A'B'$垂直，证明如下：
由旋转的性质可得：$∠ B'=∠ B=30°$，旋转角$∠ B'CB=∠ ACA'=60°$。
设$BC$与$A'B'$交于点$D$，在$△ B'CD$中：
$∠ B'DC=180°-∠ B'-∠ B'CB=180°-30°-60°=90°$，
∴$BC⊥ A'B'$。
【答案】
（1）$\frac{5}{3}π$ cm；（2）垂直
【知识点】
直角三角形的性质；旋转的性质；弧长计算
【点评】
本题是几何综合基础题，将旋转性质和弧长计算结合考查，解题的核心是抓住旋转前后图形对应边相等、对应角相等的特点，快速找到计算需要的边长和角度即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）求扇形弧长需用到弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，其中$n$为圆心角度数，$r$为扇形半径。首先先利用直角三角形中30°角的性质求出半径$CA$的长度，再根据旋转的性质得$CA'=CA$，结合$∠ A$的度数可判断$△ CAA'$是等边三角形，得到圆心角$∠ ACA'$的度数，代入公式即可计算弧长。
（2）判断两条直线的位置关系可通过夹角是否为90°验证：根据旋转的性质得对应角$∠ B'=∠ B=30°$，且旋转角$∠ B'CB=∠ ACA'=60°$，利用三角形内角和计算$BC$与$A'B'$的夹角度数，即可得到位置关系。
【解析】
解：（1）
∵$△ ABC$为直角三角形，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AB=10\mathrm{cm}$，
∴$AC=\frac{1}{2}AB=5\mathrm{cm}$，$∠ A=90°-∠ B=60°$。
由旋转的性质可知$CA'=CA$，
∴$△ CAA'$为等边三角形，即$∠ ACA'=60°$。
代入弧长公式得：
$l=\frac{60π×5}{180}=\frac{5}{3}π\mathrm{cm}$。
（2）$BC$与$A'B'$垂直，证明如下：
由旋转的性质可得：$∠ B'=∠ B=30°$，旋转角$∠ B'CB=∠ ACA'=60°$。
设$BC$与$A'B'$交于点$D$，在$△ B'CD$中：
$∠ B'DC=180°-∠ B'-∠ B'CB=180°-30°-60°=90°$，
∴$BC⊥ A'B'$。
【答案】
（1）$\frac{5}{3}π$ cm；（2）垂直
【知识点】
直角三角形的性质；旋转的性质；弧长计算
【点评】
本题是几何综合基础题，将旋转性质和弧长计算结合考查，解题的核心是抓住旋转前后图形对应边相等、对应角相等的特点，快速找到计算需要的边长和角度即可求解。
【难度系数】
0.7
